自适应作业3--self-tunningregulator

1、自适应控制作业三：自适应调节器（STR）姓名： 学号：Tasks：1. Derive minimum variance controller for process. Furthermore, a process is described by the following equation:a) Find the minimum variance controller for the process. Determine the minimum variance of this process; 此单入单出系统的受控自回归滑动平均模型为：这里k表示延迟，因此若两边同时乘以，这样模型就可以写为：

2、改写为：，即这里可将写成：因此扰动的形式为令，那么其中F,G都是的多项式，分别将其写成多项式的形式为：那么由原模型可知代入上式可得：最小化评价函数：显然当为零的时候J才能达到最小值。即，由此可以推出因此输出地最小方差为闭环特征根即为：控制信号为: 对于过程：提炼出A,B,C,k, 写成那么此时：即那么其闭环的方程式就为：b) Simulate the process using the MVC obtained in a). Compare it with open-loop control. Matlab仿真图为：1、输入信号和干扰信号2）无噪音时开环控制与MVC法控制下的系统输出2）无噪音

3、时开环控制与MVC法控制下的系统输出结论：1对于此系统，不加入噪音时，开环控制是稳定的，振荡的幅度较小，而MVC法振荡的幅度较大。2、很显然，开环控制不能有效地抑制扰动给系统带来的误差，而MVC法能够有效地抑制扰动，使得在扰动较大（扰动比输入的幅值大）的情况下，输出也能够稳定在一定的界内。2、Consider the process where is an unknown parameter. Assume the desired closed-loop system is :Construct:a) discrete-time indirect STR algorithm;理论分析部分离散模

4、型的间接自校正调节器：对于一个单入单出的过程：，其中为高斯噪音。构造自校正调节器的最直观的途径是估计多项式A,B,C的参数，然后再把这些参数估计用于调节器的设计。首先考虑确定性情况即=0的情况，为了估计多项式A,B,C的系统，可用前面所学的最小二乘估计法。此时，如果加入的输入信号是充分激励的，估计模型的结构又是比较适合的话，那么当闭环系统稳定时，这些估计都应当收敛于他们的真值（详见最小二乘估计的收敛性，其他估计方法也可，只是各种方法的收敛条件不一样。）若过程的模型是：我们期望的闭环响应特性为：控制器为：其中：和是Diophantine方程的解，且 那么离散系统的间接自校正调节器的设计步骤就是：

5、数据：已知有希望闭环脉冲传递算子Bm/Am给定的性能规范，以及希望的观测器多项式Ao。第一步：用最小二乘法或其他方法估计出多项式A,B,C的系数第二步：用一估计出的A，B，C求解出R1和S，再计算出R,T第三步：计算控制信号在每个采样周期内重复上述步骤对于此模型的设计部分：（具体设计过程见e部分）1.假设受控传递函数中a=1，若采样周期为0.5s，那么可以知道其相应的脉冲传递算子为，这里a1=-1.6065，a2=0.6065.可见其阻尼系数比较差，需要选择一个较好的闭环传递函数。 为了避免控制信号产生振铃现象，在过程不消去零点。于是由相容性条件得观测器多项式是一阶：， 2.利用用递推最小二乘

6、估计出a一个参数就可以（实际上就是和a相关的a1和a2）。3.由隐式极点配置自校正调节器设计知系统控制器为：由丢番图方程AR+BS=Ac得：令则代入后解得比较两边的系数数，再用待定系数法解出s0s1。b) continuous-time indirect STR algorithm 连续时间系统跟离散系统的设计方法大体一致1. 观测器多项式是：2.在参数估计时我们只需要估计出a一个参数就可以。系统是连续时间系统，我们还得选择递推最小二乘估计中的滤波Hf=1/Am(s)。3.由隐式极点配置自校正调节器设计知系统控制器为：在设计中，上面公式中的a是要通过第二步计算估计出来的，p是微分算子。c) d

7、iscrete-time direct STR algorithm;理论分析部分对于间接自校正算法，设计时可能比较的费时，并且很难分析其稳定性。直接自校正算法的思想是以希望的极点和零点位置表征性能规范，并重写过程模型，从而使得设计步骤变得十分简单，这同时也导致了对过程参数的重新参数化。对于模型用y（t）乘以丢番图方程可得 可以把上式改写为：其中上式可以看成按，R和S对过程模型进行参数化，估计出这些参数就直接得到了调节器多项式R和S；再由以及就可以估算出控制信号。由此我们可以看出直接自校正调节器的设计步骤为：第一步：估计模型多项式中的，第二步：对消，中可能有的公因子，得到R和S第三步：利用得到的

8、R和S，算出控制信号在每个采样周期中重复这三步对于此模型的设计部分：degA=2,degB=1,degAm=2，degA0=0,A0=1，Bm=qAm(1)T=q Am(1)degR=degS=degT=degA-1=1是给定的，其他四个参数是有递推最小二乘估计出来的。d) continuous-time direct STR algorithm;连续时间按上面同样方法设计。e) Use one example to verify one of the four algorithms obtained above. Be aware of the issue of zeros cancella

9、tion in indirect algorithms and minimum-phase problem in direct algorithms. Simulate the system. Plot of u and y are expected.选择间接自校正控制系统来做仿真。已知数据：已知连续时间过程传递函数考虑零阶保持器，取采样周期=0.5，对应的离散时间传递函数为，即，选择期望传递函数多项式为：设计过程：理论分析：极点配置的主要思想是寻求一个反馈控制律，使得闭环传递函数的极点位于希望的位置。设被控系统的过程由以下方程描述：其中，u(t)为控制变量，y(t)为实测输出，v(t)为扰动

10、，为后移一步算子多项式。为简单起见下面直接用A，B表示，在表示连续时间系统时，A，B意味为微分算子多项式。另外，再假设A，B是互质的，即它们没有任何公因式，而且A是首一多项式。从参考输入r到希望的输出响应可由以下动态方程描述：当采用状态反馈和观测器相结合时，可得到一种闭环控制系统，其中的观测器的动态特性不受参考输入信号控制，这意味着在输入输出形式的传递函数中存在着零极点对消。我们可以用表示附加的观测器动态特性，观测器多项式应当是稳定的，而且应当快于确定的希望闭环响应。我们采用以下的线性控制器方程：式中的多项式R，S，T如图所示。消去式中的u，可得为了获得希望的输入输出响应，下列条件必须成立：上

11、式中的分母是闭环特征多项式。控制器的极点只能与稳定的对象的零点相对消，对于对象中不稳定的零点和阻尼很差的零点时不希望与控制器的零点相对消的。为此，将多项式B分解成其中是由稳定的和阻尼良好的零点所组成的多项式，而且是首一多项式。这些零点可以与控制器的极点相对消。当=1，表示B中没有任何零点被对消，当=1，表示B中所有零点可以对消，所以也是闭环特征多项式的因子。特征多项式的其余因子应当是和，其中是指定的观测器多项式，这样就得到了以下形式的Diophantine方程：极点配置设计存在因果解，那么它就是物理上可实现的，其必要条件是必须满足以下两个不等式：算法：已知：多项式A和B性能要求：多项式，和给定

12、相容性条件：能除尽计算步骤：第一步：把B因式分解为第二步：根据方程求解和。第三步：由求得R和T。于是，控制律由求出。求解过程获得系统的零极点模型matlab程序为：clearnum=1;den=1 1 0;t0=0.5; %采样周期gs=tf(num,den) %连续时间过程传递函数gd=c2d(gs,t0,zoh) %零阶保持器离散传递函数gzpk=zpk(gd) %零极点传递函数运行结果为：Zero/pole/gain:Sampling time: 0.5可以知道过程极点为1和0.6065过程零点为-0.8469，接近单位圆，阻尼较差。（1） 零点不被对消，由Algorithm 3.1 M

13、DPP 知：取 由知由知设Diophantine方程变成：令等式的系数分别相等，即可求得各个参数，获得R，S。为使期望输出稳态无误差，取：得最终得控制器：（2） 过程零点被对消由Algorithm 3.1 MDPP 知：取由知设Diophantine方程变成：令等式的系数分别相等，即可求得各个参数，获得R，S。为使期望输出稳态无误差，得：最终得控制器：程序及运行结果（1）零点不对消的matlab程序clear a=1 -1.6065 0.6065;b=0 0.1065 0.0902;th0=poly2th(a,b);u=sign(randn(300,1);y=idsim(u,th0); z=y

14、 u;th=rarx(z,2 2 2,ff,0.99); plot(th); grid on; hold on; plot(ones(300,1)*-1.6065 0.6065 0.1065 0.0902);title(Estimated parameters and true value);图1 参数估计及真实值由图1可见，这些估计值都已收敛到参数的真值clear a=1 -1.6065 0.6065;b=0 0.1065 0.0902;am1=-1.3205;am2=0.4966;th0=poly2th(a,b);u=gensig(square,10,99,1);y=idsim(u,th0

15、); z=y u;idplot(z);th,yh,p,phi=rarx(z(1,:),2 2 2,ff,0.99);a1=th(1);a2=th(2);b0=th(3);b1=th(4);s0=(am1-a1)/b0;s1=(am2-a2)/b0;r1=b1/b0;t0=(am1+am2+1)/b0;for k=2:12 th,yh,p,phi=rarx(z(k,:),2 2 2,ff,0.99,th,p,phi); a1=th(1);a2=th(2);b0=th(3);b1=th(4); s0=(am1-a1)/b0;s1=(am2-a2)/b0; r1=b1/b0;t0=(am1+am2+

16、1)/b0;endfor k=13:100 th,yh,p,phi=rarx(z(k,:),2 2 2,ff,0.99,th,p,phi); a1=th(1);a2=th(2);b0=th(3);b1=th(4); s0=(am1-a1)/b0;s1=(am2-a2)/b0; r1=b1/b0;t0=(am1+am2+1)/b0; figure(2); plot(k,s0,d,k,s1,p); grid on;hold on; title(the coefficients of S); figure(3); plot(k,1,d,k,r1,p); grid on; hold on; title

17、(the coefficients of R); figure(4); plot(k,t0,d); grid on;hold on; title(the coefficient of T);endhold off;图2 输入输出曲线图3 多项式S系数估计图4 多项式R系数估计图5 多项式T系数估计（2）零点对消的matlab程序clear a=1 -1.6065 0.6065;b=0 0.1065 0.0902;am1=-1.3205;am2=0.4966;ao=0.4;th0=poly2th(a,b);%u=sign(randn(100,1);u=gensig(square,10,99,1)

18、y=idsim(u,th0);z=y u;th,yh,p,phi=rarx(z(1,:),2 2 2,ff,1);a1=th(1);a2=th(2);b0=th(3);b1=th(4);n=b1*b1-a1*b0*b1+a2*b0*b0;r10=(ao*am2*b02+(a2-am2-ao*am1)*b0*b1+(ao+am1-a1)*b12)/n;w1=(a2*am1+a2*ao-a1*a2-am2*ao)*b0;s00=(w1+(-a1*am1-a1*ao-a22+am2+am1*ao)*b1)/n;w2=(-a1*am2*ao+a2*am2+a2*am1*ao-a22)*b0;s10=(

19、w2+(-a2*am1-a2*ao+a1*a2+am2*ao)*b1)/n;bs=b0+b1;as=1+am1+am2;bm0=as/bs;r1=r10;s0=s00;s1=s10;t0=bm0;t1=bm0*ao;for k=2:12 th,yh,p,phi=rarx(z(k,:),2 2 2,ff,1,th,p,phi); a1=th(1);a2=th(2);b0=th(3);b1=th(4); n=b1*b1-a1*b0*b1+a2*b0*b0;r10=(ao*am2*b02+(a2-am2-ao*am1)*b0*b1+(ao+am1-a1)*b12)/n;w1=(a2*am1+a2*a

20、o-a1*a2-am2*ao)*b0;s00=(w1+(-a1*am1-a1*ao-a22+am2+am1*ao)*b1)/n;w2=(-a1*am2*ao+a2*am2+a2*am1*ao-a22)*b0;s10=(w2+(-a2*am1-a2*ao+a1*a2+am2*ao)*b1)/n;bs=b0+b1;as=1+am1+am2;bm0=as/bs;r1=r10;s0=s00;s1=s10;t0=bm0;t1=bm0*ao;endfor k=13:100 th,yh,p,phi=rarx(z(k,:),2 2 2,ff,1,th,p,phi); a1=th(1);a2=th(2);b0=th(3);b1=th(4); n=b1*b1-a1*b0*