工程电磁场导论第三次课件

1、工程电磁场导论第三次矢量场的环量与旋涡源矢量场的环量与旋涡源 不是所有的矢量场都由激发。存在另一类不同不是所有的矢量场都由激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力力 线是线是闭合的闭合的。它有以下两个特点：。它有以下两个特点：（1）、对于任何闭合曲面的通量积分为零；）、对于任何闭合曲面的通量积分为零；（2）、在场所定义的空间中闭合路径的积分不为）、在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。零。 引入环量与旋度的目的就在于：引入环量与旋度的目的就在于：研究矢量场的研究矢量场的线积分不为零这一问题。线积分不为零这一问题。 五、矢量场的环量与旋度五

2、、矢量场的环量与旋度 工程电磁场导论第三次（一）矢量场的环量（一）矢量场的环量 例：磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲例：磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：线所围曲面的电流成正比，即：上式建立了磁场与电流的关系。上式建立了磁场与电流的关系。 sLdz ,y,xIdz ,y,xsJLB00工程电磁场导论第三次引入引入环量概念环量概念。矢量场对于闭合曲线。矢量场对于闭合曲线L的环量定义的环量定义为该矢量对闭合曲线为该矢量对闭合曲线L的的线积分线积分，记为：，记为：（1)1)如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称如果矢量场的任意闭合回路的环量恒为零，称 该矢量场为该

3、矢量场为无旋场无旋场，又称为，又称为保守场保守场。（2)2)如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零， 称该矢量场为称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量，能够激发有旋矢量 场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。00,LdzyxAL工程电磁场导论第三次旋度概念的提出：矢量场的环量给出旋度概念的提出：矢量场的环量给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的涡源的宏观联系宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，当闭合曲线的关系，当闭合曲线L所围

4、的面积所围的面积趋于零时，矢量场对回路趋于零时，矢量场对回路L的环量的环量与旋涡源对于与旋涡源对于L所围的面积的通量所围的面积的通量成正比，即：成正比，即： （二）矢量场的旋度（二）矢量场的旋度(Rotation) sJ 00limlimslsdlAJsFn工程电磁场导论第三次矢量场旋度定义为矢量场旋度定义为：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为包含M点在内的小面元边界的环量与小面元比值极限的最大值，其方向为极限取得最大值时小面积元的法线方向，即： Max0limrotsdnlsAAl工程电磁场导论第三次根据线积分的计算公式，不难得到旋度在直角坐标根据线积分的计算公式，不难得到旋度在直角坐标

5、系中的表达式为系中的表达式为: zyxzyxxyzzxyyzxAAAzyxeeeyAxAexAzAezAyAeArotF工程电磁场导论第三次 利用旋度的定义式，可得到一般曲线和曲面积分之间的变换关系式，即Stokes定理 环量积分旋度的面积分slsdAdAssl（三）、环量与旋度之间的联系（三）、环量与旋度之间的联系Stokes定理定理 工程电磁场导论第三次方向相反方向相反大小相等大小相等结果抵消结果抵消工程电磁场导论第三次旋度的计算公式旋度的计算公式 圆柱坐标系下旋度的计算公式： 圆柱坐标系下旋度的计算公式： 球坐标系下的旋度计算公式yAxAexAzAezAyAeAxyzzxyyzxrotA

6、AeAzAezAAeAzzzr)(11rotrrrArArrarArAraAAraA)()(sin1)(sinsin工程电磁场导论第三次GFFGGFGFGFFFFCCCCfffff为常矢量01.5 矢量场的旋度矢量场的旋度 工程电磁场导论第三次（一）、无源场 对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有散度为零，即： 则称A为无源场。 性质一：在无源场中穿过场域V中任何一个矢量管的所有截面的通量都相等。 性质二：无源场存在矢势。六、无源场和无旋场六、无源场和无旋场0A工程电磁场导论第三次（二）、无旋场 对于矢量场A，如果在场域中每一点处恒有旋度为零，即： 则称A为无旋场。 性质一：在无旋场中，A沿场

7、域V的任何闭合路径L的环量为零。即： 性质二：无旋场可以表示为某标量场的梯度场。 0A0LdlA gradA工程电磁场导论第三次（三）、调和场散度和旋度都等于零的矢量场，称为调和场。 根据其无旋性可得：根据其无源性可得：A0A引入Laplacian算子222222zyx工程电磁场导论第三次 拉普拉斯方程和泊松方程0222222zyx若矢量场仅为无旋场，例如连续分布的体电荷内部，任意点的散度不为零，须引入泊松方程222222zyx工程电磁场导论第三次对于矢量场必需考虑如下问题：对于矢量场必需考虑如下问题：（1）场的特性：矢量场除有散和有旋特性外，）场的特性：矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的

8、特性？是否存在别的特性？（2）源的特性：是否存在不同于通量源和旋）源的特性：是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？涡源的其它矢量场的激励源？（3）场的唯一性：如何唯一的确定一个矢量）场的唯一性：如何唯一的确定一个矢量场？场？六、六、Helmholtz定理定理工程电磁场导论第三次1 矢量场的矢量场的Helmholtz定理定理 空间区域空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，即无源矢量场的叠加，即

9、： 其中其中 为无旋场，为无旋场， 为无源场。为无源场。 FAAAAA2121,1A2A工程电磁场导论第三次Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无源场，由旋涡源激发；并且满足：源场，由旋涡源激发；并且满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：02 A01 A工程电磁场导论第三次证明：一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。0 xyyxezxxzeyzzyexyx0yAxAzxAzAyzAyAxxyzxyzA工程电磁场导论第三次正交坐标系下的梯度公式：正交坐标系下的梯度公式：332211321qhueqhueqhueuqqq1h2h3hr r工程电磁场导论第三次正交坐标系下的散度计算公式：正交坐标系下的散度计算公式：2133312232113211hhFqhhFqhhF