华中科技大学流体力学第三章_2

1、习习 题题3.4 3.4 欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程ddmtFv v动量定理：dd 22xux y zfx y ztpxpxpy zpy zxx 对于理想不可压缩流体，2pxpx 2pxpx zyxzyxop fx流体微元系统d1dxupftx整理后ddxpux y zfx y zx y ztx d1dxupftxd1dyvpftyd1dzwpftz矢量形式：d1dptfv v(欧拉)运动方程可比较静力学平衡方程1xpfx1ypfy1zpfzdddddduuuuuuvwttxyzvvvvvuvwttxyzwwwwwuvwttxyzd()dttv vv vv vv v质点加速度可以写成局部

2、加速度与对流加速度之和，运动方程还可写为：1xuuuupuvwftxyzx1yvvvvpuvwftxyzy1zwwwwpuvwftxyzz1()ptfv vv vv v或者(欧拉)运动方程1xuuuupuvwftxyzx1yvvvvpuvwftxyzy1zwwwwpuvwftxyzz0uvwxyz四个方程，求解四个未知量 p, u, v, w。只有在少数特殊情况下，将方程进行简化后才能求出解。1ptfv vv vv v212Vpt fv vv vv v兰姆（Lame）运动方程 212Vptfv v222Vuvw其中 0 v v对于无旋流动 3.5 3.5 理想流体定常运动的伯努利方程理想流体定

3、常运动的伯努利方程1xuuuupuvwftxyzx1yvvvvpuvwftxyzy1zwwwwpuvwftxyzz/0t 重力作用: 0, 0, xyzfffg定常运动: 1vvvpuvwxyzy 1uuupuvwxyzx 1wwwpuvwgxyzz ddv xu yddw xu zdddxyzuvw沿流线取dx，dy，dz， 1dddduuupuxuyuzxxyzx 第一个方程乘dx后成为dddduuuxyzuxyz1dddduuupuxuyuzxxyzx 1ddpu uxx 1dddpw wg zzz 1ddpv vyy 1dddddddpppu uv vw wg zxyzxyz 三式相加

4、1dddddddpppu uv vw wg zxyzxyz 2221ddd02uvwg zp2d02pVgzddddpppxyzpxyz对于不可压缩流体( = const.)：2d02pugz用u表示沿流线的速度分量，沿着流线 有：22pugzC22puzCgg伯努利方程或者对于同一流线上的两点“1”和“2” ，2211221222pupuzzggggCgzpp 是绝对压强还是表压强？2d02pugz推导伯努利方程所用条件： (1) 定常流动( /t = 0) ； (2) 理想流体(不计粘性影响)； (3) 不可压缩流体( = const.) ； (4) 重力是唯一的质量力； (5) 沿着流线

5、。202pVgz212Vpt fv vv vv v兰姆方程兰姆方程 0v v()ggzfk (1) 定常流动( /t = 0) ； (2) 理想流体； (3) 不可压缩流体( = const.) ； (4) 重力是唯一的质量力 ； (5) 流动无旋 。202pVgz22pugzC22puzCgg伯努利方程或者对于同一流线上的两点“1”和“2” ，2211221222pupuzzgggg用 u 表示沿流线切向速度， 当流动无旋时（V = 0)，伯努利方程在整个流场中都成立，而不限于只沿着流线成立；点 1 和点 2 可以是流场中任意的两点，而不限于是同一条流线上的两点。 在第7章中将重点研究无旋流

6、动，在那一章中对无旋流动使用伯努利方程不需要受到“沿流线”的条件约束。 (Leonard Euler, 1707-1783)罗纳德.欧拉 1707年生于瑞士巴塞尔，在巴塞尔大学获硕士学位，23岁成为俄国圣彼得堡科学院物理学教授，26岁成为数学所所长，1741年到柏林科学院工作，1766年返回圣彼得堡。 L. 欧拉在数学、物理、力学等领域做出许多杰出贡献，平均每年发表学术800多页，在1755年出版的流体运动的一般原理一书中提出了理想流体的运动方程（后称为欧拉运动方程）。 科学史学家把欧拉同阿基米德、牛顿、高斯一起并列为数学历史上的“四杰”。 1700年生于荷兰格罗宁根，1721年获瑞士巴塞尔大

7、学医学博士学位，1725年受聘俄国圣彼得堡科学院数学教授，并当选名誉院士。1733年返回巴塞尔教授解剖学、植物学和物理学，10次获得法国科学院颁发的奖金，当选柏林科学院院士、巴黎科学院院士、英国皇家学会会员。 D. 伯努利在多个科学领域均丹尼尔.伯努利(Daniel Bernoulli, 1700-1782)有重大建树，涉及数学、物理学、力学、植物学、解剖学等，在1738年出版的流体动力学中提出了伯努利方程。z单位重流体的重力势能 位置水头 pg单位重流体的压强势能 压力水头22ug22puzgg总机械能 总水头 物理意义 水力学意义单位重流体的动能 速度水头szpg22ug22ugpgz基准

8、面总水头线22puzCgguzpg22ugz基准面pg总水头线22puzgg总水头总水头(动压水头）动压水头）pzg测压管水头测压管水头(静压水头）静压水头）22puzgg总水头测压管水头202ppuggg00, 0pu , p u0, p u0ppgg00, puupzg动压管静压管0zz习习 题题3.6 3.6 压强沿流线法向的变化压强沿流线法向的变化定常流动，沿着流线的法向 r 有：1rrpafrr 是曲率半径。2ruarcosrzzfgggrr2upgzrr 当曲率半径 r 很大，20urpzCg沿着流线的法向 r 有：zrgussr1xuuuupuvwftxyzx缓变流缓变流 - 流

9、线的曲率半径很大；急变流急变流 - 流线的曲率半径很小。缓变流急变流缓变流CgzppzCg3.7 3.7 总流的伯努利方程总流的伯努利方程管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流， 由多个微元流束组成。假设 A1、A2是缓变流截面，对于微元流束：2211221222pupuzzgggg1122dduAuA1212, ppzCzCgg沿缓变流截面A1A2dA1dA2u1u212221122111222 d d22AApupuzu AzuAgggg相乘后积分，1212, ppzCzCgg11222211221111122222dddd22AAAApupuzu Au Azu Au Agggg22

10、d ,22AuVu AVAgg截面平均速度1dAVu AA31dAuAAV 动能修正系数 动能修正系数取决于总流过水断面上的流速分布，分布越均匀， 值越小，越接近于1.0。2211221111222222pVpVzV AzV Agggg11222211221111122222dddd22AAAApupuzu Au Azu Au Agggg=V1A1=211112VV Ag=V2A2=222222VV Ag1122V AV A由于221122112222pVpVzzgggg总流的伯努利方程3.8 3.8 伯努利方程应用举例伯努利方程应用举例210112aappVzzggg1101zzh12Vgh

11、h01papa例例 开口大水箱的水深 h = 2 m，底面接一 长 l = 3 m 的竖立直圆管，管口收缩， 管截面和管出口截面直径分别为 d 和 2d。假设管内流动定常，求竖直管中 点 A 截面上的表压强pA。 解解 设出口截面速度为v， A 截面速度为vA。 Adhl2d2vg lh22vhlg 解出出口截面速度对自由面和管出口截面列伯努利方程对水自由面和 A 截面列伯努利方程 222AAlpvhgg224Advvvd连续性方程2222 232AAlvpg hlvg h解出 A 截面表压强 Adhl2d把速度 v 代入 pA的表达式 216 15716Algpg hlhghl代入数据并计算

12、 1000 9.815 2 7 3 Pa31238 Pa31.2 kPa16Ap 2232Alvpg h2vg lh例例 皮托管测速原理。 速度在O点滞止为零(驻点) ；O点与A点之间的高度差可忽略。沿流线 OA 运用伯努利方程 22AAOVpp112OppV hOAV1, p1 pA 由于在点 A 球头部对流动引起的扰动已基本上消失，流速和压强已恢复到与来流的速度 V1 和压强 p1基本相同，所以 ，1App1AVV假设测压管中工作液体密度为 ，则压强差为 1Oppg h12gVh代入 V1的表达式，得112OppV hOAV1, p1 pA 假设测压管所在断面1、2为缓变流截面，截面形心点

13、为计算点，对断面1、2写出伯努利方程，取 1 2 1 ，得22112222pVpV122222121ppVAA2211AVAV hA1A2 V1V2p1p2 例例 文丘里流量计原理。12ppg h222222121g QV AAhAA压差与测压管液面高度差的关系为：最后得到流量： - 流量修正系数 ( 0.95 0.98 ) hA1A2 V1V2p1p2 3.9 3.9 叶轮机械内相对运动的伯努利方程叶轮机械内相对运动的伯努利方程 水泵、风机和水轮机等叶轮机械都是利用流体作为工作介质实现能量的转换。 流体随叶轮一起旋转，同时相对于叶轮流动。只考虑定常问题。沿流线 s，运动方程为2d1 dcoscosddupugrssdcosdzsdcosdrssg2rrz222d0d22purzsggg2222221112212222rrpupuz