2.3.2平面与平面垂直的判定(上课用)

1、2021/3/1712.3.2 平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理22021/3/171.在立体几何中在立体几何中,“异面直线所成的角异面直线所成的角”是怎样定义的是怎样定义的? 直线直线a、b是异面直线是异面直线,经过空间任意一点经过空间任意一点O,分别引直线分别引直线a /a, b/ b,我们把相交直线我们把相交直线a 和和 b所成的锐角所成的锐角 （或直角）叫做异面直线（或直角）叫做异面直线所成的角所成的角. 2.在立体几何中在立体几何中,直线和平面所成的角直线和平面所成的角是怎样定义的是怎样定义的? 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角平面的一条斜线和它在平面上的射

2、影所成的锐角,叫做这条直线叫做这条直线和这个平面所成的角和这个平面所成的角. 范围范围:( 0o, 90o 范围范围: 0o, 90o 复习引入复习引入32021/3/17空间两个平面有空间两个平面有平行平行、相交相交两种位置关系两种位置关系.对于两个平面平行对于两个平面平行,我们已作了全面的研究我们已作了全面的研究,对于两个平面相交对于两个平面相交,我们应从理论上有我们应从理论上有进一步的认识进一步的认识.在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中,我们我们将将三维空间的角转化为二维空间的角三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角来刻

3、画即平面角来刻画.接下来接下来,我们同我们同样来研究平面与平面的角度问题样来研究平面与平面的角度问题. 两个相交平面的相对位置是由这两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的两个平面所成的“角角”来确定的来确定的42021/3/17在生产实践中在生产实践中, ,有许多问题也涉及到两个平面所成的角如有许多问题也涉及到两个平面所成的角如: :修修筑水坝时筑水坝时, ,为了使水坝坚固耐久为了使水坝坚固耐久, ,必须使水坝面和水平面成适当必须使水坝面和水平面成适当的角度的角度; ;发射人造地球卫星时发射人造地球卫星时, ,也要根据需要也要根据需要, ,使卫星的轨道平面使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成

4、一定的角度和地球的赤道平面成一定的角度. .洪坝洪坝水平面水平面52021/3/17我们常说我们常说“把门开大些把门开大些”,”,是指哪个角开大一些是指哪个角开大一些, ,我们应该怎么刻画二面角的大小我们应该怎么刻画二面角的大小? ?62021/3/17(1) 半平面的定义半平面的定义1.二面角的概念二面角的概念平面内的一条直线把平面分为两部分平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分其中的每一部分都叫做半平面都叫做半平面l半平面半平面半平面半平面(2) 二面角的定义二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角角.这条直线叫做

5、这条直线叫做二面角的棱二面角的棱,每个半平面叫做每个半平面叫做二面角的二面角的面面l棱棱面面面面72021/3/17平卧平卧式式: :直立式直立式: :l lAB (3) 二面角的画法和记法二面角的画法和记法:1.二面角的概念二面角的概念面面1棱面棱面2点点1棱点棱点2二面角二面角 l 二面角二面角 AB 二面角二面角CAB DABCD82021/3/17 AOlB(4) 二面角的平面角二面角的平面角ABO1.二面角的概念二面角的概念以二面角的棱上任意一点为端点以二面角的棱上任意一点为端点, ,在两个面内分别作垂直于在两个面内分别作垂直于棱的两条射线棱的两条射线, ,这两条射线所成的角叫做这两

6、条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角. .如图，如图， ，则，则AOB成为二面角成为二面角 的平面角的平面角. 它的大小与点它的大小与点O的选取无关的选取无关.,OAl OBll 二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足:角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱角的顶点在棱上角的顶点在棱上角的两边分别在两个面角的两边分别在两个面内内92021/3/179质疑质疑:在二面角的平面角的定义中在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任点是在棱上任取的取的,那么那么AOB的大小与点的大小与点O在棱上的位置有在棱上的位置有关系吗关系吗?OAOB=BOA 等角定理等角定理:如果一个角

7、的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等。）lABAB二面角的平面角大小与点二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无在棱上的位置无关关,只与二面角的张角大小有关。只与二面角的张角大小有关。结论结论:二面角是用它的平面角来度量的二面角是用它的平面角来度量的,一个一个二面角的平面角多大二面角的平面角多大,就说这个二面角是多少就说这个二面角是多少度的二面角。度的二面角。O.二面角的范围二面角的范围: 0o, 180o 二面角的两个面重合二面角的两个面重合: 0o; 二面角的两个面合成一个平面二面角的两个面合成一个平面:180o; 平面角是直角的二面角叫平面角是直角的二面角叫直二面

8、角直二面角OAB102021/3/17 lOAB00。, ,180180。 (4) 二面角的平面角二面角的平面角1.二面角的概念二面角的概念二面角的范围为二面角的范围为:注注1:当二面角的两个面合成一个平面时当二面角的两个面合成一个平面时,规定二面角的大小为规定二面角的大小为180;平面角是直角的二面角叫做平面角是直角的二面角叫做直二面角直二面角,此时称两半平面所此时称两半平面所在的两个平面互相垂直在的两个平面互相垂直.OAB112021/3/17定义法定义法垂线法垂线法作棱的垂面法作棱的垂面法一个平面垂直于二面角一个平面垂直于二面角 -l- 的的棱棱 l,且与两半平面的交线分别是射线且与两半

9、平面的交线分别是射线 OA、OB,O 为垂足为垂足, ,则则AOB AOB 为为二面角二面角 -l- 的平面角的平面角(5) 二面角的平面角的作法二面角的平面角的作法:1.二面角的概念二面角的概念OABl lOAB,ABABAAOl过 作,OBOBl连接则oABll补充122021/3/17角角BAO边边边边顶点顶点从一点出发的两条射线从一点出发的两条射线所组成的图形叫做所组成的图形叫做角角。定义定义构成构成边边点点边边 （顶点）（顶点）表示法表示法AOB二面角二面角AB面面面面棱棱 a从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫半平面所组成的图形叫做做二面角二面角。面面直线直

10、线面面 （棱）（棱）二面角二面角l或二面角或二面角AB图形图形角与二面角的比较角与二面角的比较132021/3/17例例 正方体正方体ABCDA1B1C1D1中中,二面角二面角B1-AA1-C1的大小为的大小为_,二面角二面角B-AA1-D的大小为的大小为_,二面角二面角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.24590练习142021/3/17寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角在正方体在正方体ABCD-AABCD-AB BC CD D中中, ,找出下列二面角的找出下列二面角的平面角平面角: :（1 1）二面角）二面角D D-AB-D-AB-D和和A A-AB-D-AB-D; ;（2 2）二面

11、角）二面角C C-BD-C-BD-C和和C C-BD-A.-BD-A.BACDABCD152021/3/17BACDABCD寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角在正方体在正方体ABCD-AABCD-AB BC CD D中中, ,找出下列二面角的找出下列二面角的平面角平面角: :（1 1）二面角）二面角D D-AB-D-AB-D和和A A-AB-D-AB-D; ;（2 2）二面角）二面角C C-BD-C-BD-C和和C C-BD-A.-BD-A.162021/3/17寻找二面角的寻找二面角的 平面角平面角BACDABCDO寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角在正方体在正方体ABCD-AABCD-

12、AB BC CD D中中, ,找出下列二面角的找出下列二面角的平面角平面角: :（1 1）二面角）二面角D D-AB-D-AB-D和和A A-AB-D-AB-D; ;（2 2）二面角）二面角C C-BD-C-BD-C和和C C-BD-A.-BD-A.172021/3/17BACDABCDO寻找二面角的寻找二面角的平面角平面角在正方体在正方体ABCD-AABCD-AB BC CD D中中, ,找出下列二面角的找出下列二面角的平面角平面角: :（1 1）二面角）二面角D D-AB-D-AB-D和和A A-AB-D-AB-D; ;（2 2）二面角）二面角C C-BD-C-BD-C和和C C-BD-A

13、.-BD-A.182021/3/17练练 如图如图,在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中中,AB = 2,BC = BB1 =1 ,E为为D1C1的中点的中点,求二面角求二面角EBDC的大小的大小AA1BB1CC1DD1E思路分析思路分析:找基面找基面 平面平面BCD作基面的垂线作基面的垂线 过过E作作EFCD于于FF作平面角作平面角 作作FGBD于于G,连结连结EGG解解:过过E作作EFCD于于F,于是,EGF为二面角EBDC的平面角BC = 1,CD = 2,11 2122 55BC CDGFBD而EF = 1，在EFG中tan5EFEGFGF ABCDA1B1C1D1是长方体是长方

14、体, EF平面平面BCD,且且F为为CD中点中点,过过F作作FGBD于于G,连结连结EG,则则EGBD（三垂线定理）（三垂线定理）M练习192021/3/17ABCD求证求证: :060,BACCDBD例例 如图如图,将等腰直角三角形纸片沿斜线将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的上的高高AD折成直二面角折成直二面角. 202021/3/17CDHG600300例例 如图如图,山坡倾斜度是山坡倾斜度是60度度,山坡上一条路山坡上一条路CD和坡底线和坡底线AB成成30度角度角.沿这条路向上走沿这条路向上走100米米,升高了多少升高了多少? AB练习212021/3/17一、二面角的定义一、二面角的定

15、义:二、二面角的表示方法二、二面角的表示方法:三、二面角的平面角三、二面角的平面角:四、二面角的平面角的作法四、二面角的平面角的作法:五、二面角的计算五、二面角的计算:二二 面面 角角 AB 二二 面面 角角 CAB D二二 面面 角角 l 1、根据定义作出来、根据定义作出来2、利用直线和平面垂、利用直线和平面垂 直作出来直作出来1、找到或作出二面角的平面角、找到或作出二面角的平面角2、证明、证明 1中的角就是所求的中的角就是所求的 角角3、计算所求的角、计算所求的角一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”从一条直线出发的两个半从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二平面所组成的图形叫做二

16、面角。这条直线叫做二面面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。做二面角的面。 1、二面角的平面角、二面角的平面角 必须满足三个条件必须满足三个条件2、二面角的平面角、二面角的平面角 的大小与的大小与 其顶点其顶点 在棱上的位置无关在棱上的位置无关3、二面角的大小用、二面角的大小用 它的平面角的大它的平面角的大 小来度量小来度量 222021/3/17如何检测所砌的墙面和地面是否垂直如何检测所砌的墙面和地面是否垂直?思考思考232021/3/17 2.平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定(1) 定义法定义法:两个平面相交两个平面相交,如果它们所成的二面

17、角是直二如果它们所成的二面角是直二面角面角,就说这两个平面互相垂直就说这两个平面互相垂直.记作记作 (2) 面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理:若一个平面经过另一个平面的一条垂线若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直则这两个平面互相垂直 该定理作用该定理作用:“线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直”,aa注注2:应用该定理应用该定理,关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.aa242021/3/17文字语言文字语言:如果一个平面经过另一个平面的一条如果一个平面经过另一个平面的一条垂线垂线,那么这两个平面互相垂直那么这两个平面互相垂直aa两个

18、平面垂直的判定定理两个平面垂直的判定定理符号语言符号语言: aAB图形语言图形语言:该定理作用该定理作用:“线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直”应用该定理应用该定理,关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.252021/3/17ABCDE文字语言文字语言:如果一个平面经过另一个平面的一条如果一个平面经过另一个平面的一条垂线垂线,那么这两个平面互相垂直那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的两个平面垂直的判定定理判定定理 证明证明:在平面在平面内过内过B点作直线点作直线BECD,则则ABE就是二面角就是二面角- -CD- -的平面角的平面角,设设=CD,AB在在上

19、上,则则BCD.AB，CD ，ABCD.AB，BE ， ABBE. 二面角二面角- -CD- -是直二面角，是直二面角，.262021/3/17练练 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中, (1)求证求证:平面平面A1C平面平面B1D ACDA1C1D1E FB1(2)E、F分别是分别是AB、BC的中点的中点, 求证求证:平面平面A1C1FE平面平面B1D(3)G是是BB1的的中点中点, 求证求证:平面平面A1C1G平面平面B1D GGGG总结总结:直线直线A1C1 平面平面B1D,则过直线则过直线A1C1 的平面都垂直于平面的平面都垂直于平面B1D练习272021/3/17例3:如图

20、,AB是O的直径,PA垂直于O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,求证:PACPBC. 平面平面CPABO证明:设O所在的平面为 ,由已知条件,PA,BC在内,所以PA BC因为点C是圆周上不同于A,B的任意一点,AB是O的直径所以,BCA是直角,即BC AC又因为PA与AC是PAC所在平面内的两条相交直线,所以,BC 平面PAC。又因为BC在平面PBC内,所以,平面PAC 平面PBC。分析分析:找出在一个面内与另一个面垂直的直线找出在一个面内与另一个面垂直的直线. .BCBC平面平面PACPAC282021/3/17ABCPO O证明证明:由由AB是圆是圆O的直径的直径,可得可得A

21、CBCPAABCBCABC平面平面BCPAC 平面PABCBCACPAACABCPBC 平面平面PAC平面PBC例例 3 如图如图,AB是是O的直径的直径,PA垂直于垂直于O所在的平面所在的平面,C是圆周上不同于是圆周上不同于A,B的任意一点的任意一点,求证求证:平面平面PAC平面平面PBC练习292021/3/172.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的两条直线内的两条直线,则则.（ ）课堂练习课堂练习:1.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线内的一条直线,则则.（ ）3. 如果平面如果平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直

22、于平面内的两条相交直线内的两条相交直线, 则则.（ ）一、判断一、判断:4.若若m,m ,则则.( )302021/3/171.过平面过平面的一条垂线可作的一条垂线可作_个平面个平面 与平面与平面垂直垂直.2.过一点可作过一点可作_个平面与已知平面垂直个平面与已知平面垂直.二、填空题二、填空题:3.过平面过平面的一条斜线的一条斜线,可作可作_个平个平 面与平面面与平面垂直垂直.4.过平面过平面的一条平行线可作的一条平行线可作_个平个平 面与面与垂直垂直.一一无数无数无数无数一一312021/3/17B BC CD DA A垂直，为什么？你能发现哪些平面互相平面如图，已知,CDBCBCDAB32

23、2021/3/172.2.如图如图, ,正方形正方形SGSG1 1G G2 2G G3 3中中, ,E E, ,F F分别是分别是G G1 1G G2 2, ,G G2 2G G3 3的中的中点点, ,D D是是EFEF的中点的中点, ,现在沿现在沿SESE, ,SFSF及及EFEF把这个正方形折把这个正方形折成一个四面体成一个四面体, ,使使G G1 1, ,G G2 2, ,G G3 3三点重合三点重合, ,重合后记为重合后记为G- G- SEFSEF, ,则四面体则四面体SEFGSEFG中必有中必有( ).( ). (A)SG(A)SGEFGEFG所在平面所在平面 (B)SD(B)SDE

24、FGEFG所在平面所在平面 (C)GF(C)GFSEFSEF所在平面所在平面 (D)GD(D)GDSEFSEF所在平面所在平面SG1G2G3EFD332021/3/17SG1G2G3EFDSEFGDSGSGEFGEFG所在平面所在平面. .故选故选A A. .342021/3/170,.1).,_.2).,_.3).,90 ,_ABCPPOOPA PB PCPAPBPCOABCPAPB PBPC PCPAOABCPAPBPCCOAB例 过所在平面 外一点作垂足为连接若则 是的心若则 是的心若则 是边的点.PABC外外垂垂中中练习练习:P79 B组组2(2)352021/3/17ABCPPOOP

25、APC.i)PAPBPCOAB过所在平面 外的一点 ，作，垂足为 ，连接，PB，求证：若，则点 是的中点.PABCOOAOBOCPOABCPOOAPOOBPOOCPA=PB=PCPO=PO=PORt POARt POBRt POCOA=OB=OCOABC.证明:连接，面，即 为的外心ABCABC=90OAC.特别地，当为直角三角形，如，则 为斜边的中点362021/3/17P-ABCPAPBPCABC=:PACABC.变式1 在三棱锥中，90 ，求证 面面PABCPOO.OAOBOCPOABCPOOAPOOBPOOCPA=PB=PCPO=PO=PORt POARt POBRt POCOA=OB

26、=OCOABC.过 作面的垂线，垂足为连接，面，法，一即 为的外心:ABCABC=90OAC.POPACPOABCPACABC为直角三角形，则 为斜边的中点由面，面，可得面面.PABC372021/3/17ACBCEFPEEFPF法二:分别取，的中点 ， ，连接，.ABC=90BCABABCEFACBCEF/AB,BCEF ，在中， ， 分别是边，的中点故有PABC,EACPEACPAPB点 为的中点，.EFPB=PCFBCPFBC又， 为的中点，PFEF=FBCBCPEPEF.面即有而，P-ABCPAPBPCABC=:PACABC.变式1 在三棱锥中，90 ，求证 面面PEACPEBCACB

27、C=CPEABC.故由，面PEPACPACABC.面， 面面分析382021/3/17ACEPEPEABC.证明:取的中点 ，连接，往证面BFEFPFEF/BC.PEEF.取A 的中点 ，连接，则往证即可PABC,EACPEACPAPB点 为的中点，.EF1BCABCEFBC.22aa设，在中，PEBC,.接下来往证可转化为异面直线所成角问题RAPCRABC注意： ttPEEF.（和相交，本题已知的边角关系较多，可考虑勾股定理）12Rt APCEAC.22a在等腰中，P223APBF= PAAF =2a在等腰中，P22PE +EF = FPEEF2P ，Rt ABCACACPPBAB.)PAC

28、ABC)B-PC-Aiii变式2 把等腰沿着斜边旋转到的位置，使得求证面面 求二面角的余弦值.或者考虑二面角定义法或者考虑二面角定义法392021/3/17PCGEGBGBEEGCPAEG/PAPAPCEGPC.BP=BCGPCBGPCEGBB-PC-A.解1:取的中点 ，连接，为的中位线，又， 为的中点，为所求二面角的平面角112BC,APCEG=,ABCEB=AC=,2223PBCBG=.2aaaa设在Rt中，在Rt中，在等边中，22GEBEG +EB =GBBEG=90 .3GEB32在中，EG在Rt中,cos EGB=GBGPABCERt ABCACACPPBAB.)PACABC)B-

29、PC-Aiii变式2 把等腰沿着斜边旋转到的位置，使得求证面面 求二面角的余弦值.402021/3/17)PACABCPACABC=AC,BE,BEACBEPACi解2:由 知面面，面面故连接则由，可得面.PACEG/PAEACGPC11BC,EG=PA=223PBCGB=.2aaa在内， 为的中点，故点 为的中点，设又在等边中，GEBEG在Rt中,cos EGB=GBGPABCEEPACEGPCGBGBGPCEGBB-PC-A.过 点在平面内作于点 ，连接，此时.为所求二面角的平面角33EGcos EGB=GBBABPBCAPC90BEPAC.)(或由，知面Rt ABCACACPPBAB.)

30、PACABC)B-PC-Aiii变式2 把等腰沿着斜边旋转到的位置，使得求证面面 求二面角的余弦值.练习2021/3/1741二、平面与平面垂直二、平面与平面垂直(1)定义定义:两平面所成二面角为直二面角两平面所成二面角为直二面角(2)判定定理判定定理:(3)性质定理性质定理:l平面 过平面 的垂线两平面垂直，则平面 内垂直于公共棱的直线是另一个平面 的垂线.一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直(1)定义定义:ll 垂直于平面 内的所有直线.(2)判定定理判定定理:ll 两垂直于平面 内的直线条相交(3)线线垂直的常用证明方法线线垂直的常用证明方法:a.平面内的两直线平面内的两直线b.空间内的

31、两直线空间内的两直线12转化为异面直线所成角问题线面垂直线线垂直.12菱形，正方形等对角线互相垂直等腰三角形底边上的高3 勾股定理.lbbl要证明 垂直于 内的直线 ，往往反过来证明 垂直于过 的某个平面(4)两条平行线垂直于同一个平面两条平行线垂直于同一个平面,垂直于同一一个面的两直线平行垂直于同一一个面的两直线平行.2021/3/1742三、角度问题名称名称定义定义图形图形两条异面直线两条异面直线 所成的角所成的角直线与平面直线与平面所成的角所成的角二面角及它的平面二面角及它的平面角角直线直线a、b是异面直线是异面直线,经过空间任经过空间任意一点意一点o,作直线作直线a、b,并使并使a/a

32、,b/b,我们把我们把直线直线a和和b所成所成的锐角（或直角）叫做异面直线的锐角（或直角）叫做异面直线a和和b所成的角所成的角.从一条直线出发的两个半平面所组从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做成的图形叫做二面角二面角。以二面角的。以二面角的棱上任意一点为端点棱上任意一点为端点,在两个面内在两个面内分别作垂直于棱的两条射线分别作垂直于棱的两条射线,这两这两条射线所成的角叫做条射线所成的角叫做二面角的平面二面角的平面角角。LoBAALBO平面的一条斜线和它在这个平面内的平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做射影所成的锐角，叫做这条直线和这这条直线和这个平面所成的角，个平面所成

33、的角，特别地，若特别地，若L?则则L与与所成的角是直角所成的角是直角，若，若L/或或 L ，则则L与与所成的角是的角。所成的角是的角。2021/3/1743 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化化归与转化,即把空间的角转化为平面的角,进而转化为三角形的内角,然后通过解三角形求得.2.方法:3.步骤:b.求直线与平面所成的角:a.求异面直线所成的角:c.求二面角的大小:作（找） 证 点 算1.数学思想:平移 构造可解三角形找（或作）射影 构造可解三角形找（或作）其平面角 构造可解三角形定义法或者垂线法定义法或者垂线法即找面的垂线即找面的垂线,找出垂足找出垂足找平行线方法找平行线方法:中

34、位线中位线,平行四边形平行四边形,线段成比例线段成比例,线面平行的性质定理等线面平行的性质定理等2021/3/1744归纳小结归纳小结: (1)判定面面垂直的两种方法判定面面垂直的两种方法: 定义法定义法根据面面垂直的判定定理根据面面垂直的判定定理 (2)面面垂直的判定定理不仅是面面垂直的判定定理不仅是判定两个平判定两个平面互相垂直面互相垂直的依据的依据,而且是而且是找出垂直于一个平找出垂直于一个平面的另一个平面面的另一个平面的依据的依据; (3)从面面垂直的判定定理我们还可以看从面面垂直的判定定理我们还可以看出出面面垂直面面垂直的问题可以转化为的问题可以转化为线面垂直线面垂直的问题来的问题来

35、解决解决. 452021/3/17OLLABOPABback练习：二面角练习：二面角 的平面角为的平面角为 , PA 于于A点，点，PB 于于B点，点，PA=a，PB=b，求点，求点P到棱到棱 的距离的距离.ll462021/3/17back练练 如图如图,在三棱锥在三棱锥P- -ABC中中,ACBC=2,PA=PB=AB,ACB90o,PCAC.(1)求证求证:PC AB;(2)求二面角求二面角BAPC的大小的大小.472021/3/17练练2 在长方体在长方体ABCD-A1B1C1D1中中,AB=2, BC=BB1=1, E为为C1D1的中点的中点,求二面角求二面角 E-BD-C的大小的大

36、小.AA1BB1CC1DD1EMFback482021/3/17在正方体在正方体AC1中中,E,F分别是中点分别是中点,求截面求截面A1ECF和底和底面面ABCD所成的锐二面角的大小所成的锐二面角的大小.EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1CHHback492021/3/17练练1 如图如图,M是正方体是正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱AB的中点的中点,求二面求二面角角A1MCA的正切值的正切值ABCDMA1B1C1D1NH思路分析思路分析:找基面找基面找基面的垂线找基面的垂线 AA1作平面角作平面角 作作AHCM交交CM的延长的延长线于线于H,连结连结A1H平面平面ABC

37、D解解:作作AHCM交交CM的延长线于的延长线于H,连连 结结A1HA1A平面平面AC,AH是是A1H 在平面在平面AC内的射影内的射影,A1HCM,A1HA为二面角为二面角A1CMA的平面角的平面角设正方体的棱长为设正方体的棱长为1M是是AB的中点的中点,且且AMCD,则在则在直角直角AMN中中,AM = 0.5,AN= 1,MN = 15AM ANAHMN5211tan5A AAHAAHback502021/3/17如图如图,在底面是直角梯形的四棱锥在底面是直角梯形的四棱锥S- -ABCD中中,ABC=90,SA面面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求四棱锥求四棱锥S- -A

38、BCD的体积的体积;(2)求面求面SCD与面与面SBA所成的二面角的正切值所成的二面角的正切值.(2)提示提示:因所求二面角无因所求二面角无“棱棱”,故先延故先延长长BA、CD以确定棱以确定棱SE,然后证然后证明明BSC为平面角为平面角.back512021/3/17A .O解解:则则AD l .sinADO= 432 ADO=60.即二面角即二面角 l 的大小为的大小为60 .在在RtADO中中,AOAD练练 已知二面角已知二面角 l ,A为面为面 内一点内一点,A到到 的距离为的距离为 ,到到l的距离为的距离为 4. 求求二面角二面角 l 的大小的大小. lD过过 A作作 AO 于于O,过

39、过 O作作 OD l 于于D,连连AD,2 3,4AOAD且ADO 就是二面角就是二面角 l 的平面角的平面角.2 3back练练 在二面角在二面角- -l- -的一个平面的一个平面内有一条直线内有一条直线AB,它与棱它与棱 l 所成所成的角为的角为45,与平面与平面所成的角为所成的角为30,则这个二面角的大小是则这个二面角的大小是_.45或或135522021/3/17. aa已知：，求证： 证明证明:CDABE在平面在平面内过内过B点作直线点作直线BECD,则则ABE就是二面角就是二面角- -CD- -的平面角的平面角,设设=CD,则则BCD.AB，CD ，ABCD.AB，BE ， ABBE. 二面角二面角- -CD- -是直二面角，是直二面角，.aback532021/3/17练习练习1.过平面过平面的一条垂线可作的一条垂线可作_个平面与平面个平面与平面垂直垂直.2.过一点可作过一点可作_个平面与已知平面垂直个平面与已知平面垂直.3.过平面过平面的一条斜线的一条斜线,可作可作_个平面与平面个平面与平面垂直垂直.4.过平面过平面的一条平行线可作的一条平行线可作