《应用多元分析》第三版PPT(第二章)

1、第二章 随机向量v2.1 一元分布v2.2 多元分布v2.3 数字特征v2.4 欧氏距离和马氏距离v2.5 随机向量的变换v*2.6 特征函数2.2 多元分布v一、多元概率分布v二、两个常用的离散型多元分布v三、多元概率密度函数v四、边缘分布v五、条件分布v六、独立性一、多元概率分布v一个向量，若它的分量都是随机变量，则称之为随机向量。v随机变量x的分布函数：v随机向量 的分布函数：12,px xxx F aP xa121122,pppF a aaP xa xaxa三、多元概率密度函数v一元的情形：v多元的情形：v多元密度f (x1, ,xp)的性质： d( )d ,daF xF af xxf

2、 xx1111111( ,)( ,)dd( ,)( ,)paapppppppF aaf xxxxf xxF xxxx1111(1) ( ,)0,( ,)dd1ppppf xxxxf xxxx， 对一切实数；(2)。四、边缘分布v设x是p维随机向量，由它的q(0。 v（2）设A为常数矩阵，b为常数向量，则当p=1时，上述等式就是我们熟知的如下等式：v例2.3.2 的分量之间存在线性关系（以概率1）。0 x VVAxbAx A 2V axba V x在实际问题中，有时|=0，其原因是指标之间存在着线性关系，如某一指标是其他一些指标的汇总值，这在一般数据报表中是常出现的。我们通常可以通过删去“多余”

3、指标的办法来确保|0。因此，我们总假定 0并不失一般性，这样可保证1存在，从而可使数学问题得以简化。 v例3.1.2 设随机向量x=(x1,x2,x3)的数学期望和协方差矩阵分别为5412219372325 和令y1=2x1x2+4x3,y2=x2x3,y3=x1+3x22x3,试求y=(y1,y2,y3)的数学期望和协方差矩阵。v（3）设A和B为常数矩阵，则v（4）设 为常数矩阵，则Cov,Cov,Ax ByAx y B1212,nmA AAB BB和1111Cov,Cov,nmnmiijjiijjijijA xB yAx yB推论 证明 （先证推论，再证性质（4）1111111111Cov

4、,Cov,nmijijnnmmiijjiijjnmiijjijnmijijEEEEEE xyxxyyxxyyx y1111Cov,Cov,nmnmijijijijxyx yv（5）设k1,k2, ,kn是n个常数，x1,x2, ,xn是n个相互独立的p维随机向量，则 111111Cov,Cov,Cov,nmnmiijjiijjijijnmiijjijAxB yAx B yAx yB211nniiiiiiVkk Vxx三、相关矩阵v随机变量x和y的相关系数定义为v 的相关阵定义为 Cov,x yx yV x V y1212( ,)(,)pqx xxy yyxy和111212122212Cov,C

5、ov,Cov,Cov,Cov,Cov,Cov,Cov,Cov,qqpppqx yx yx yxyxyxyxyxyxyx yv若(x,y)=0，则表明x和y不相关。v x=y时的相关阵(x,x)称为x的相关阵，记作R=(ij)，这里ij=(xi,xj), ii=1。即 vR=(ij)和 =(ij)之间有关系式：R=D1D1 其中 ；R和的相应元素之间的关系式为 12121212111ppppR1122diag,ppD前述关系式即为ijijiijj1212121211111112121222222212111110000110000110000pppppppppppppp标准化变换v在数据处理时，

6、常常因各变量的单位不完全相同而需要对每个变量作标准化变换，最常用的标准化变换是令v记 ，于是即标准化后的协差阵正好是原始向量的相关阵。可见，相关阵R也是一个非负定阵。*,1,2,iiiiixxip*12(,)px xx x*,EVxxR02.4 欧氏距离和马氏距离v一、欧氏距离v二、马氏距离一、欧氏距离v 之间的欧氏距离为v平方欧氏距离为 1212,ppx xxy yyxy和2221122,ppdxyxyxyx y 22221122,ppdxyxyxyx yxyxyv 到总体的平方欧氏距离定义为12,px xxx 22221122222112212,pppppdxxxE xE xE xV xV

7、 xV xxxx平均大小等于不适合直接使用欧氏距离的例子v下面是各国家和地区男子径赛记录的数据（1984年）：国家和地区100米（秒）200米（秒）400米（秒）800米（分）1500米（分）5000米（分）10000米（分）马拉松（分）阿根廷10.3920.8146.841.813.714.0429.36137.72澳大利亚10.3120.0644.841.743.5713.2827.66128.3奥地利10.4420.8146.821.793.613.2627.72135.9比利时10.3420.6845.041.733.613.2227.45129.95百慕大10.2820.5845.9

8、11.83.7514.6830.55146.62巴西10.2220.4345.211.733.6613.6228.62133.13缅甸10.6421.5248.31.83.8514.4530.28139.95加拿大10.1720.2245.681.763.6313.5528.09130.15智利10.3420.846.21.793.7113.6129.3134.03中国10.5121.0447.31.813.7313.929.13133.53哥伦比亚10.4321.0546.11.823.7413.4927.88131.35一、欧氏距离v向量的各分量如果单位不全相同，则上述欧氏距离一般就没有意

9、义。v即使单位全相同，但如果各分量的变异性差异很大，则变异性大的分量在欧氏距离的平方和中起着决定性的作用，而变异性小的分量却几乎不起什么作用。v在实际应用中，为了消除单位的影响和均等地对待每一分量，我们常须先对各分量作标准化变换，然后再计算欧氏距离。v令 ，则 *1,1, ,iiipiixxipxxx2*2*21,pdxxxx xv由于 ，故平方和 中各项的平均取值均为1，从而各分量所起的平均作用都一样。v欧氏距离经变量的标准化之后能够消除各变量的单位或方差差异的影响，但不能消除变量之间相关性的影响，以致有时用欧氏距离显得不太合适。为此，我们引入一个由印度著名统计学家马哈拉诺比斯（Mahala

10、nobis，1936年）提出的“马氏距离”的概念。*2*1,1,2,iiE xV xip2211ppxx二、马氏距离v 之间的平方马氏距离定义为v 到总体的平方马氏距离定义为v特点（1） 马氏距离不受变量单位的影响，是一个无单位的数值 。1212,ppx xxy yyxy和21,dx yxyxy12,px xxx21,dxxx比例单位变换v如x的分量是长度、重量、速度、费用和用时等，则变量的单位变换可表达为 其中 。11 11122222000000pppppyc xcxyc xcxyc xcxyCx12diag,0,1,2,pic cccipC带有常数项的单位变换v例子 摄氏温度与华氏温度的换算公式： F(C95)32 ， C(F32)59 式中F华氏温度，C摄氏温度。v 11 111112222222000000pppppppyc xbcxbyc xbcxbyc xbcxbyCxbv特点（1）的证明 x1,x2经单位变换后为y1,y2 ，即有1122,yxyCxbyCxbC C 1121211212111121211212 yxxxyyyyCxbCxbC CCxbCxbxxC