控制工程清华大学版第三章时域分析ppt课件

1、控制工程根底第三章第三章 时域分析法一、典型输入信号二、一阶系统的时间呼应三、二阶系统的时间呼应四、高阶系统的时间呼应五、误差分析和计算六、稳定性分析七、时域特性的计算机辅助分析八、小结一、典型输入信号一、典型输入信号l 时域分析的目的 在时间域，研讨在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研讨系统的控制性能。优点：直观、简便优点：直观、简便 第三章 时域分析法l 典型输入信号第三章 时域分析法普通，系统能够遭到的外加作用有控制输入和扰动，扰动通常是随机的，即使对控制输入，有时其函数方式也不能够事先获得。在时间域进展分析时，为了比较不同系统的控制性能，需求规定一些具有典型意义

2、的输入信号建立分析比较的根底。这些信号称为控制系统的典型输入信号。 对典型输入信号的要求第三章 时域分析法q 方式简单，便于解析分析；q 可以使系统任务在最不利的情形下；q 实践中可以实现或近似实现。第三章 时域分析法 常用的典型输入信号Asint 正弦信号 1(t)，t=0 单位脉冲信号 单位加速度信号 t， t0 单位速度(斜坡)信号 1(t)，t0 单位阶跃信号 复数域表达式 时域表达式 名 称 s121s31s22sA0,212tt第三章 时域分析法能反映系统在任务过程中的大部分实践情况； 典型输入信号的选择原那么如：假设实践系统的输入具有突变性质，那么可选阶跃信号；假设实践系统的输入

3、随时间逐渐变化，那么可选速度信号。留意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改动。第三章 时域分析法二、一阶系统的时间呼应二、一阶系统的时间呼应l 一阶系统惯性环节 l 一阶系统的单位阶跃呼应一阶系统的单位阶跃呼应ssXi1)(TsssTssXsGsXio111111)()()(11)(TssG极点特征根：-1/T第三章 时域分析法0,1)(tetxTto10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)tTtoetx/1)(63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T第三章 时域分析法 一阶系统单位阶跃呼应的特点q 呼应分为两部

4、分 瞬态呼应：Tte表示系统输出量从初态到终态的变化过程动态/过渡过程 稳态呼应：1表示t时，系统的输出形状q xo(0) = 0，随时间的推移， xo(t) 指数增大，q 且无振荡。 xo() = 1，无稳态误差；第三章 时域分析法q xo(T) = 1 - e-1 = 0.632，即经过时间T，系统q 呼应到达其稳态输出值的63.2%，从而可以q 经过实验丈量惯性环节的时间常数T；Tdttdxto1)(0q q 时间常数T反映了系统呼应的快慢。通常工q 程中当呼应曲线到达并坚持在稳态值的95%q 98%时，以为系统呼应过程根本终了。从q 而惯性环节的过渡过程时间为3T4T。第三章 时域分析

5、法q 将一阶系统的单位阶跃呼应式改写为：即ln1-xo(t)与时间t成线性关系。该性质可用于判别系统能否为惯性环节，以及丈量惯性环节的时间常数。)(1txeoTt)(1ln1txtTotln1-xo(t)0第三章 时域分析法l 一阶系统的单位速度呼应一阶系统的单位速度呼应21)(ssXiTsTsTssTssXsGsXio11111)()()(220,)(tTeTttxTto第三章 时域分析法0txo(t)xi(t)xi(t)=txo(t)=t-T+Te-t/Te()=TT第三章 时域分析法 一阶系统单位速度呼应的特点q 瞬态呼应：T e t /T ；稳态呼应：t T；q 经过足够长的时间(稳态

6、时，如t 4T)，输q 出增长速率近似与输入一样，此时输出为：q t T，即输出相对于输入滞后时间T； q 系统呼应误差为： TeeTtxtxteTtoi)()1 ()()()(第三章 时域分析法l 一阶系统的单位脉冲呼应1)(sXiTsTsGsXo111)()(0,1)(teTtxTtoxo(t)1/T0t0.368 1T斜率xo(t)T21T第三章 时域分析法 一阶系统单位脉冲呼应的特点q 瞬态呼应：(1/T )e t /T ；稳态呼应：0；q xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；q 对于实践系统，通常应器具有较小脉冲宽q 度脉冲宽度小于0.1T和有限幅值的脉q 冲替代理

7、想脉冲信号。 201)(Tdttdxtoq 第三章 时域分析法l 线性定常系统时间呼应的性质线性定常系统时间呼应的性质 系统时域呼应通常由稳态分量和瞬态分量 共同组成，前者反映系统的稳态特性，后 者反映系统的动态特性。 留意到： tdtdttdtdt)(1)(1)(第三章 时域分析法TtotTtoTtoTeTttxetxeTtx)(1)(1)(1对一阶系统：)()()()(11txdtdtxtxdtdtxotooo即：系统对输入信号导数的呼应等于系统对该输入信号呼应的导数。第三章 时域分析法同样可知，系统对输入信号积分的呼应等于系统对该输入信号呼应的积分，其积分常数由初始条件确定。这种输入输出

8、间的积分微分性质对任何线性定常系统均成立。第三章 时域分析法三、二阶系统的时间呼应三、二阶系统的时间呼应l 二阶系统 222222121)(nnnssTssTsG其中，T为时间常数，也称为无阻尼自在振荡 周期， 为阻尼比； n1/T为系统的无阻尼固有频率。第三章 时域分析法二阶系统的特征方程：0222nnss极点特征根：122 , 1nnp 欠阻尼二阶系统振荡环节： 0 1具有两个不相等的负实数极点：122 , 1nnp系统包含两类瞬态衰减分量：tnn1exp2 零阻尼二阶系统： 0具有一对共轭虚极点：njp2 , 1 负阻尼二阶系统： 0极点实部大于零，呼应发散，系统不稳定。系统时域呼应含有

9、复指数振荡项：tjne第三章 时域分析法第三章 时域分析法三、二阶系统的时间呼应三、二阶系统的时间呼应l 二阶系统 222222121)(nnnssTssTsG其中，T为时间常数，也称为无阻尼自在振荡 周期， 为阻尼比； n1/T为系统的无阻尼固有频率。第三章 时域分析法二阶系统的特征方程：0222nnss极点特征根：122 , 1nnp 欠阻尼二阶系统振荡环节： 0 1具有两个不相等的负实数极点：122 , 1nnp系统包含两类瞬态衰减分量：tnn1exp2 零阻尼二阶系统： 0具有一对共轭虚极点：njp2 , 1 负阻尼二阶系统： 0极点实部大于零，呼应发散，系统不稳定。系统时域呼应含有复

10、指数振荡项：tjne第三章 时域分析法l 二阶系统的单位阶跃呼应 第三章 时域分析法ssXi1)()2()()()(222nnniossssXsGsX 欠阻尼01形状 0)11 (21)11 (211)()1(22)1(2222teetxttonn，01txo(t)q 特点 单调上升，无振荡， 过渡过程时间长 xo () = 1，无稳态 误差。 第三章 时域分析法 无阻尼=0形状 0,cos1)(tttxno210txo(t)q 特点q 频率为n的等q 幅振荡。第三章 时域分析法 负阻尼0形状 0txo(t)-10t0 xo(t)-1q -10：输出表达式与欠阻尼形状一样。 q -1：输出表达

11、式与过阻尼形状一样。 特点：振荡发散 特点：单调发散 第三章 时域分析法 几点结论 q 二阶系统的阻尼比 决议了其振荡特性： 0 时，阶跃呼应发散，系统不稳定； 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；0 1：012)(11222teetxttnonn = 1：0,)(2ttetxtnon 0 1：0,1212121212122)(1222122222teettxtntnnonn = 1：0,21122)(tetttxtnnnon第三章 时域分析法 01：1212,10),sin(12)(222arctgttettxnddtdnon = 0：0,sin1)(ttttxnno第三章 时域分析法l 例

12、题 例1单位脉冲信号输入时，系统的呼应为：求系统的传送函数。 toetx657)(解：由题意解：由题意Xi(s)=1Xi(s)=1，所以：，所以： 57)()()()()(6tooioeLtxLsXsXsXsG)6(422657sssss第三章 时域分析法 例2解：解：1 1单位阶跃输入时单位阶跃输入时 知系统传送函数：求系统的单位阶跃呼应和单位脉冲呼应。2) 1(12)(sssG11) 1(11) 1(12)()()(22sssssssXsGsXio从而： ttooetesXLtx1)()(第三章 时域分析法2单位脉冲输入时，由于)( 1 )(tdtdt 因此：ttooteetxdtdtx2

13、)()(1第三章 时域分析法l 二阶系统的性能目的 控制系统的时域性能目的 控制系统的性能目的是评价系统动态质量的定量目的，是定量分析的根底。系统的时域性能目的通常经过系统的单位阶跃呼应进展定义。常见的性能目的有：上升时间tr、峰值时间tp、调整时间ts、最大超调量Mp、振荡次数N。 第三章 时域分析法10tMp允许误差=0.05或0.02trtpts0.10.9xo(t)控制系统的时域性能目的第三章 时域分析法q 评价系统快速性的性能目的 上升时间tr呼应曲线从零时辰出发初次到达稳态值所需时间。对无超调系统，上升时间普通定义为呼应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。 峰值时间tp呼应

14、曲线从零上升到第一个峰值所需时间。 第三章 时域分析法 调整时间ts呼应曲线到达并坚持在允许误差范围稳态值的2%或5%内所需的时间。 最大超调量Mp呼应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百分数表示： q 评价系统平稳性的性能目的 第三章 时域分析法%100)()()(oopopxxtxM假设xo(tp) xo()，那么呼应无超调。 振荡次数N在调整时间ts内系统呼应曲线的振荡次数。实测时，可按呼应曲线穿越稳态值次数的一半计数。第三章 时域分析法 欠阻尼二阶系统的时域性能目的 上升时间tr1sin11)(2rdtrotetxrn根据上升时间的定义有：欠阻尼二阶系统的阶跃呼应为：0),sin(11

15、)(2ttetxdton第三章 时域分析法2221arccos11nndrarctgt从而：显然， 一定时，n越大，tr越小；即：0sinrdt, 2, 1, 0,kktrdn一定时， 越大，tr 越大。第三章 时域分析法 峰值时间tp，并将t = tp代入可得： 0)(dttdxo令0)cos(1)sin(122pdtdpdtntetepnpn即： tgttgpd21)(, 2, 1, 0,kktpd第三章 时域分析法根据tp的定义解上方程可得： 21ndpt可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td2/d的一半。且一定，n越大，tp越小；n一定， 越大，tp 越大。第三章 时域分析法 最大超调量

16、Mp%100%100)()()(21exxtxMoopop显然，Mp仅与阻尼比有关。最大超调量直接阐明了系统的阻尼特性。 越大， Mp 越小，系统的平稳性越好，当 = 0.40.8时，可以求得相应的 Mp = 25.4%1.5%。第三章 时域分析法00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp二阶系统Mp 图第三章 时域分析法 调整时间ts对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃呼应的包络线为一对对称于呼应稳态分量 1 的指数曲线： 211tnet01xo(t)211tne211tnenT121112111T2T3T4TT2arccos21dt

17、第三章 时域分析法当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃呼应曲线必然也处于允许误差范围内。因此利用： 1112tnenst21lnln可以求得：由上式求得的ts包通常偏保守。第三章 时域分析法0.10.20.30.40.50.60.70.80.910510152025303540=5%=2%nts21lnlnsnt实践的nts曲线如以下图所示第三章 时域分析法由图可见：当由零增大时，nts先减小后增大，当= 5%时，nts的最小值出如今0.78处；当= 2%时，nts的最小值出如今0.69处；出现最小值后，nts随几乎线性添加。nts出现最小值的缘由：增大时，呼应的振荡逐渐减小，nts 减小，但

18、同时降低了呼应起始段的上升速度(tr 加大)。二要素比较，在起始段前者起主要作用，nts 下降。这一段曲线上的突跳点与呼应曲线切于允许误差线相对应；第三章 时域分析法当添加到0.7左右，振荡很小，此时起始段上升速度的下降对nts 的影响起主导作用，导致nts添加。当一定时，n越大，ts越小，系统呼应越快。05. 0,302. 0,41lnln2nnnst当01，那么即 扰动作用点前的前向通道传送函数G1(0)越大，由一定的扰动引起的稳态误差越小。第三章 时域分析法 系统总误差 ssnssiss当系统同时遭到输入信号Xi(s)和扰动信号N(s)作用时，由叠加原理，系统总的稳态偏向：ssnssis

19、seee稳态误差：第三章 时域分析法 例题系统构造图如下，其中K1、K2 、K3、 K4、 T为常数，试求当输入xi(t)=1+t以及扰动作用下，使系统稳态误差为零的K4值和G0(s)。sK213TsKK1G0(s)Xi(s)Xo(s)+_+_K4N(s)第三章 时域分析法解：解：n(t)=0n(t)=0时时sK213TsKK1Xi(s)Xo(s)_+K4321232143)(KKKsTsKKKsKKsi系统闭环传送函数：第三章 时域分析法)()1 ()()(1)()()(3212432sXKKKsTssKKTssXssXsXsEiiioori2321243211)1 (ssKKKsTssKK

20、TssKKKsTsKKTsKKKsTsKKTs1)1 ()1 (32124332124301)(lim321430KKKKKssEesssi341KK 第三章 时域分析法注：知输入作用下闭环传送函数时，稳态误差也可由其等效单位反响系统的开环传送函数经过稳态误差系数求解。sKKTsKKKsKKsssGiii)1 ()(1)()(43232143)(1)()(sGsGs)(1)()(sssG要使系统对输入xi(t)=1+t无稳态误差，Gi(s)需为II型系统，即1K3 K4 =0 K4=1/K3 。第三章 时域分析法只需扰动作用时(xi(t)=0)sKK2113TsK+G0(s)N(s)Xon(s

21、)_3212021321)(1)()()(KKKsTssGsKKKKKsNsXsonn0)()()(sNssXnonsKKsG2101)(第三章 时域分析法q 减小稳态误差的方法 提高系统开环增益； 添加系统开环传送函数中积分环节的个数； 经过顺馈控制或复合控制进展补偿；第三章 时域分析法Ab、不稳定的摆AAAa、稳定的摆六、稳定性分析六、稳定性分析l 稳定的概念 稳定性例如第三章 时域分析法 稳定性定义原来处于平衡形状的系统，在遭到扰动作用后都会偏离原来的平衡形状。假设系统在扰动作用消逝后，经过一段过渡过程后，系统依然可以回复到原来的平衡形状，那么称该系统是渐近稳定的。否那么，那么称该系统是

22、不稳定的。 稳定性是控制系统本身的固有特性，取决于系统本身的构造和参数，与输入无关。 第三章 时域分析法假设系统不论扰动引起的初始偏向有多大，当扰动取消后，系统都可以恢复到原有的平衡形状，那么称该系统是大范围稳定的；否那么系统就是小范围稳定的。 对于线性系统，小范围稳定一定意味着大范围稳定，当然此时系统必需任务在其线性范围内。 第三章 时域分析法 稳定程度临界稳定：假设系统在扰动消逝后，输出与原始的平衡形状间存在恒定的偏向或输出维持等幅振荡，那么系统处于临界稳定形状。 a) 稳定b) 临界稳定c) 不稳定第三章 时域分析法处于临界稳定，或接近临界稳定形状的稳定系统，由于分析时依赖的模型通常是简

23、化或线性化的，或者由于实践系统参数的时变特性等要素的影响，在实践中能够成为不稳定的系统，因此，系统必需具备一定的稳定裕量，以保证其在实践任务时处于稳定形状。 经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。第三章 时域分析法l 稳定的条件 假设系统在初始条件为零时，遭到单位脉冲信号(t)的作用，此时系统的输出增量偏向为单位脉冲呼应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，假设：0)(limtxot系统渐近稳定。第三章 时域分析法)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio思索系统01110nnnnasasasa其特征方程为：tA

24、e对于特征方程的单实根-，相应瞬态输出为：当- 0时，该输出分量指数单调递增。当- = 0时，该输出分量为常数。第三章 时域分析法对于特征方程的一对共轭单复根- j，相应瞬态输出为：)sin()sincos(22tCBetCtBett其中， = arctgB/C。当- 0时，该分量为指数发散的振荡过程。当- = 0时，该分量为等幅振荡。第三章 时域分析法)(121rrttataae对于r重实根-，相应的时域分量为：当- 0时，该输出分量指数单调递增。当- = 0时，该输出分量多项式递增。第三章 时域分析法kkkrkkkkktrrrrtcbarctgttcbettctccttbtbbe, )si

25、n(sin)(cos)(1122121121对于一对r重共轭复根 - j，相应的时域分量为：当- 0时，该分量为指数发散的振荡过程。当- = 0时，该分量为多项式发散的振荡过程。第三章 时域分析法综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种方式，线性系统稳定的充要条件为：一切特征根均为负数或具有负的实数部分；即：一切特征根均在复数平面的左半部分。由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。 显然，稳定性与零点无关。第三章 时域分析法l 劳斯Routh稳定判据 系统稳定的必要条件 0)()()(2101110nnnnnpspspsaasasasa

26、sD系统的特征方程为：其中，pi(i=0,1,2,n)为系统的特征根。优点：无需求解特征根，直接经过特征方程的系数判别系统的稳定性。第三章 时域分析法由根与系数的关系可以求得：)() 1()()()(210124213210313121022101nnnnnnnnnpppaapppppppppaappppppaapppaa第三章 时域分析法假设使全部特征根pi假设均具有负实部，那么要求特征方程的各项系数ai(i = 0, 1, 2, , n)均大于零，即： 留意，该条件仅为系统稳定的必要条件。 ai0 (i = 0, 1, 2, , n)第三章 时域分析法 系统稳定的充要条件劳斯稳定判据 其中

27、，ai0 (i=0,1,2,n)，即满足系统稳定的必要条件。 0)(1110nnnnasasasasD思索系统的特征方程：劳斯稳定判据的判别过程如下： 第三章 时域分析法q 列出劳斯阵列 130211aaaaab150412aaaaab170613aaaaabsna0 a2 a4 a6 sn-1a1 a3 a5 a7 sn-2b1b2b3b4 sn-3c1c2c3c4 sn-4d1d2d3d4 s2e1e2s1f1s0g1第三章 时域分析法121311bbaabc131512bbaabc141713bbaabc在上述计算过程中，为了简化数学运算，可以用一个正整数去除或乘某一整行，这时并不改动系

28、统稳定性的结论。 121211ccbbcd131312ccbbcd141413ccbbcd第三章 时域分析法q 用劳斯判据判别系统稳定性调查劳斯阵列表中第一列各数的符号，假设第一列中各数a0、a1、b1、c1、的符号一样，那么表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；假设符号不同，系统不稳定，且符号改动的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。 通常a0 0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。 第三章 时域分析法q 例题设系统的特征方程为：05001004)(23ssssD运用劳斯稳定判据判别系统的稳定性。解：劳斯阵列如下：解：劳斯阵列如下：s31100s24500s1-25 0s05000劳斯阵列第一列中元素符号改动了两次，阐明系统具有两个正实部的极点，故系统不稳定。现实上系统包含了三个极点：0.406+j10.185、0.406-j10.185、 -4.812第三章 时域分析法 低阶系统的劳斯稳定判据 q 二阶系统0)(2120asasasD劳斯阵列为：s2a0a2s1a10s0a2a00，a10，a20从而，二阶系统稳定的充要条件为：第三章 时域分析法q 三阶系统0)(322130asasasasD劳斯阵列为：s3a0a2s2a1a3s