型曲面积分的计算课件

1、型曲面积分的计算9.7 第一型曲面积分的计算第一型曲面积分的计算一一、第第一一型型曲曲面面积积分分的的概概念念与与性性质质类似于第一类曲线积分中曲线形物件质量的讨论类似于第一类曲线积分中曲线形物件质量的讨论, , 如果把曲线改成曲面如果把曲线改成曲面, , ),( ),( ，改改成成面面密密度度把把线线密密度度zyxfyxf , iiSs 改为小块曲面的面积改为小块曲面的面积小曲线弧的长度小曲线弧的长度 , ),( ),( 则得则得小块曲面上的任一点小块曲面上的任一点改为第改为第小段曲线弧上的任一点小段曲线弧上的任一点并把第并把第iiiiiii .),( lim 10 niiiiidSfM曲面

2、的质量曲面的质量型曲面积分的计算1 1. .定定义义 设设 曲曲面面是是光光滑滑的的，),(zyxf在在上有界上有界 。 把把 任任意意分分成成iSn 小小块块（iS 同同时时代代表表第第 i 小小块块曲曲面面的的面面积积） ， iiiiS ),() , , 2 , 1(ni ，作作和和式式 ),(1 niiiiiSf， 设设max 1的直径的直径iniSd ，如如果果当当时时0d，这这和和式式的的极极限限 总总存存在在，则则称称此此极极限限为为上上的的在在 ),(zyxf第第一一型型曲曲面面积积分分 或或对对面面积积的的曲曲面面积积分分，记记作作 dSzyxf),(，即即 型曲面积分的计算面

3、积元素面积元素 注注： 第第一一型型曲曲面面积积分分具具有有与与第第一一型型曲曲线线积积分分相相类类似似的的性性质质。 niiiiidSfdSzyxf10),( lim ),(被积函数被积函数积分曲面积分曲面积分和式积分和式则则若若例例如如, :21 .d),(d),(d),(21 SzyxfSzyxfSzyxf型曲面积分的计算2. 用曲面积分表示与物质曲面有关的物理量用曲面积分表示与物质曲面有关的物理量则则上上连连续续在在设设面面密密度度 ,),( zyx;d),( SzyxM曲曲面面质质量量,d),(1 SzyxxMx曲曲面面重重心心坐坐标标,d),(1 SzyxyMy.d),(1 Szy

4、xzMz型曲面积分的计算二、二、第一型曲面积分的计算法第一型曲面积分的计算法 设有曲面设有曲面：),(yxzz ，xy 在在 面上的投影区域为面上的投影区域为xyD， 则则曲面曲面的面积的面积dxdyyxzyxzSxyDyx ),(),(122， 面面积积元元素素 dxdyyxzyxzdSyx),(),(122 ， 设设光光滑滑曲曲面面的的 方方程程为为),(yxzz ，xy 在在 面面上上的的 投投影影区区域域为为xyD，函函数数),(yxz在在xyD上上有有一一阶阶连连续续偏偏 导导数数，若若),(zyxf 在在上上连连续续，则则有有 型曲面积分的计算dxdyyxzyxzyxzyxfdSz

5、yxfxyDyx ),(),(1),(,(),(22注注： （1 1）计计算算第第一一型型曲曲面面积积分分 dSzyxf),(时时，只只要要将将 被被积积函函数数),(zyxf中中的的),( yxzz 换换成成，面面积积元元素素换换成成 dS dxdyyxzyxzyx),(),(122 ， 曲曲面面换换成成投投影影区区域域xyD即即可可。 记忆口诀记忆口诀：“一代二换三投影一代二换三投影”。 型曲面积分的计算（2 2）若若曲曲面面的的 方方程程为为),(zyxx ，yzDzy ),(，则则 dydzzyxzyxzyzyxfdSzyxfyzDzy ),(),(1),),(),(22， （3 3）

6、若若曲曲面面的的 方方程程为为),(zxyy ，xzDzx ),(，则则 dxdzzxyzxyzzxyxfdSzyxfxzDzx ),(),(1),(,(),(22。 （4 4）1),( zyxf时时，的的面面积积曲曲面面 dS。 型曲面积分的计算 4321xyzdsxyzdSxyzdSxyzdSxyzdS 在在1 ，2 ，3 上上，0 xyz， 解：将解：将在在 平面平面0 x，0 y，0 z 及及1 zyx上的部分依次记为上的部分依次记为 1 ，2 ，3 ，4 ，则，则 xyzo1112 1 3 4 型曲面积分的计算上上在在 4 ，yxz 1， 3)1()1(112222 yxzz， dx

7、dyyxxyxyzdSxyzdSxyD)1(34 xdyyxyxdx1010)1(3 10132032)1(3dxyyxxx0321 xyzdSxyzdSxyzdS。 .1203)33(636)1(310432103 dxxxxxdxxxxyzo1112 1 3 4 型曲面积分的计算被被柱柱面面axyx222 所所截截得得的的有有限限部部分分。 xyzoxyD解解 ： 22yxz ， 22yxxzx ，22yxyzy ， dxdydxdyzzdSyx2122 ， 型曲面积分的计算 xyDxdxdyyxzxdSdSzxyzxy222)( cos203 cos222add 222054 54cos

8、28cos24dada.15264132542844aa 关关于于xoz面面对对称称，而而 22xzy ，被被积积函函数数 中中yzxy,都都是是 y 的的奇奇函函数数， 0 yzdSxydS， zxdSdSzxyzxy)(。 型曲面积分的计算1 其其中中位位于于第第一一卦卦限限的的部部分分是是 1， 解解：曲曲面面关关于于yoz平平面面和和xoz平平面面对对称称， 12222224zyxdSzyxdS hz 0，)0, 0( ha。 把把1 投影到投影到yoz平面，得平面，得0 ,0),(hzayzyDyz ， xyzoha型曲面积分的计算22yayxy ，0 zx， dydzyaadydz

9、xxdszy22221 ， dydzyaazazyxdSzyxdSyzD22222222221441 hadzzadyyaa022022114 .arctan2arctan124)arctan1()(arcsin400ahahaaazaayaha 1 的的方方程程为为22yax ， 1 xyzoha型曲面积分的计算积积分分曲曲面面 关关于于面面yOz， 面面对对称称xOz，是是偶偶函函数数关关于于被被积积函函数数 ,yxxyz， 其其中中)10(:22 zyxz。 解解：质质量量 dSxyzM， xyzo1xyD 1d4dSxyzSxyz，在在第第一一卦卦限限的的部部分分是是 1 。 型曲面积

10、分的计算dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 14xyzdSdSxyzM dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 dd 10222041sincos42dd21050412sin22 duuu u25122412141令.42015125 型曲面积分的计算例例 5 5计计算算曲曲面面积积分分 SdczbyaxId)(2，其其中中 解解： dSdczbyaxI2)( dScdzbdyadx)222 由由积积分分曲曲面面的的对对称称性性及及被被积积函函数数的的奇奇偶偶性性知知： , 0 xzdSyzdSxydSzdSydSxdS是是球球面面 ：2222Rzyx

11、 。 bcyzabxydzcybxa22(2222222 型曲面积分的计算由由坐坐标标的的轮轮换换对对称称性性知知： ,)(31222222 dSzyxdSzdSydSx dSddSxcbaI22222)( dSddSzyxcba2222222)()(31 dSdcbaR)(3122222.)(314222222dcbaRR 型曲面积分的计算作作 业业 总总 习习 题题（P P196196）1 1（2 2）（）（5 5）（上凸曲线弧部分）；（上凸曲线弧部分）； 2 2（3 3）；6 6 ；8 8 ； 10 10 ； 1111 ； 1414（1 1）15 15 ；16 16 ； 17 17 ；1

12、9; 23 19; 23 ； 25 25 。习习 题题 六六（P P196196）1 1 ；2 2 ；6 6 ；7 7 。型曲面积分的计算解解：抛抛物物线线2xy 把把 D 分分为为两两个个子子区区域域： 2 , 1),(21 yxxyxD， 0 , 1),(22xyxyxD 。 2xy D1D2oxy-1-11 12 2 22122),( ,),( ,DyxyxDyxxyxy 型曲面积分的计算 10310234)2(3423dxxdxx.235 被被积积函函数数2xy 在在 D 上上是是关关于于的的 x偶偶函函数数，积积分分 区区域域 D 关关于于轴轴 y对对称称，1D、2D也也关关于于轴轴

13、 y对对称称，故故 dxdyyxdxdyxydxdyxyDDD 21222 dyyxdxdyxydxxx 22021022102231cos316404 tdttxsin2 型曲面积分的计算习习题题三三（P187） 4.求曲线 AB 的方程，使图形 OABD 绕 x 轴旋转所生成的旋转体的形心的横坐标等于曲 线上任一点 B 的横坐标的54。 xyoABD解：设)0 ,(xD，)(,(xyxB， 即 AB 的方程为)(xyy 。 又设旋转体 为，密度为 常数，则有 dVxdVx， 而xdxxydV02)(， )(xyy 型曲面积分的计算xxDxdxxxydydzxdxxdV02)(0)(， 由题

14、设知xdxxydxxxyxx54)()(0202， xxdttyxdttty0202)(4)(5， 求导得)(4)(4)(52022xxydttyxxyx xdttyxxy022)(4)(， 再求导得)(4)()(2)(22xyxyxxyxy )(3)(2xyxyx0)(23)(xyxxy23)(Cxxy。 型曲面积分的计算按题意要求夹在定球内部的变球表面积， 故 222yxRaz， 9设半径为 R 的球的球心位于半径为 a 的定球面上， 试证当前者夹在定球内部的表面积 S 为最大时，aR34。 解：球球心建立坐标系使原点在定， 轴穿过变球球心z， xyzaRa O型曲面积分的计算222yxRxzx，222yxRyzy， ,122222dxdyyxR