第十四章稳恒电流的磁场

1、1 第第14章章 稳恒电流的磁场稳恒电流的磁场 14.1 14.1 电流密度矢量电流密度矢量 电动势电动势 14.2 14.2 磁场磁场 14.3 14.3 毕奥毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律 14.4 14.4 安培环路定理安培环路定理 14.5 14.5 磁场对载流导线的作用力磁场对载流导线的作用力 14.6 14.6 带电粒子在电磁场中运动带电粒子在电磁场中运动 司南勺司南勺 最早的指南器具最早的指南器具 作业：作业：练习册练习册 选择题：选择题：110 填空题：填空题：110 计算题：计算题：1 7 2 电磁学的学习特点电磁学的学习特点 1. 与力学相比，电磁学的思路与学习方法不同与力学相比

2、，电磁学的思路与学习方法不同 力学力学 牛顿运动牛顿运动 定律定律 动量规律动量规律 功能规律功能规律 电磁学电磁学 电现象电现象 磁现象磁现象 电生磁电生磁 磁生电磁生电 电磁场电磁场 方程组方程组 3 2. 与中学相比，加深了数学与物理的结合与中学相比，加深了数学与物理的结合 高等数学的微积分、高等数学的微积分、 矢量代数的运用。矢量代数的运用。 3. 电学与磁学相比，两者思路相似：电学与磁学相比，两者思路相似： 实验规律实验规律场的性质场的性质 场与物质的场与物质的 相互作用相互作用 但概念的引入、公式的表达却不尽相同。但概念的引入、公式的表达却不尽相同。 原因是没有单独的磁荷原因是没有

3、单独的磁荷 学好电学是学好磁学的基础。学好电学是学好磁学的基础。 4 1.1.电流电流 电流电流电荷电荷的定向运动。的定向运动。 载流子载流子电子、质子、离子、空穴电子、质子、离子、空穴。 2.2.电流强度电流强度 单位时间通过导体单位时间通过导体某一横截面某一横截面的电量。的电量。 方向：正电荷运动的方向方向：正电荷运动的方向 单位：安培单位：安培( (A) ) t q t q I td d lim 0 1 1 电流、电流密度矢量电流、电流密度矢量 5 几种典型的电流分布几种典型的电流分布 6 电流强度对电流的描述比较粗糙：电流强度对电流的描述比较粗糙： 如对横截面不等的导体，如对横截面不等

4、的导体，I 不能反映不同截面不能反映不同截面 处及同一截面不同位置处电流流动的情况。处及同一截面不同位置处电流流动的情况。 引入电流密度矢量引入电流密度矢量 描写空间各点电流大小和方向的物理量。描写空间各点电流大小和方向的物理量。 7 某点的某点的电流密度电流密度 方向：该点正电荷定向运动的方向。方向：该点正电荷定向运动的方向。 大小：通过垂直于该点正电荷运动方向大小：通过垂直于该点正电荷运动方向 的单位面积上的电流强度。的单位面积上的电流强度。 导体内每一点都有自己的导体内每一点都有自己的 ， = (x, y, z) 即导体内存在一个即导体内存在一个 场场 称电流场。称电流场。 电流线电流线

5、：类似电力线，在电流场中可画电流线。：类似电力线，在电流场中可画电流线。 3. 3. 电流密度电流密度 (Current density) S I d d 8 4.4.电流密度和电流强度的关系电流密度和电流强度的关系 (1) 通过面元通过面元dS的电流强度的电流强度 (2) 通过电流场中任一面积通过电流场中任一面积S的电流强度的电流强度 SS SII dd 电流强度是通过某一面积的电流密度的电流强度是通过某一面积的电流密度的通量通量 S I d d SSSI dcosddd 电荷的运动可形成电流，电荷的运动可形成电流，也可引起空间电荷分布的变化也可引起空间电荷分布的变化 在电流场内取一闭合面在

6、电流场内取一闭合面S，当有电荷从，当有电荷从S面流入和流出时，则面流入和流出时，则S面内的面内的 电荷相应发生变化。电荷相应发生变化。 由电荷守恒定律，单位时间内由由电荷守恒定律，单位时间内由S 流出的净流出的净 电量应等于电量应等于S 内电量的减少内电量的减少 电流连续性方程电流连续性方程 t q S S d d d 内 恒定（恒定（稳恒稳恒）电流电流条件条件 0 d d t q内 S S0d 9 5.5.欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 在导体的电流场中设想在导体的电流场中设想 取出一小圆柱体取出一小圆柱体 ( (长长dl、 横截面横截面dS) ) dU小柱体两端的电压小柱体两端的电压

7、 dI 小柱体中的电流强度小柱体中的电流强度 由欧姆定律由欧姆定律 dU = dI R Edl = dS ( dl /dS) = (1/ )E = E 电导率：电导率： = 1/ 导体中任一点电流密度的导体中任一点电流密度的 方向方向( (正电荷运动方向正电荷运动方向) )和和 该点场强方向相同，有该点场强方向相同，有 E 欧姆定律的欧姆定律的 微分形式微分形式 dI dS dl dU 10 1. 基本磁现象基本磁现象 2 磁场磁场 早期的磁现象早期的磁现象 (1) (1) 天然磁铁吸引铁、钴、镍等物质。天然磁铁吸引铁、钴、镍等物质。 (2)(2) 条形磁铁两端磁性最强，称为磁极。一只能够在水

8、平面内自条形磁铁两端磁性最强，称为磁极。一只能够在水平面内自 由转动的条形磁铁，平衡时总是顺着南北指向。指北的一端称由转动的条形磁铁，平衡时总是顺着南北指向。指北的一端称 为北极或为北极或N极，指南的一端称为南极或极，指南的一端称为南极或S极。同性磁极相互排斥，极。同性磁极相互排斥， 异性磁极相互吸引。异性磁极相互吸引。 (3) (3) 把磁铁作任意分割，每一小块都有南北两极，任一磁铁总把磁铁作任意分割，每一小块都有南北两极，任一磁铁总 是两极同时存在。是两极同时存在。 (4) (4) 某些本来不显磁性的物质，在接近或接触磁铁后就有了磁某些本来不显磁性的物质，在接近或接触磁铁后就有了磁 性，这

9、种现象称为磁化。性，这种现象称为磁化。 磁现象与电现象有没有联系？磁现象与电现象有没有联系？ 11 奥斯特早在读大学时就深受康德哲学思想（一元论）奥斯特早在读大学时就深受康德哲学思想（一元论） 的影响，的影响，认为各种自然力都来自同一根源认为各种自然力都来自同一根源，可以相，可以相 互转化。他认为电向磁的转化不是不可能的，关键互转化。他认为电向磁的转化不是不可能的，关键 是要找出转化的具体条件。寻找这两大自然力之间是要找出转化的具体条件。寻找这两大自然力之间 联系的思想，经常盘绕在他的头脑中。联系的思想，经常盘绕在他的头脑中。 18191819年冬，奥斯特在哥本哈根开设了一个讲座，讲授电磁学方

10、面的年冬，奥斯特在哥本哈根开设了一个讲座，讲授电磁学方面的 课题。在备课中，课题。在备课中，奥斯特分析了前人在电流方向上寻找磁效应都未奥斯特分析了前人在电流方向上寻找磁效应都未 成功的事实，想到磁效应可能像电流通过成功的事实，想到磁效应可能像电流通过 导线产生热和光那样是向四周散射的，即导线产生热和光那样是向四周散射的，即 是一种横向力，而不是纵向的是一种横向力，而不是纵向的。 18201820年年4 4月的一天晚上，奥斯特在讲课月的一天晚上，奥斯特在讲课 快结束时，他说：让我把导线与磁针快结束时，他说：让我把导线与磁针 平行放置来试试看。当他接通电源时，平行放置来试试看。当他接通电源时， 他

11、发现小磁针微微动了一下。他发现小磁针微微动了一下。 物理史话物理史话 发现电流磁效应发现电流磁效应 奥斯特奥斯特(1820) 12 这一现象使奥斯特又惊又喜，他紧紧抓住这一现象，连续进行这一现象使奥斯特又惊又喜，他紧紧抓住这一现象，连续进行 了了3个月的实验研究，终于在个月的实验研究，终于在1820年年7月月21日发表了题为日发表了题为关于磁关于磁 针上的电流碰撞的实验针上的电流碰撞的实验的论文。这篇仅用了的论文。这篇仅用了4页纸的论文，是页纸的论文，是 一篇极其简洁的实验报告。一篇极其简洁的实验报告。 奥斯特在报告中讲述了他的实验装置和奥斯特在报告中讲述了他的实验装置和6060多个实验的结果

12、，从多个实验的结果，从 实验总结出：电流的作用仅存在于载流导线的周围；沿着螺纹方向实验总结出：电流的作用仅存在于载流导线的周围；沿着螺纹方向 垂直于导线；电流对磁针的作用可以穿过各种不同的介质；作用的垂直于导线；电流对磁针的作用可以穿过各种不同的介质；作用的 强弱决定于介质，也决定于导线到磁针的距离和电流的强弱；铜和强弱决定于介质，也决定于导线到磁针的距离和电流的强弱；铜和 其他一些材料做的针不受电流作用；通电的环形导体相当于一个磁其他一些材料做的针不受电流作用；通电的环形导体相当于一个磁 针，具有两个磁极，等等。针，具有两个磁极，等等。 奥斯特发现的电流磁效应，是科学史上的重大发现。它立即引

13、奥斯特发现的电流磁效应，是科学史上的重大发现。它立即引 起了那些懂得它的重要性和价值的人们的注意。在这一重大发现之起了那些懂得它的重要性和价值的人们的注意。在这一重大发现之 后，一系列的新发现接连出现。两个月后安培发现了电流间的相互后，一系列的新发现接连出现。两个月后安培发现了电流间的相互 作用，阿拉果制成了第一个电磁铁，施魏格发明电流计等。安培曾作用，阿拉果制成了第一个电磁铁，施魏格发明电流计等。安培曾 写道：写道：“奥斯特先生奥斯特先生已经永远把他的名字和一个新纪元联系在已经永远把他的名字和一个新纪元联系在 一起了。一起了。”奥斯特的发现揭开了物理学史上的一个新纪元。奥斯特的发现揭开了物理

14、学史上的一个新纪元。 13 安培提出安培提出: :一切磁现象起源于电荷运动。一切磁现象起源于电荷运动。 运动电荷运动电荷运动电荷运动电荷 磁场磁场 发现电流磁效应发现电流磁效应 奥斯特奥斯特(1820) 任何运动电荷或电流，均在周围空间产生磁场。任何运动电荷或电流，均在周围空间产生磁场。 磁磁场概念的引入场概念的引入 磁力是运动电荷之间相互作用的表现。磁力是运动电荷之间相互作用的表现。 磁场对外的重要表现：磁场对外的重要表现： （1）磁场对引入磁场中的运动电荷或载流导体有磁力的作用。磁场对引入磁场中的运动电荷或载流导体有磁力的作用。 （2）载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力对载流导体作功。载

15、流导体在磁场中移动时，磁场的作用力对载流导体作功。 14 用磁场对载流线圈（或导体）或运动电荷的作用来描述磁场。用磁场对载流线圈（或导体）或运动电荷的作用来描述磁场。 运动的正点电荷在磁场中所受的磁力来定义。运动的正点电荷在磁场中所受的磁力来定义。 2. 磁感应强度磁感应强度 设带电量为设带电量为q，速度为，速度为v 的运动试探电荷处于磁场中，的运动试探电荷处于磁场中， 实验发现：实验发现： (1) 当运动试探电荷以同一速率当运动试探电荷以同一速率v 沿不同方向沿不同方向通过磁场中某点通过磁场中某点P 时，电荷所受时，电荷所受磁力磁力的大小是不同的，但磁力的方向却总是与的大小是不同的，但磁力的

16、方向却总是与 电荷运动方向垂直；电荷运动方向垂直； (2) 在磁场中的在磁场中的P点处存在着一个特定的方向，当电荷点处存在着一个特定的方向，当电荷沿此方向沿此方向 或相反方向运动或相反方向运动时，所受到的时，所受到的磁力磁力为零，与电荷本身性质无关为零，与电荷本身性质无关; (3) 在磁场中的在磁场中的P点处，电荷点处，电荷沿与上述特定方向垂直的方向运沿与上述特定方向垂直的方向运 动动时所受到的时所受到的磁力磁力最大最大(记为记为Fm)， 并且并且Fm与与qv 的比值是与的比值是与q、 v 无关的确定值。无关的确定值。 15 由实验结果可见，磁场中任何一点都存在一个固有的特定方由实验结果可见，

17、磁场中任何一点都存在一个固有的特定方 向和确定的比值向和确定的比值Fm/(qv)，与试验电荷的性质无关，反映了磁，与试验电荷的性质无关，反映了磁 场在该点的方向和强弱特征，为此，定义一个场在该点的方向和强弱特征，为此，定义一个矢量函数矢量函数： 大小：大小：方向方向:磁力为零的方向磁力为零的方向 单位：单位：特斯拉（特斯拉（T） 高斯（高斯（Gs） 1（GS）10-4（T） vq F B m m F v B q x y z v m F B 16 s qSD d 环路定理：环路定理：0d lE L 静电场的电力线发自正电荷止于负电荷，静电场的电力线发自正电荷止于负电荷， 有头有尾，不闭合。有头有

18、尾，不闭合。 3. 磁场的高斯定理磁场的高斯定理 （磁通连续原理）（磁通连续原理） 静电场：静电场： 高斯定理：高斯定理： 各种典型的磁感应线各种典型的磁感应线(磁力线磁力线) )的分布：的分布： 直电流直电流圆电流圆电流螺线管电流螺线管电流 17 电通量电通量 磁通量磁通量 类比法类比法 用磁力线的疏密表示磁场的强弱，磁力线的切线方向表示用磁力线的疏密表示磁场的强弱，磁力线的切线方向表示 磁场的方向。磁场的方向。 可以看成是单位面积上的磁通量。可以看成是单位面积上的磁通量。 B 磁通量：磁通量：穿过磁场中任一给定曲面的磁感线总数穿过磁场中任一给定曲面的磁感线总数。 对于曲面上的非均匀磁场，对

19、于曲面上的非均匀磁场， 一般采用微元分割法求其磁通量。一般采用微元分割法求其磁通量。 对所取微元，磁通量：对所取微元，磁通量： SBSB dcosdd 对整个曲面，磁通量：对整个曲面，磁通量： 单位：单位：韦伯韦伯( (Wb) )SB S d S dS n B 18 穿过任意闭合曲面穿过任意闭合曲面S的总磁通必然为零，这就是的总磁通必然为零，这就是 磁场的磁场的高斯定理高斯定理。说明磁场是说明磁场是无源场无源场。 由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面，由磁感应线的闭合性可知，对任意闭合曲面， 穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同，穿入的磁感应线条数与穿出的磁感应线条数相同， 因此，通过

20、任何闭合曲面的磁通量为零。因此，通过任何闭合曲面的磁通量为零。 0d SB S 磁场的高斯定理磁场的高斯定理 19 然而迄今为止，人们还没有发现可以然而迄今为止，人们还没有发现可以 确定磁单极子存在的实验证据。确定磁单极子存在的实验证据。 2 n qq m 和电场的高斯定理相比，可知磁通量反映自然和电场的高斯定理相比，可知磁通量反映自然 界中没有与电荷相对应的界中没有与电荷相对应的“磁荷磁荷”（或叫单独的磁（或叫单独的磁 极）存在。但是狄拉克极）存在。但是狄拉克19311931年在理论上指出，允许年在理论上指出，允许 有磁单极子的存在，提出：有磁单极子的存在，提出： 式中式中q 是电荷、是电荷

21、、qm 是磁荷。是磁荷。 电荷量子化已被实验证明了。电荷量子化已被实验证明了。 如果实验上找到了磁单极子，那么磁场的高如果实验上找到了磁单极子，那么磁场的高 斯定斯定理理以至整个电磁理论都将作重大修改。以至整个电磁理论都将作重大修改。 ss SBqSD0d,d 运运 动动 电电 荷荷 是是 磁磁 现现 象象 的的 根根 源源 20 3 毕奥毕奥萨伐尔定律萨伐尔定律 1. 毕奥毕奥萨伐尔（萨伐尔（Biot-Savart）定律）定律 载流导线中的电流为载流导线中的电流为I，导线半，导线半 径比到观察点径比到观察点P的距离小得多，即为的距离小得多，即为 线电流。在线电流上取长为线电流。在线电流上取长

22、为dl的定向的定向 线元，规定线元，规定 的方向与电流的方向的方向与电流的方向 相同，相同， 为为电流元。电流元。 lI d l d 电流元在给定点所产生的磁感应强度的大小与电流元在给定点所产生的磁感应强度的大小与Idl 成正比，与到电流元的距离平方成反比，与电流元和矢成正比，与到电流元的距离平方成反比，与电流元和矢 径夹角的正弦成正比。径夹角的正弦成正比。 2 0 4 sind d r lI B 其中其中 0=410-7NA-2， 称为称为真空中的磁导率。真空中的磁导率。 I L r P lI d 21 磁感应强度的矢量式：磁感应强度的矢量式： )15.14( 3 0 4 d d r rlI

23、 Biot-Savart定律的微分形式定律的微分形式 )16.14( 3 0 d 4 L r rlI B Biot-Savart定律的积分形式定律的积分形式 B d r P l d I B d lI d r 22 II P l d S 设电流元设电流元Idl，横截面积，横截面积S，单位体积内有，单位体积内有n个定向运动的正电荷个定向运动的正电荷, 每个电荷电量为每个电荷电量为q，定向速度为，定向速度为v 。 单位时间内通过横截面单位时间内通过横截面S的电量即的电量即 为电流强度为电流强度I 电流元在电流元在P点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度 2 0 sind 4 d r lSqn B v

24、2. 运动电荷的磁场运动电荷的磁场 设电流元内共有设电流元内共有dN个以速度个以速度v 运动运动 的带电粒子：的带电粒子：lnSNdd 每个带电量为每个带电量为q的粒子以速度的粒子以速度v通过电流元所在位置时，在通过电流元所在位置时，在P 点产生的点产生的磁感应强度大小磁感应强度大小为：为： 2 0 sin 4d d r q N B B v t q I d d v v S S nq t tnq d d nqtq txt S dd dd:d v v 3 0 4r rq B v 23 3 3 毕奥毕奥萨伐尔定律的应用萨伐尔定律的应用 解题步骤：解题步骤： 1.1.将电流分成电流元将电流分成电流元l

25、I d 然后，从毕奥萨伐尔定律解出然后，从毕奥萨伐尔定律解出dB的大小与方向的大小与方向; 2.2.按坐标轴方向分解，求得按坐标轴方向分解，求得 dBx ,dBy ,dBz 222 zyx BBBB指明指明 的方向的方向。B kBjBiBB zyx 或者用矢量式表示或者用矢量式表示 ;d,d,d zzyyxx BBBBBB3.3. 注意：直接对注意：直接对dB 积分是常见的错误积分是常见的错误， 一般一般 B dB I r P lI d )16.14( 3 0 d 4 L r rlI B 24 设有长为设有长为L的的载流直导线，通有电流载流直导线，通有电流I。计。计 算与导线垂直距离为算与导线

26、垂直距离为a的的P点的磁感强度。点的磁感强度。 取取z轴沿载流导线，如图所示。轴沿载流导线，如图所示。 例例1 1 载流长直导线的磁场载流长直导线的磁场 按毕奥按毕奥萨伐尔定律有：萨伐尔定律有： 3 0 d 4 d r rlI B LL r lI BB 2 0 sind 4 d B d 由几何关系有：由几何关系有：sin/ar dcscd 2 al cotal P O 所有所有dB 的方向相同，所以的方向相同，所以P点的点的B的大小为的大小为： I 1 2 L l r lI d a L r lI B 2 0 sind 4 dsin 4 2 1 0 a I 21 0 coscos 4 a I 2

27、 0 sind 4 d r lI B 25 21 0 coscos 4 a I B 考虑三种情况：考虑三种情况： (1)(1)导线无限长导线无限长，即即 21 , 0 a I B 2 0 (2)(2)导线半无限长导线半无限长，场点与一端场点与一端 的连线垂直于导线的连线垂直于导线 a I B 4 0 (3)(3)P点位于导线延长线上点位于导线延长线上0B B d P O I 1 2 L l r lI d a 直电流直电流 I B 也可由对称性知：也可由对称性知： 2/, 0 12 在场点在场点P 的磁感强度为的磁感强度为 3 0 d 4 d r rlI B 设有圆形线圈设有圆形线圈L，半径为，

28、半径为R，通以电流，通以电流I。 例例2 2 载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上的磁场 取电流元取电流元Idl sin d 4 2 0 L r lI / dBB L sindB L R l r I 2 02 0 d 4 sin R r I 2 4 sin 2 0 B d / dB B d R I 0 xP lId r 各电流元磁场的方向不相同，分解为各电流元磁场的方向不相同，分解为dB 和和dB ，由于圆电流，由于圆电流 具有对称性，其电流元的具有对称性，其电流元的dB 成对抵消，所以成对抵消，所以P点点B的大小为：的大小为： 2 0 d 4 d r lI B R r I B 2 4 si

29、n 2 0 2 1 )( sin, 22 222 xR R r R xRr 2 3 22 0 2 3 22 2 0 )( 2 )(2xR IS xR IR B 2 RS R I B 2 0 0 讨论：讨论： 0 x I 0 0 B rxRx ,（2 2）在远离线圈处）在远离线圈处 3 0 3 0 22r IS x IS B （1 1）在圆心处）在圆心处 nISpm 引入引入 I 0 m P 载流线圈的磁矩载流线圈的磁矩 3 0 2r p B m / dB B d B d R I 0 x P lId r 28 设螺线管的半径为设螺线管的半径为R，电流为，电流为I，每单位长度有线圈，每单位长度有线

30、圈n匝。匝。 例例3 3 载流直螺线管轴线上磁场分布载流直螺线管轴线上磁场分布 由于每匝可作平面线圈由于每匝可作平面线圈 处理，处理，ndl匝线圈可作匝线圈可作Indl的的 一个一个圆电流圆电流，在轴线上，在轴线上P点点 产生的产生的磁感应强度磁感应强度： 2/322 2 0 )( 2 d d lR lnIR B LL lR lnIR BB 2/322 2 0 )(2 d d cotRl dcscd 2 Rl 2222 cscRlR又 L lR lnIR B 2/322 2 0 )(2 d dsin 2 2 1 0 nI )cos(cos 2 12 0 nI R 1 A 2 A P l ld

31、B d 1 2 r 29 讨论：讨论： nIB 0 2/ 0nI B 实际上，实际上，LR时，螺线管内部的磁场近时，螺线管内部的磁场近 似均匀，大小为似均匀，大小为 0nI . )cos(cos 2 12 0 nI B （1 1）螺线管无限长螺线管无限长 （2 2）半无限长螺线管的端点圆心处半无限长螺线管的端点圆心处 0, 21 nI 0 B O 1 A 2 A 2 0nI 载流直螺线管磁感应线载流直螺线管磁感应线 分布示意图分布示意图 以后将给出以后将给出 严格证明严格证明! 可由对称性知：可由对称性知： 30 静电场：静电场： 高斯定理：高斯定理： s qSD d 环路定理：环路定理： 0

32、d lE L 静电场的电力线发自正电荷止于负电荷，静电场的电力线发自正电荷止于负电荷， 有头有尾，不闭合。有头有尾，不闭合。 4 4 安培环路定理安培环路定理 在恒定电流的磁场中，磁感应在恒定电流的磁场中，磁感应 强度强度 B 矢量沿任一闭合路径矢量沿任一闭合路径 L 的线的线 积分（即环路积分）积分（即环路积分）, ,等于什么等于什么? ? L lB?d 0d SB S 磁场的高斯定理磁场的高斯定理 31 1.1. 长直电流的磁场长直电流的磁场 1.1 1.1 环路包围电流环路包围电流 I L B B l d 在垂直于导线的平面内任作的在垂直于导线的平面内任作的 环路上取一点环路上取一点P，

33、到电流的距，到电流的距 离为离为r，磁感应强度的大小：，磁感应强度的大小： r I B 2 0 在环路上取在环路上取dl, ,由几何关系得：由几何关系得：dcosdrl LL lBlBdcosd L Brd d 2 2 0 0 r r I 2 0 0 d 2 I I 0 P r d 如果闭合曲线如果闭合曲线不在垂直于导不在垂直于导 线的平面内：线的平面内： 则可将则可将L上每一线元分解为上每一线元分解为: : 在垂直于直导线平面内的分矢量在垂直于直导线平面内的分矢量 和与垂直于此平面的分矢量，和与垂直于此平面的分矢量， LL llBlB)d(dd / / dcosd90coslBlB LL L

34、Br d 0 d 2 2 0 0 r r I I 0 结果一样！结果一样！ / dddlll I L l d / d l l d 2 0 0 d 2 I lBlB LL d)cos(d lB L dcos I 0 d 2 2 0 0 I 如果沿同一路径但如果沿同一路径但改变绕行方向改变绕行方向( (或理解为改变电流方或理解为改变电流方 向向) )积分：积分： 表明表明：磁感应强度矢量的环流与闭合曲线的形状无关，磁感应强度矢量的环流与闭合曲线的形状无关， 它只和闭合曲线内所包围的电流它只和闭合曲线内所包围的电流( (大小与方向大小与方向) )有关。有关。 结果为负值！结果为负值！ I L P l

35、 d B d r B 21 ddd LLL lBlBlB 0)dd( 2 21 0 LL I 表明表明：闭合曲线不包围电流时，磁感应强闭合曲线不包围电流时，磁感应强 度矢量的环流为零。度矢量的环流为零。 1.2 环路不包围电流环路不包围电流 0 Q 2 L P 1 L 结果为零！结果为零！ I 2. 2. 安培环路定理安培环路定理 表述：在稳恒电流的磁场中，磁感应强度表述：在稳恒电流的磁场中，磁感应强度B 沿任何闭合回路沿任何闭合回路L 的线积分，等于穿过这回路的所有电流强度的线积分，等于穿过这回路的所有电流强度代数和代数和的的 0倍。倍。 数学表达式：数学表达式： 符号规定：符号规定：穿过回

36、路穿过回路L的电流方向与的电流方向与L 的环绕方向服从右手关系的的环绕方向服从右手关系的 I 为正，为正， 否则为负。否则为负。 不计穿过回路边界的电流；不计穿过回路边界的电流； 不计不穿过回路的电流不计不穿过回路的电流 I1 Ii ,I2, In+1、In+k i i L IlB 0 d L I L kn I 1n I i I 2 I 1 I 36 几点注意：几点注意： 环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所有环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所有 电流在空间产生磁场的叠加。电流在空间产生磁场的叠加。 任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。 安培环路定

37、理仅仅适用于恒定电流产生的恒定安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒定 磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安培环路定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安培环路定 理仅仅适用于闭合的载流导线。理仅仅适用于闭合的载流导线。 静电场静电场的高斯定理说明静电场为的高斯定理说明静电场为有源有源场，场，环路定环路定 理又说明静电场理又说明静电场无旋无旋( (即保守场即保守场) )；稳恒磁场稳恒磁场的高斯的高斯 定理反映稳恒磁场定理反映稳恒磁场无源无源; ;环路定理又反映稳恒磁场环路定理又反映稳恒磁场有有 旋旋( (即非保守场即非保守场) ) 。 37 (1)(1)分析磁场的对称性；分析磁场的对称性； (3

38、)(3)求出环路积分；求出环路积分； (4)(4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的正负，用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的正负， 最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强度最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强度B的大小。的大小。 应用安培环路定理的解题步骤：应用安培环路定理的解题步骤： 4 4 安培环路定理的应用安培环路定理的应用 (2)(2)过场点选择适当的路径，使得过场点选择适当的路径，使得B沿此环路的积分易沿此环路的积分易 于计算：于计算：B的量值恒定，的量值恒定，B与与dl的夹角处处相等；的夹角处处相等； i i L IlB 0 d 38 例例1.1.求无限长圆柱面电流的磁场

39、分布求无限长圆柱面电流的磁场分布( (半径为半径为R ) ) 分析场结构：有轴对称性分析场结构：有轴对称性 以轴上一点为圆心，取垂直于轴以轴上一点为圆心，取垂直于轴 的平面内半径为的平面内半径为 r 的圆为安培环路的圆为安培环路 LL lBlBdd 无限长圆柱面电流外面的磁场与电流无限长圆柱面电流外面的磁场与电流 都集中在轴上的直线电流的磁场相同都集中在轴上的直线电流的磁场相同. I Rr Rr B r 0B dB dB dS dS B d L lBd IrB 0 2 r I B 2 0 39 例例2.2.求载流无限长直螺线管内任一点的磁场求载流无限长直螺线管内任一点的磁场 由对称性分析场结构

40、由对称性分析场结构 a. .只有沿轴线的分量；只有沿轴线的分量； b b. .因为是无限长，在因为是无限长，在 与轴等距离的平行线与轴等距离的平行线 上磁感应强度相等。上磁感应强度相等。 一个单位长度上有一个单位长度上有 n 匝的无限长直螺线管。匝的无限长直螺线管。 由于是密绕，每匝视由于是密绕，每匝视 为圆线圈。为圆线圈。 通常通常 (L 20R) B P 40 取取L矩形回路矩形回路, , ab边在轴上，边在轴上， 边边cdcd与轴平行与轴平行, ,另两个边垂另两个边垂 直于轴线。直于轴线。 0d cdBabBlB cdab L 因为无垂直于轴的磁场分量，因为无垂直于轴的磁场分量， 又无电

41、流穿过又无电流穿过L回路，根据安回路，根据安 培环路定理及轴上磁场得出：培环路定理及轴上磁场得出： 0cdBabB cdab BBB cdab 螺线管为实验上建立一已知的均匀磁场提供了一种方法，螺线管为实验上建立一已知的均匀磁场提供了一种方法， 正如平行板电容器提供了建立均匀电场的方法一样。正如平行板电容器提供了建立均匀电场的方法一样。 c b a d B L 41 d c a d L lBlBlB ddd nIB 0 方向与电流满足右手螺旋方向与电流满足右手螺旋. . 无限长直螺线管外无限长直螺线管外, ,磁场很弱，磁场很弱， 可以忽略不记。可以忽略不记。 选矩形回路选矩形回路cd边在管外边

42、在管外, , Inab 0 nIBInababB abab00 b a c b lBlB dd I B B d c b a L 42 例例3. 3. 求载流螺绕环内的磁场求载流螺绕环内的磁场 设环很细，设环很细， 总匝数为总匝数为N，通有电流强度为，通有电流强度为 I 分析磁场结构，与长直螺旋管类分析磁场结构，与长直螺旋管类 似，环内磁场只能平行与线圈的似，环内磁场只能平行与线圈的 轴线（即每一个圆线圈过圆心的轴线（即每一个圆线圈过圆心的 垂线）。垂线）。 lB /d LL lBlBdd rB2NI 0 r NI B 2 0 nIB 0 rrr 12 取取闭合回路闭合回路L如图所示如图所示.

43、L r 43 例例4.4.无限大平板电流的磁场分布无限大平板电流的磁场分布 dl dl dB dB B d P 0 解：可视为无限多平行长直电流的场。解：可视为无限多平行长直电流的场。 分析场分析场 的对称性，取场点的对称性，取场点P。 做做 P0 垂线，取对称的长直垂线，取对称的长直 电流元，其合磁场方向平行电流元，其合磁场方向平行 于电流平面。于电流平面。 因为电流平面是无限大，故因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的各点与电流平面等距离的各点B 的大的大 小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。 无数对称电流元在无数对称电流元在 P点的点的 总磁场方向

44、平行于电流平面。总磁场方向平行于电流平面。 设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于设一无限大导体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于 纸面朝外的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂纸面朝外的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂 直的单位长度的电流）到处均匀，大小为直的单位长度的电流）到处均匀，大小为j . 44 作一闭合回路如图：作一闭合回路如图： bc 和和 da两边两边被电流平面等分被电流平面等分。ab 和和c cd 与电流平面平行与电流平面平行, , 则有则有 jllBlB L 0 2d 2 0 j B 在无限大均匀平面电流两侧的磁场都为均匀磁场，并在无限大均

45、匀平面电流两侧的磁场都为均匀磁场，并 且大小相等，但方向相反。且大小相等，但方向相反。 方向如图所示。方向如图所示。 dl dl dB dB B dP o a b cd l 45 BlIF dd 1.安培定律：安培定律： 在磁场中磁感应强度为在磁场中磁感应强度为B处的处的 电流元电流元Idl所受的所受的磁磁力为：力为： 5 5 磁场对载流导线的作用力磁场对载流导线的作用力 1820年，法国物理学家安培在实验的基础上得出稳恒电流回路年，法国物理学家安培在实验的基础上得出稳恒电流回路 中电流元受磁场作用力（安培力）的基本定律中电流元受磁场作用力（安培力）的基本定律安培定律：安培定律： I l d

46、B 经典解释经典解释 运动电荷受磁力：运动电荷受磁力： BqFm v 电流元受磁力：电流元受磁力：),sin(ddBlBnSqF vvBlIF dd I S B l d v 电流元内共有电流元内共有dN个以速度个以速度v 运动的带电粒子：运动的带电粒子：lnSNdd vnqSI )sin(BBqFm , vv 46 lI d B LI, lI d B F d L BlIFF dd 一段载流导线在磁场中受力为：一段载流导线在磁场中受力为： 注意这是一个矢量积分，注意这是一个矢量积分， ;d,d,d L zz L yy L xx FFFFFF .kFjFiFF zyx 如果导线上各电流元所受的力如

47、果导线上各电流元所受的力 dF 的方向不一致，计算时，的方向不一致，计算时， 应建立坐标系，先求应建立坐标系，先求dF 沿各坐标轴投影的积分：沿各坐标轴投影的积分： BlIF dd 直角坐标系：直角坐标系： 222 zyx FFFF指明指明 的方向的方向。F 或者用矢量式表示或者用矢量式表示 47 L BlIFF dd LL lIBsinlIBsinFdd,IBLsin方向： lI d取 BlIF dd 大小：大小：sinddlBIF 且导线上各电流元所受力的方向一致。且导线上各电流元所受力的方向一致。 例例: :求磁场对载流直导线的求磁场对载流直导线的磁磁力力( (安培力安培力) ) B I

48、 L lI d 方向： 中学中学:,IBLsinF 方向： 48 例：在磁感强度为例：在磁感强度为B的均匀磁场中，通过一半径为的均匀磁场中，通过一半径为R的半圆导的半圆导 线中的电流为线中的电流为I，若导线所在平面与若导线所在平面与B垂直，求该导线所受的垂直，求该导线所受的 磁力磁力( (安培力安培力) )。 解：解： 0 F d lBIFdd )d(ddcos cosdcosdd RlRIB lIBFFx dsin sindsindd RIB lIBFFy 0dsind 2/ 2/ BIRFF yy F d y F d x F d iBIRiFF x 2 由对称性可知由对称性可知:0 y F

49、 或或 Idl y F d x F d 结果表明：该半圆形载流导线上所受的磁力与其两个端点结果表明：该半圆形载流导线上所受的磁力与其两个端点 相连的直导线所受到的力相等。相连的直导线所受到的力相等。 BIRBIRFF xx 2dcosd 2/ 2/ x y B R,I 方向？方向？ BlIF dd 49 例例. . 无限长直电流无限长直电流 I1 位于半径为位于半径为 R 的半圆电流的半圆电流 I2 直径上，半圆直径上，半圆 可绕直径边转动，如图所示。求半圆电流可绕直径边转动，如图所示。求半圆电流 I2 受到的磁力。受到的磁力。 解：解： 取取 I2 dl 12 ddlBIF r I B 2

50、10 1 cosdd,sinddFFFF yx sind 2 d 210 l r II Fx d 2 210 II )d(dRl )sin(Rr F d r 2 I R 1 I 0 lI d 2 0 210 0 d 2 d II FF xx 2 210 II 由对称性由对称性0 y Fi II F 2 210 合 x y BlIF dd 50 2 F 2 F 1 F 1 F 由于是矩形线圈，对边受力大小由于是矩形线圈，对边受力大小 应相等，方向相反。应相等，方向相反。 AD与与BC边受力大小为：边受力大小为： sin 11 BIlF 22 BIlF AB与与CD边受力大小为：边受力大小为： 磁

51、场作用在线圈上总的力矩大小为：磁场作用在线圈上总的力矩大小为： cos 12l FM cos 21l BIl cosBIS 2/ sinBISM 2.2. 磁场对载流线圈的作用磁场对载流线圈的作用 n A D C B 1 l 2 l I B )(CD )(BA 2 F 2 F B 21l lS 51 sinBISM IS为线圈磁矩的大小为线圈磁矩的大小Pm，用矢量，用矢量 式表示磁场对线圈的力矩：式表示磁场对线圈的力矩： 设任意形状的平面载流线圈的设任意形状的平面载流线圈的 面积面积S，电流强度，电流强度I，定义：，定义： nISP m 可以证明，上式不仅对矩形可以证明，上式不仅对矩形 线圈成

52、立，对于均匀磁场中的任线圈成立，对于均匀磁场中的任 意形状的平面线圈也成立。意形状的平面线圈也成立。 m P I n 磁矩的方向与电流的方向成磁矩的方向与电流的方向成 右手螺旋关系右手螺旋关系 BPM m n )(CD )(BA 2 F 2 F B I n m P 当外磁场存在时，载流线圈受磁场当外磁场存在时，载流线圈受磁场 力矩的作用，线圈平面法线（即力矩的作用，线圈平面法线（即n 的方向）会转向磁场方向。的方向）会转向磁场方向。 52 1991 1991年年2 2月月1414日除夕夜日除夕夜2020时时 5757分，分，“风云一号风云一号”进入我国进入我国 上空时，发回的云图突然出现上空时

53、，发回的云图突然出现 扭曲、倾斜、甚至杂乱一团。扭曲、倾斜、甚至杂乱一团。 22 22时时3535分，卫星再次入境，科研人员从遥测数分，卫星再次入境，科研人员从遥测数 据中发现，据中发现，“风云一号风云一号”姿态已失控，星上计算机姿态已失控，星上计算机 原先存入的数据大多发生跳变，用于卫星姿态控制原先存入的数据大多发生跳变，用于卫星姿态控制 的陀螺和喷气口均已被接通，气瓶中保存的氮气损的陀螺和喷气口均已被接通，气瓶中保存的氮气损 耗殆尽。更为严重的是，到了耗殆尽。更为严重的是，到了2 2月月1515日凌晨日凌晨7 7时时4040分分 卫星重新入境时，发现在旋转翻滚状态下，卫星太卫星重新入境时，

54、发现在旋转翻滚状态下，卫星太 阳能电池阵只有部分时间对着太阳，如果卫星的电阳能电池阵只有部分时间对着太阳，如果卫星的电 源供应再失去，那源供应再失去，那“风云一号风云一号”就真成就真成“死星死星”了了 。 CCTV10: :科学、探索科学、探索 53 十万火急。基地和卫星研制部门果断决策，立即起动星上大飞轮十万火急。基地和卫星研制部门果断决策，立即起动星上大飞轮 。起动大飞轮，实际上是把原作它用的大飞轮当作一个大陀螺，使卫。起动大飞轮，实际上是把原作它用的大飞轮当作一个大陀螺，使卫 星太阳能电池阵能稳定保持向阳面，从而保证卫星的电源供应，为抢星太阳能电池阵能稳定保持向阳面，从而保证卫星的电源供

55、应，为抢 救救“风云一号风云一号”创造最基本的条件。经过紧急磋商，创造最基本的条件。经过紧急磋商，科技人员决定利科技人员决定利 用地球巨大的磁场对卫星通电线圈的磁力矩作用，用地球巨大的磁场对卫星通电线圈的磁力矩作用，来减缓卫星的翻滚来减缓卫星的翻滚 速度，逐步把卫星调整到正常姿态。该方案实施后第一天，卫星旋转速度，逐步把卫星调整到正常姿态。该方案实施后第一天，卫星旋转 速度就出现下降。速度就出现下降。 4 4月月2929日，日，“风云一号风云一号”翻滚速度降至每分钟旋转一圈。计算机翻滚速度降至每分钟旋转一圈。计算机 数学模型仿真试验表明，这时已可以进入卫星数学模型仿真试验表明，这时已可以进入卫

56、星“重新捕获地球重新捕获地球”了了 。 5 5月月2 2日，中心通过遥控指令打开了星上所有仪器系统，国家气象日，中心通过遥控指令打开了星上所有仪器系统，国家气象 中心立刻重新收到了清晰如初的云图。在连续中心立刻重新收到了清晰如初的云图。在连续7878天里，他们每天工作天里，他们每天工作 十三四个小时，共对卫星发出指令十三四个小时，共对卫星发出指令70007000余条，跟踪余条，跟踪559559圈，终于使卫星圈，终于使卫星 起死回生，起死回生，创造了世界航天史上罕见的奇迹创造了世界航天史上罕见的奇迹( (航天部嘉奖令航天部嘉奖令) )。 54 3. 3. 电流单位电流单位“安培安培”的定义的定义

57、 A C D B d 1 I 2 I 21 B 21 dF 计算计算CD受到的力，在受到的力，在CD上取上取 一电流元：一电流元： sindd 222121 lIBF d I B 10 21 2 2 210 222121 d 2 ddl d II lIBF 1sin 同理可以证明载流导线同理可以证明载流导线AB单位长度所受的力的大小也等单位长度所受的力的大小也等 于于 ， 方向指向导线方向指向导线CD。 d II 210 2 式中式中 为为I2dl2与与B21 间的夹角间的夹角 2 dl d II l F 110 2 2d d BlIF dd 12 B 1 dl 12 dF 55 结果表明：结

58、果表明：两个同方向的两个同方向的 平行载流直导线，通过磁平行载流直导线，通过磁 场的作用，将相互吸引。场的作用，将相互吸引。 反之，两个反向的平行载反之，两个反向的平行载 流直导线，通过磁场的作流直导线，通过磁场的作 用，将相互排斥，而每一用，将相互排斥，而每一 段导线单位长度所受的斥段导线单位长度所受的斥 力的大小与这两电流同方力的大小与这两电流同方 向的引力相等。向的引力相等。 “安培安培”的定义：的定义：真空中相距真空中相距1m的二无限长而圆截的二无限长而圆截 面极小的平行直导线中载有相等的电流时，若在每米长面极小的平行直导线中载有相等的电流时，若在每米长 度导线上的相互作用力正好等于度

59、导线上的相互作用力正好等于 2 10-7N ，则导线中的，则导线中的 电流定义为电流定义为1A。 电流单位电流单位“安培安培”的定义的定义 A C D B d 1 I 2 I 2 dl 21 B 21 dF 12 B 1 dl 12 dF 56 C D A A B B I F I B 4.4. 载流导线在磁场中运动时磁力所作的功载流导线在磁场中运动时磁力所作的功 设有一匀强磁场，磁感应强度设有一匀强磁场，磁感应强度B的方向垂直于纸面向外，磁场的方向垂直于纸面向外，磁场 中有一载流的闭合电路中有一载流的闭合电路ABCD，电路中的导线，电路中的导线 AB长度为长度为l，可以沿，可以沿 着着DA和和

60、CB滑动。假定当滑动。假定当AB 滑动时，电路中电流滑动时，电路中电流 I 保持不变，按安保持不变，按安 培定律，载流导线培定律，载流导线 AB 在磁场中所受的安培力在磁场中所受的安培力F在纸面上，指向如在纸面上，指向如 图所示，其大小图所示，其大小F=BIl . 在在F力作用下，力作用下，AB将从初始位置沿着将从初始位置沿着F力的方向移动，当移动力的方向移动，当移动 到位置到位置AB时磁力时磁力F所作的功所作的功 ABIlAAFAA 57 导线在初始位置导线在初始位置AB时和在终了位置时和在终了位置AB时，通过回路的时，通过回路的 磁通量分别为：磁通量分别为： BlDA0ABlD t ABl