傅里叶光学-上科大-1

1、傅 里 叶 光 学 主讲：周常河主讲：周常河 研究员研究员Email： 助教：贾伟Email: 电话：134825629382015年9月24日傅里叶光学的重要性o 理解光学原理，设计光学仪器的有力工具o 光学设计：光线追迹法设计光学仪器o 物理光学：光的折射、衍射、传播等基本物理特性o 激光原理：激光产生、放大、加工等、o 激光干涉、散斑计量等o 傅里叶光学：从傅里叶变换的角度看待光学o 经典书：Goodman ：傅里叶光学导论o 斯坦福大学公开课http:/ 不仅讲基础，还讲最新进展。o 强调自学能力，预习傅立叶光学导论，讲课是概括性的，需要课后复习，理解消化，大量阅读原始文献，实际做，包

2、括作业。傅里叶光学简介Lord Kelvino 傅里叶光学傅里叶光学数学工具经典光学o 数学工具：傅里叶变换，级数，卷积，相关o 经典光学：光波的传播、干涉、衍射、成像、光学信息的记录与再现、光学信号的处理 几何光学 物理光学 傅里叶光学基本观点： 光是射线 电磁波 光是信息 的载体 基本定理：费玛原理 光波的电磁场 线性系统理论 理论 成像、象差理论 光的传播及 光学信息处理基本内容： 光与物质 光学系统设计 作用第第1章章 二维信号与系统的分析二维信号与系统的分析第第2章章 标量衍射理论基础标量衍射理论基础 第第3章章 菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射菲涅耳衍射与夫琅禾费衍射第第4章章 相干光学系

3、统的波动光学分析相干光学系统的波动光学分析第第5章章 光学成像系统的频谱分析光学成像系统的频谱分析第第6章章 波前调制波前调制第第7章章 模拟光学信息处理模拟光学信息处理第第8章章 全息术全息术课程内容课程内容第1章 傅里叶光学数学基础 ：傅里叶变换、线性不变系 统、二维抽样定理 第2章 傅里叶光学的物理基础：标量衍射第3章 衍射近似：菲涅耳近似、夫琅禾费近似第4章 最基础元件透镜的傅里叶变换及成像特性课程内容课程内容第5章 线性不变系统成像系统的频谱分析：相干及 非相干系统第6章 波前调制技术：照相胶片、空间调制器、衍射元件第7章 光学信息处理技术：匹配滤波、模式识别、数 据处理第8章 全息

4、术：Gabor全息、计算全息、数字全息傅里叶变换： 函数平面波傅里叶变换：矩形孔Sinc函数圆孔傅里叶变换：Bessel 函数几何光学观点：点光源平行光线衍射光学观点：点光源非平行光线 衍射角d傅里叶变换：矩形空Sinc函数各级频谱2第1章 二维信号与系统的分析o 1.1周期函数的周期函数的Fourier级数级数o 1.2Fourier变换变换o 1.3几种简单的特殊函数几种简单的特殊函数o 1.4卷积卷积o 1.5相关相关o 1.6线性系统的基本概念线性系统的基本概念o 1.7线性系统的空间域分析线性系统的空间域分析o 1.8线性不变系统的频率响应线性不变系统的频率响应1.1 周期函数的Fo

5、urier级数正交完备系是可实现函数分解的基元函数正交完备系是可实现函数分解的基元函数正交完备系：正交完备系： 余弦函数系余弦函数系 复指数函数系复指数函数系( ;)sin2( ;)cos2x ffxx ffx( ;)exp( 2)x fifx一、周期函数的Fourier级数展开的几种方法 1、余弦/正弦式周期函数展开 2、余弦相移式：周期函数g(x)可以表示为无 穷多个不同频率余弦分量的线性组合 )2cos(2)(100nnnxnxgfBa0001( )(cos2sin2)2nnng xanf xbnf xa 3、复指数形式：函数看作不同频率的复指 数分量的线性组合 g(x)=g(d+x)

6、g(x)= f01/d n=0 零频 n1 基频 n2 高次频 Cn 为频率为nf0的函数（频谱）nnxineCf)(20 4、周期函数举例：光栅是一种具有周期性结构的光学元件，复振幅透过率为t(x)，可以通过傅立叶级数分解为其中为光栅周期，Cm与光栅结构有关( )exp( 2/)mmt xCimx02( )exp(2)mmCt xix dx1.2 Fourier变换一、Fourier变换的定义 一维 g(t)G(f) 时间-频率 二维 g(x,y)G(fx,fy) 空间坐标-空间频率傅里叶变换的意义：将复杂信息分解成一系列基元的傅里叶变换的意义：将复杂信息分解成一系列基元的加权和，在线性不变

7、系统中，可以通过对这些基元加权和，在线性不变系统中，可以通过对这些基元的简单分析，得到复杂信息的输出结果。的简单分析，得到复杂信息的输出结果。 (,)( , )exp(2 ()( , )(,)exp( 2 ()xyxyxyxyxyG ffg x yif xf y dxdyg x yG ffixfyfdf df二、狭义傅氏变换存在条件（Diriehlet条件）1、g(x,y)在整个平面绝对可积2、g(x,y)有有限个间断点和有限个极大极小点3、没有无穷大间断点作为光学常用的点光源函数(x)不满足3，如何解决？广义傅里叶变换。三、广义傅里叶变换 当函数不严格满足存在条件，但是函数可以表示成另一个函

8、数序列的极限，通过对函数序列进行傅立叶变换，并对变换后的序列求极限即为原函数的广义傅立叶变换。四、 傅里叶变换定理1.线性性质2.位移性质 3.相似性质4.帕塞瓦尔(Parserval)等式5.卷积定理 则6.自相关定理卷积及相关的定义在后面讲解7.微积分定理通过傅里叶变换，微积分算符消失，方便计算五、FourierBessel变换通过直角坐标与极坐标转换 可以得到FourierBessel变换其中drrJrrgGR00)2()(2)(diaaJ200)cos(exp(21)(dx在振幅变化缓慢时，可以通过位相求导得到局域频率，但更普适的方法是利用维格纳分布进行分析。1.3 几种简单的特殊函数

9、一、阶跃函数（开关函数）：描述直边（刀口）的透过率 1 x0step（x）= x=0 0 x0 sgn（x）= 0 x=0 -1 x0 sgn(x)=2step(x)-1sgn( )x11x0三、矩形函数（门函数）：表示狭缝、矩孔的透过率 1 |x|a/2 rect(x/a)= 0 其它 以原点为中心，宽为a，高为1 二维：rect(x/a)rect(y/b)( )xrecta2a2a1x0四、三角函数：描述光瞳为矩形的非相干成像，系统的光学传递函数（OTF） 1-|x|/a |x|a tri(x/a)= 0 其它 函数以原点为中心、底边宽为2a的三角形 二维：tri(x/a)tri(y/b)

10、( )xtriaaa0 x1五、sinc函数：描述狭缝或矩孔的夫琅和费衍射sinc（x/a）= 零点在x=na二维：sinc（x/a）sinc（y/b）sin()xaxa-3a-2a-aa2a3asin()xca六、高斯函数：描述激光器发出的高斯光束22222( )exp( ) 11,( )exp()( )( )exp( )( ) ( )exp()xxGausaaaGaus xxxyxyGausGausababGaus rr原点值最大，曲线下面积为二维：极坐标下：1xa-a()xG a u sa七、圆域函数：描述圆孔的透过率 1 = 0 其它 极坐标circ(r/r0)221xy220()xy

11、circr10 xyr0220()xycircr常用函数的傅里叶变换1. ( )1 ( , )1( )exp()exp(0)1()xx yxifx dx 函数一维：二维：筛选性质0002.11( )( )()1 =exp( 2)exp( 2)nnnnfxg xCombxnCinf xinf x梳函数（周期函数展开为傅立叶级数）001 ( )exp( 2)11 ()() =()1( )()( )( )()()nnnxyg xinf xnfnffcombfxCombcombfcomb x comb ycomb f comb f一维：二维：12123.( )exp(2)1 exp()exp()2si

12、n () sin ( )( )( )sin ()sin ()xyrect xifx dxifififcfc ffrect x rect yc fc f矩形函数一维：二维：2224.( )exp()exp( 2)exp()1( )exp()( )( )( )()()xyGaus xxfx dxdGaus xfGaus fGaus x Gaus yGaus f Gaus f高斯函数一维：二维：5.cos(2)cos(2)exp( 2)1 exp( 2)exp(2)exp( 2)21 ()()2aaaaaaf xf xfx dxfffx dxffff余弦函数一维：26.( )( )( ) ( ) (

13、 )sin( )tri xrect xrect xrect xrect xcf三角函数（可看作为两个矩形函数的卷积）11007.(2)( )2(2)JB circ rrJrdr 圆域函数（傅立叶-贝塞尔变换）常用傅里叶变换对表1.4 卷积（convolution）一、定义: 一维输出 二维输出应用：线性不变系统的输入输出关系 相干成像：复振幅Ut=U0h(h为脉冲响应)非相干成像：光强It=I0hI (hI为点扩散函数)( )( ) ()( )( )g xfh xdf xh x简写),(),(),(),(),(yxhyxfddyxhfyxg 二、一维简单函数的卷积运算的图解法例： f(x)=r

14、ect(x-1/2) h(x)= rect(x-1/2) 求解卷积121f(x)x1/211x1/21h(x)( )( ) ()( )( )g xfh xdf xh x求解步骤：坐标反转：平移：相乘：计算 的乘积曲线下的面积逐点积分, ( )()xhh 换为翻转折叠00()()xhh x 位移量为0( ) ()fh x1/20 xg(x)三、卷积的效应1、平滑化：被卷函数的细微结构被消除，圆滑化，信息高频分量丢失，有模糊效应2、底边加宽：卷积宽度为被卷函数宽度之和四、卷积运算的性质（3）卷积的结合律：)()()()(*)()(2121ththtxththtx)()()()(txththtx)(

15、)()()()()()(2121thtxthtxththtx（1）满足交换律：（2）满足分配律：1.5 相关(correlation)一、互相关 1、定义（平移-共轭-相乘-积分） f(x) g(x)= 2、相关与卷积的关系 f(x) g(x)= 若 ，f(x) g(x)=dxfdxfgg)()()()( )()f xxg( )( )g xgx( )()f xgx二、自相关1、定义2、特点( , )( , )(,)( , ) ( , )ffrx yffxy d df x yf x y (1)( )() ( )( )()(3)( )(0) ,ffffffffffffffrxrxrxrxrxrxr

16、复函数的厄米性(2)为实函数时，模在原点最大三、应用线性不变系统的分析psf：脉冲响应函数 OTF：光学传递函数光学图像目标相关识别两个图像越相像，互相关相对位置的值越大一、基本概念：输入/输出关系满足线性叠加原理 均匀性，迭加性 系统系统的定义： 线性系统线性系统需满足：光学中的线性叠加原理 波的迭加原理：矢量 相干光场：复振幅 非相干光场：光强1()()niiIpIp1()niiUUp（p）=12( )( )EE pEp 1.6 线性系统的基本概念利用线性系统的特性来求输入/输出关系 “三步法则”： 第一步：将复杂输入分解为简单输入函数之和 第二步：分别求出简单函数的输出 第三步：将简单函

17、数输出加起来问题：1、怎么样分解为简单函数？ 2、简单函数的输出如何求解？简单函数：基本函数/基元函数1、 函数描述物面上一点的复振幅分布2、cos/sin周期函数（V(x)=f(x+d)=f(x)） 光栅的复振幅透过率 3、 非周期函数的分解 傅里叶变换 10)2sin()2cos(2)(innbnxanxxfbaeixdffFxfexfi2)()(二、线性位移不变系统（LSI） 1、时间位移不变系统 t时刻: s(t) s(t) : 不同时刻系统的响应变换特征相同 2、空间位移不变系统)( )(tstst 时刻)()(00 xxgxxf)()(xgxfo 空间不变系统 3、实际的光学系统成

18、完善像系统：无像差系统为线性不变系统 相干成像，非相干成像实际成像系统：不是完善成像系统，有像差 近轴区内：完善成像，线性不变系统 近轴区外，划分等晕区：等晕区内为线性不变系统1.7 线性系统的空间域分析一、基元函数脉冲函数 1、 函数作用：点源模型的物理量 2、 函数的定义：定义一： 函数是一个广义函数 面积为1，坐标原点值最大0),(yx0 x0y 1),(dxdyyx),(yx0 yx定义二： 函数与普通函数的关系 先构造一个普通函数的序列，再求序列的极限定义三： 筛选性质),(),(),a-(badxdyyxbyx 3、性质 筛选性质 比例变换性质 由a1知 函数是偶函数 函数与普通函

19、数的卷积 *),(),(),(0000yxyxdxdyyxyx )(1)(xaax)(axrectaxxxx0 x0)(0 xx0000( ,)(,)(,)h x yxyh xyyyxx二、输入函数的分解（ 函数筛选特性）)(xfx0 x1x2x3x)(xfdxxfxfdxxfxfdxxfxfdxxfxfxxxxxxxxnn)()()(.)()()()()()()()()(221100一般为了形式上的可观性 一维函数分解 二维函数分解dfxdfxxf)()()()()(ddyxfyxf),(),(),( 三、脉冲响应 1、系统的输入是简单的脉冲函数，则输出是脉冲 响应 输入： 输出： 响应与输

20、入的位置有关 ( ) ( ) ( )( ,0)g xf xxh x ( )x0( ,0)h xx()ixx0ixix0( ,)ih x x( )( )f xx二维函数脉冲响应说明：脉冲响应分布中心为集合象点位置2、空间变系统的 与 不同，脉冲响应与位置有关，为四维函数( , ;0,0) ( , )h x yx y 分布以原点为中心( ,;,)(,)h x yxy ( , ;0,0)h x y( ,;,)h x y 3、空间不变线性系统输出响应与输入位置坐标无关，离轴脉冲响应不变：物面上任一点在像面上的响应是相同的，唯一不同的是位置( , )( , ; , ),h x yh x yh 为二维函数

21、系统模型：（0，0）00( ,)x yxy物 面像 面xy( , )h x yL00( , ;,):h x y x y线性变系统00(,)h x x y y： 线 性 不 变 系 统（0，0）00( ,)x yxy前 焦 面后 焦 面xyL四、输出函数的求解 将f（x）分解为基元函数的迭加形式基元函数的响应：脉冲响应 推广至二维的线性系统的输入输出关系： dxfxf)()()(dxhfdxfxg),()()()()( ddyxhfyxg),;,(),(),( ) ( )g xf x线性不变系统的输入输出关系：满足卷积积分关系一般线性系统必须知道 f(x)、h(x,)的解析表达式( , )( , ) (,)( , )( , )g x yfh xyd df x yh x y ( )( ) ()g xfh xd1.8 线性不