柯西积分定理PPT学习教案

1、会计学1柯西积分定理柯西积分定理0103),(),.nCdzCzrzzn 是是以以 为为中中心心 为为半半径径的的正正向向圆圆周周 为为整整数数10232)1),2)()CzdzCCOzCCC 见见图图例 计算下列积分oxyiz 101C2C3C10231)1),2)()CzdzCCOzCCC 见见图图第1页/共36页10(34 )(34 )Czdzi ti dt12201(34 )(34 )2itdti ()()CCzdzxiy dxidy只只需需计计算算两两个个实实变变量量函函数数的的曲曲线线积积分分. .CCxdxydy iydxxdy解法231):(01)4CxtzdzOAtyt 解7

2、24 22i 第2页/共36页ddddd CCCz zx xy yiy xx y这两个积分都与路线C 无关34,Ci 所所以以不不论论 是是怎怎样样从从原原点点连连接接到到点点的的曲曲线线2(34 )724d.222Ciz zi 3 ,4 01,xt ytt将将代代入入 得得1100d33dt44d44d33d Cz ztttitttt1100725725 22tdtitdti 第3页/共36页oxyiz 101C2C3C11):(1)01Czi tt1100()(1)21Czdztiti dttdt232):01:101CzttCzitt23CCCzdzzdzzdz110011(1)()12

3、2tdtit idtii10232)1),2)()CzdzCCOzCCC 见见图图解第4页/共36页0:02iC zzre 解oxy irezz 0 z0zrC10()nCdzzz 21(1)0ini niredre 20d ,innier 0103)().nCdzCzrzzn 是是以以 为为中中心心， 为为半半径径的的正正向向圆圆周周，为为整整数数第5页/共36页 0 , n 当当时时101d()nCzzz 20di 2; i 0 , n 当当时时101d()nCzzz 20(cossin)dnininr 0; 0101 d()nz zrzzz 所所以以2,0,0,0.inn 0 zr积积分

4、分值值与与路路径径圆圆周周的的中中心心 和和半半径径 无无关关, ,这这个个结结果果以以后后会会经经常常用用到到，请请记记住住！第6页/共36页一、柯西积分定理目的研究复积分与路径的无关性首先: 若复积分与路径无关,则对任意围线C,在其上任取两点按a(起点),b(终点)将曲线C分成两部分因为积分与路径无关,所以:abCC2C112( )( )( )0CCCf z dzf z dzf z dz:( ):( )0Cf zCf z dz 结结论论若若函函数数的的积积分分与与路路径径无无关关周周线线第7页/共36页C2C1ab1212:C,( ),:,f zCabC CCCCC 反反之之 若若对对任任

5、意意围围线线沿沿着着 的的积积分分为为零零则则对对任任意意两两条条以以 为为起起点点 为为终终点点的的曲曲线线令令则则 是是周周线线，12( )0( )( )0CCCf z dzf z dzf z dz 12( )( )CCf z dzf z dz第8页/共36页观察上节例1.1 中的被积函数f(z)=z在整个复平面内是处处解析的, 它的积分与路径无关。2)( ),f zz 不不前前例例 中中的的被被积积函函数数是是的的解解析析积积分分是是与与, ,路路径径有有关关的的0013)0,nzzz 前前例例 中中当当时时被被积积函函数数为为其其在在以以为为心心的的圆圆周周内内部部不不是是处处处处解解

6、析析的的, ,020.cdzizz 此此时时第9页/共36页0zzC 若若把把除除去去，则则函函数数在在 的的内内部部是是处处处处解解析析的的. .但但这这个个区区域域不不是是单单连连通通的的. .由此可见，积分值与路线无关，或沿封闭曲线的积分值为零的条件，可能与被积函数的解析性及区域的单连通性有关( ),() ( )0.Cwf zzDCDf z dz 设设在在 平平面面上上内内为为 内内任任一一条条 分分段段 光光滑滑闭闭曲曲单单连连通通区区域域则则解解析析线线, ,【柯西积分定理】Cauchy-Goursat基本定理第10页/共36页( ),( )f zuivfzDD 设设在在单单连连通通

7、 内内处处析析 且且在在解解内内连连续续处处定理的严格证明是比较困难的. 这里我们先将条件加强些，给出定理的一个非严格证明 ( )xxyyfzuivviu 因因为为,xyxyuvuu vvDCR 所所以以 和和 以以及及它它们们的的偏偏导导数数在在 内内都都是是连连续续的的 并并满满足足方方程程,xyxyuvvu 第11页/共36页( )cCCf z dzudxvdy ivdxudy()0 xycDvdxudyuvdxdy( )0cf z dz 所所以以CD，Green由由公公式式()0 xycDudxvdyvu dxdy第12页/共36页2),( ),( )CDf zDf zDCD 若若 为

8、为 的的边边界界在在 内内解解析析在在上上连连续续 定定理理仍仍成成立立,.,.1),( ),CDf zDCD 若若 为为 的的边边界界在在上上解解析析定定理理仍仍成成立立注第13页/共36页1001,( )zzz zf z dDabz 即即对对任任给给的的积积分分的的值值, ,不不依依赖赖于于 内内连连接接起起点点 与与终终点点 的的曲曲线线的的形形状状. .推论 , ( )( )Df zDf zD设设 为为单单连连通通域域 如如果果函函数数是是 上上的的解解析析函函数数则则在在 内内的的积积分分与与路路径径无无关关. .11d .23zzz 计计算算积积分分 () d0(,1), .ncz

9、znZ nC 证证明明其其中中 是是任任意意闭闭曲曲线线例1例2第14页/共36页解1 1 , 23zz 函函数数在在内内解解析析根据柯西定理, 有11d0.23zzz 证(1) ,n当当为为正正整整数数时时 () ,nzz 在在 平平面面上上解解析析由柯西定理, () d0.nczz 11d .23zzz 计计算算积积分分例1 () d0(1), .nczznC 证证明明其其中中 是是任任意意闭闭曲曲线线例2第15页/共36页(2) 1,n 当当为为负负整整数数但但不不等等于于时时() ,nzz 在在除除点点的的整整个个平平面面上上解解析析: , C 情情况况一一若若不不包包围围点点由柯西古

10、萨定理, () d0;nczz : ,C 情情况况二二若若包包围围点点由上节例1.3可知, () d0.nczz () ,nzC 在在围围成成的的区区域域内内解解析析第16页/共36页二 、复合闭路定理 考虑柯西积分定理推广到多连通区域上 1212, , , , , , , , . nnCCCCCCCCCD设设 为为闭闭曲曲线线是是在在 内内部部的的闭闭曲曲线线 它它们们互互不不包包含含也也互互不不相相交交 并并且且由由的的内内部部的的外外部部围围成成多多连连通通区区域域12,.nCCCCD 则则称称为为复复合合闭闭路路为为其其内内部部DC1C2C3CnC第17页/共36页12( )nf zC

11、CCCD 设设在在复复合合闭闭路路所所围围成成的的有有界界多多连连通通区区域域 内内处处处处解解析析，则则有有 1)0,f z dz 1( )( )( )0nCCCf z dzf z dzf z dz 12)( )( )knCCkf z dzf z dz 【复合闭路定理】或或写写成成 ;kCC其其中中及及均均取取正正方方向向第18页/共36页DC1CAA BB EE FF , .AEBB E A A AA F B BFA 显显然然曲曲线线均均为为封封闭闭曲曲线线, , , , ,E EF F为为了了讨讨论论方方便便 添添加加字字符符 ,D因因为为它它们们的的内内部部全全含含于于( )d0,AE

12、BB E A Af zz 故故( )d0.AA F B BFAf zz 证明：我们证明n1的情况 ,AABB作作两两段段不不相相交交的的弧弧段段和和第19页/共36页 ( )d( )d0,AEBB E A AAA F B BFAf zzf zz 由由得得( )dCf zz 1( )dCf zz ( )dAAf zz ( )dA Af zz ( )d0,BBf zz ( )dB Bf zz 1 ( )d( )d0,CCf zzf zz 即即1 ( )d( )d .CCf zzf zz 或或DC1CAA BB EE FF 1.n 用用同同样样的的方方法法可可以以证证明明时时的的情情形形第20页/共

13、36页这说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中曲线不经过函数的奇点.注 121,CCnf z dzf z dz ) )若若时时10.n ) ) 若若时时，则则 为为简简单单闭闭曲曲线线，复复合合闭闭路路定定理理即即为为柯柯西西积积分分定定理理所以此定理又称为闭路变形定理. 3).f zD若若在在 内内不不解解析析，则则命命题题不不真真第21页/共36页 1, :| | 2,:| | 1.f zxiyCzCz 例例如如 设设计计算算其其沿沿曲曲线线的的积积分分12coscos:,:(02 )2sinsinxxCCyy解204cos s

14、in4sin cosdd ()CCf z dzxdxydyi xdyydx8 i 22204cos4sinidd 第22页/共36页 1 CCf z dzf z dz 所所以以20cos sinsin cosdd 11()CCf z dzxdxydyi xdyydx2 i 2220cossinidd f z这这是是因因为为不不满满足足解解析析的的条条件件. .第23页/共36页1 d , (), .nCzCazan 求求为为含含的的任任一一简简单单闭闭路路为为整整数数例3例4d , 2 1 . zezzzz 计计算算积积分分为为正正向向圆圆周周和和负负向向圆圆周周所所组组成成例5 21,C0

15、1Cdzzz 求求为为包包含含 与与 的的任任何何正正向向简简单单闭闭曲曲线线。第24页/共36页例321,C0 1Cdzzz 求求为为包包含含 与与 的的任任何何正正向向简简单单闭闭曲曲线线。解21(1)1CCCdzdzdzzzzz（由闭路变形原理）211CCdzdzzz 220iiC1C2C0112:|:|1|, 01Czr Czrr这这里里，第25页/共36页(2)(由由复复合合闭闭路路定定理理) )122221CCCdzdzdzzzzzzz112211CCCCdzdzdzdzzzzz0 C1C2C01Cauchy定理重要公式Cauchy定理重要公式0 0 2 i 2 i 第26页/共3

16、6页解1 , C : ,aza 因因为为在在曲曲线线内内部部 故故可可取取很很小小的的正正数数使使含含在在内内部部 a 1C11 (),nCCza 在在以以为为边边界界的的复复连连通通域域内内处处处处解解析析1 d , (), .nCzCazan 求求为为含含的的任任一一简简单单闭闭路路为为整整数数例4由复合闭路定理,111dd()()nnCCzzzaza 2,10,1.inn 第27页/共36页xyo121C2C解12 ,CC和和围围成成一一个个圆圆环环域域,zez函函数数在在此此圆圆环环域域和和其其边边界界上上处处处处解解析析圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理,d0.zezz

17、d , 2 1 . zezzzz 计计算算积积分分为为正正向向圆圆周周和和负负向向圆圆周周所所组组成成例5 第28页/共36页 ( ) , ( ) : ( )d0.cf zDf zDCf zz 如如果果函函数数在在单单连连通通域域内内处处处处解解析析那那么么函函数数沿沿 内内的的任任何何一一条条封封闭闭曲曲线线的的积积分分为为零零小结与思考1. 重点掌握柯西古萨基本定理:2. 复合闭路定理与闭路变形原理是复积分 中的重要定理.这个定理是计算闭曲线内部有奇点的积分的有利武器!第29页/共36页0102,01d0,0.()nCzcinznzz 对对于于包包含含 的的任任何何一一条条正正向向简简单单闭闭曲曲线线 都都有有:常常用用结结论论第30页/共36页解211111,(1)2z zzzizi111 , 2zizzi 因因为为和和都都在在上上解解析析根据柯西古萨定理得2121d(1)z izz z 1211111d22z izzzizi 2121d .(1)z izz z 计计算算积积分分练习1第31页/共36页11122211111ddd22z iz iz izzzzzizi 0 1211d2z izzi 122i . i 第32页/共36页解221 0 1,zzzzz 因因为为函函数数在在复复平平面面内内有有两两个个奇奇点点和和xyo 1C, C依依题题意意知知也也包包含含这这