第六章状态反馈和状态观测

1、同济大学汽车学院 目目 录录钟再敏现代控制理论基础现代控制理论基础6LTI系统的综合系统的综合-状态反馈和状态观测状态反馈和状态观测Synthesis of LTI - State Feedback and Luenberger Observer DesignSynthesis of LTI - State Feedback and Luenberger Observer Design同济大学 汽车学院College of Automotive, Tongji University1.控制器结构控制器结构2.线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合3.系统的状态反馈和输出反馈系统的状态

2、反馈和输出反馈4.控制系统的状态观测控制系统的状态观测同济大学汽车学院 控制系统的基本功能组件和控制原理 组件 Controllers Observers Estimators Filters Limiters Dead zones Selectors控制器结构控制器结构 控制原理 Feedback Feed forward Model following Cascade Split range Gain scheduling Adaptation同济大学汽车学院 控制原理：反馈与前馈控制控制器结构控制器结构同济大学汽车学院 反馈控制原理 Feedback + Reduce effect of

3、 disturbances + Reduce effect of process variations + Linearize nonlinear systems + Does not require accurate process model - Measurement noise is injected into the system - Risk for instability控制器结构控制器结构同济大学汽车学院 前馈控制原理 Feed Forward + Reduce effects of disturbances that can be measured + Improve res

4、ponse to reference signals + No risk for instability - Require good models控制器结构控制器结构同济大学汽车学院 前馈和反馈的比较/组合运用 Feedback Closed loop Acts only when there are deviations Market Driven Robust to model errors Risk for instability Feed Forward Open loop Acts before deviations show up Planning Not robust to m

5、odel errors No risk for instability控制器结构控制器结构同济大学汽车学院 状态反馈与观测Use model to estimate variables that are not directly measurableStates are the variables required to account for storage of mass, momentum and energyEstimate the stateFeedback from full state deviationFeed forward to generate um and ym控制器结

6、构控制器结构同济大学汽车学院 增益调度算法Production rateMachine speedMach number & dynamic pressureRoom occupancyMany uses Linearization of actuators Surge tank control Control over wide operating regionsImportant issues Choice of scheduling variables Granularity of scheduling table Interpolation schemes Bump-less para

7、meter changes Man machine interfacesImportance of auto-tuning控制器结构控制器结构同济大学汽车学院 自适应与自学习Certainty EquivalenceMany control and estimation schemesDual control-Control should be directing as well as investigating!Tuning ToolsAutomatic TuningGain SchedulingAdaptive feedbackAdaptive feedforwardIntegrated

8、systems控制器结构控制器结构同济大学汽车学院 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合分析：所面对的是已知系统结构和参数及已知的外输入作用，而有待研究的是系统运动的定性行为（如能控性，能观测性，稳定性等）和定量的变换规律。综合：已知的是系统的结构和参数，以及所期望的系统运动形式或其某些特征（即性能指标），所要确定的则是需要施加于系统的外输入作用（即控制作用）的规律。通常，这种所定出的控制作用规律常取为反馈的形式。在综合（Synthesis）中只是在考虑工程上可实现或可行的前提下，来确定控制量u的规律和形式。而在设计（design）中，则还必须考虑控制量u和控制系统工程构成中的许多

9、实际问题，诸如线路的选择、元件的选用、参数的确定等。同济大学汽车学院 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合性能指标的类型： 优化型指标：一类极值型指标，综合目标是要使性能指标在所有可能值中取为极小（或极大）值。 非优化型指标：一类不等式的指标，即只要性能值达到或好于期望指标就算实现了综合目标。 非优化型指标提法： 镇定问题：以渐进稳定作为性能指标。 极点配置问题：以一组期望的闭环系统极点作为性能指标。 解耦控制问题：使一个MIMO系统实现“一个输入只控制一个输出”作为性能指标。 跟踪问题：使系统的输出y无静差地跟踪一个外部信号 优化型性能指标 dtRQJTTuuxxu0同济大学汽车

10、学院 研究综合问题的思路研究综合问题的思路建立可综合条件建立可综合条件建立起相应的用以综合控制规律的算法建立起相应的用以综合控制规律的算法控制系统工程实现中的一些理论问题。控制系统工程实现中的一些理论问题。状态反馈的构成问题。状态反馈的构成问题。系统模型的不准确和参数摄动问题。系统模型的不准确和参数摄动问题。对外部扰动的影响的抑制问题。对外部扰动的影响的抑制问题。线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合BCA-Kvuxyx 同济大学汽车学院 系统的状态反馈和输出反馈系统的状态反馈和输出反馈闭环系统矩阵的求取闭环系统矩阵的求取状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。状

11、态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性和能观测性输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性和能观测性状态反馈和输出反馈的比较状态反馈和输出反馈的比较同济大学汽车学院 系统的状态反馈和输出反馈系统的状态反馈和输出反馈闭环系统矩阵的求取闭环系统矩阵的求取状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性和能观测性输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性和能观测性状态反馈和输出反馈的比较状态反馈和输出反馈的比较BCA-Kvuxyx BCA-F

12、vuxyx BCA-Kvuxyx 状态观测器x 同济大学汽车学院 状态反馈的定义及其性质状态反馈的定义及其性质 xAxBuyCxDu：uLvKx则闭环系统则闭环系统K的结构如下图的结构如下图 所示。所示。给定系统给定系统在系统中引入反馈控制律在系统中引入反馈控制律同济大学汽车学院 K的状态空间表达式为：的状态空间表达式为：() ()KxABK xBLvyCDK xDLv：同济大学汽车学院 () KxABK xBLvyCx：状态反馈性质状态反馈性质HLI(1) (1) 时，为单纯的状态变量反馈。若时，为单纯的状态变量反馈。若KHCKxHy，则，则，状态反馈就等价于输状态反馈就等价于输。出反馈出反

13、馈 。0D 若若 ，则，则同济大学汽车学院 1()()G sKLC sIABKBL； ，利用矩阵运算直接可推出利用矩阵运算直接可推出11()( )()G sKLG s IK sIABL； ，K(2) D=0(2) D=0时，可以求得闭环系统时，可以求得闭环系统 的传递函数阵的传递函数阵在图在图 6.1.1 6.1.1 中令中令0D 并改用图并改用图6.1.2 6.1.2 表示表示同济大学汽车学院 LBAKCyxuv+-Iab同济大学汽车学院 xAxBuyIx和输出反馈和输出反馈uvKy所组成从到所组成从到 b b 的传递函数矩阵。的传递函数矩阵。( )abGs输出反馈传递函数阵的公式求出，输出

14、反馈传递函数阵的公式求出，不难用不难用( 为单位矩阵为单位矩阵) )图中图中a a和和 b b 之间的部分，可以看成是由系统之间的部分，可以看成是由系统同济大学汽车学院 111( )()()abGssIAB IK sIABvy( ;, )G s K L于是，从于是，从到到的传递函数矩阵的传递函数矩阵即为即为11111 ()()()( )()G s K LC sIAB IK sIABLG s IK sIABL； ，KK 定理定理 6.1.1 对于任何实常量矩阵对于任何实常量矩阵 ，系统，系统完全能控的充要条件是系统完全能控的充要条件是系统完全能控。完全能控。同济大学汽车学院 K证证 注意到系统注

15、意到系统 和和的能控性矩阵分别为的能控性矩阵分别为21 ncuB AB A BAB21 () ()()ncuBABK BABKBABKB由由 ()()ABK BABB KB，可知，可知 ()ABK B的列向量可以由的列向量可以由 ( )B AB的列向量的线性组合表示。的列向量的线性组合表示。 同济大学汽车学院 2()ABKB的列向量可以由的列向量可以由 BAB2A B( () )的的的线性组合表示。的线性组合表示。列向量列向量依此类推，不难看出依此类推，不难看出 rankcurankcu21 () ()()nBABK BABKBABKB的线性组合表示。这意味着的线性组合表示。这意味着 的列向量

16、可以由的列向量可以由 1 nB ABAB的列向量的列向量同济大学汽车学院 系统系统 也可看成是由系统也可看成是由系统 K经过状态反馈经过状态反馈()KI ，而获得的，而获得的， 因此，同理有因此，同理有rankrankccuu于是定理得证。于是定理得证。 所以系统所以系统 K的能控性等价于系统的能控性等价于系统 的能控性，的能控性，同济大学汽车学院 fmmk10010 xx 0102kKkvfc例：状态反馈的引入不改变系统的能控性，但能改变系统的能观测性。例：状态反馈的引入不改变系统的能控性，但能改变系统的能观测性。同济大学汽车学院 0010010010kmmkBKAAC同济大学汽车学院 系统

17、的状态反馈系统的状态反馈-系统极点的配置系统极点的配置极点可配置条件极点可配置条件 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是此系统为完全能控。条件是此系统为完全能控。 利用（非状态）输出反馈利用（非状态）输出反馈 ，不能任意地配置系统的全部极点。，不能任意地配置系统的全部极点。极点配置算法极点配置算法 对于可控标准型对于可控标准型取状态反馈矩阵为取状态反馈矩阵为 求闭环系统矩阵求闭环系统矩阵1110nnOnABFaaaxxu011nKkkk同济大学汽车学院 系统的状态反馈系统的状态反馈-系统极点的配置系统极点的配置

18、闭环系统矩阵为闭环系统矩阵为0110110011110100000100,00110100001001nnnnAB Kkkkaaaakakak同济大学汽车学院 系统的状态反馈系统的状态反馈-系统极点的配置系统极点的配置 可控标准型下闭环特征多项式为：可控标准型下闭环特征多项式为： 如果希望的特征值为：如果希望的特征值为： 则应满足：则应满足： 相应幂次系数相等得：相应幂次系数相等得： 转换回原始系统可以得到：转换回原始系统可以得到： 0011111kakakaKBAIFnnnnCn,21 0111211212111aaaFnnnnnnnnn1111*0012011nnnnnnakaaka 11

19、KKKKTKTKxxxx11111111111nnnnncaaaBABBAaaaQTxxT同济大学汽车学院 系统的状态反馈系统的状态反馈-系统极点的配置系统极点的配置-算法算法给定能控矩阵对给定能控矩阵对 A，b（单输入）和一组期望的闭环特征值单输入）和一组期望的闭环特征值要确定要确定 1x n的反馈增益矩阵的反馈增益矩阵 ，使成立，使成立算法算法Step1：计算计算A的特征多项式的特征多项式 Step2: 计算由计算由 所决定的多项式，即所决定的多项式，即 Step3：计算状态反馈增益计算状态反馈增益 Step4：计算变换阵计算变换阵TStep5：求求 T-1Step6：所求状态反馈矩阵所求

20、状态反馈矩阵 MATLAB MATLAB 命令：命令：acker, placeacker, place n,21iiAbk ni110111detaaaAInnn nii11 01111aaannnn111100,nnaaaaaaK1TKK同济大学汽车学院 系统的状态反馈系统的状态反馈-状态反馈例状态反馈例通过控制将自由质点改造成弹性约束质量运动通过控制将自由质点改造成弹性约束质量运动Step 1:Step 2:Step 3:Step 4:Step 5: Step 6:umbA100010 xxfmmk10010 xx 同济大学汽车学院 系统的状态反馈系统的状态反馈-状态反馈例状态反馈例Ste

21、p 1:Step 2:Step 3:Step 4:Step 5: Step 6:umbA100010 xxfmmk10010 xx 0det2AI0001aa mk2mkaa0100,1100mkaaaaK1001100110110111mmabAbaQTc111mT001kmmkTKK同济大学汽车学院 系统的状态反馈系统的状态反馈-状态反馈例状态反馈例简化情况下亦可直接求解简化情况下亦可直接求解)det()det(*CCAIAIBKAACmkAIC2*)det(mkmkAIC122)det( 021kkkK同济大学汽车学院 控制系统的状态观测控制系统的状态观测-全维状态观测器全维状态观测器状

22、态重构问题状态重构问题 重新构造一个系统，利用原系统中可直接量测的变量如输出向量和输入向重新构造一个系统，利用原系统中可直接量测的变量如输出向量和输入向量作为它的输入信号，并使其输出信号量作为它的输入信号，并使其输出信号 在一定的提法下等价于原系统的在一定的提法下等价于原系统的状态状态 。渐进等价原则渐进等价原则维数等同于原系统的状态观测器称为全维观测器。维数小于原系统的状态观维数等同于原系统的状态观测器称为全维观测器。维数小于原系统的状态观测器称为降维观测器。测器称为降维观测器。状态观测器理论上可以微分实现或积分实现。状态观测器理论上可以微分实现或积分实现。在确定性条件下受控系统的状态重构是

23、在确定性条件下受控系统的状态重构是Luenberger观测器；在噪声环境下的观测器；在噪声环境下的状态观测将涉及随机最优估计理论，即状态观测将涉及随机最优估计理论，即Kalman滤波技术。参见相关章节。滤波技术。参见相关章节。 ttttxx limlim同济大学汽车学院 控制系统的状态观测控制系统的状态观测-全维状态观测器全维状态观测器开环状态观测器存在的问题开环状态观测器存在的问题 1 2 3 4 4BCAuxyx BAxx 同济大学汽车学院 控制系统的状态观测控制系统的状态观测-全维状态观测器全维状态观测器开环状态观测器存在的问题开环状态观测器存在的问题 每次使用前都必须设置初始状态每次使

24、用前都必须设置初始状态 如果系统矩阵包含不稳定特征值，则和之间的误差会发散如果系统矩阵包含不稳定特征值，则和之间的误差会发散 数学模型差异数学模型差异 外界的或内部的噪声干扰外界的或内部的噪声干扰闭环观测器闭环观测器 BCAuxyx BAxx BCAuxyx BAxx CL-+y 同济大学汽车学院 控制系统的状态观测控制系统的状态观测-全维状态观测器全维状态观测器-闭环特性分析闭环特性分析闭环闭环状态观测器的等价形式状态观测器的等价形式若若 为为A,C能观测，则必可采用能观测，则必可采用 所表述的全维观测器来重构其状态，并且必可通过选择增益矩阵所表述的全维观测器来重构其状态，并且必可通过选择增

25、益矩阵L而任意配置（而任意配置（A-LC）的全部特征值。的全部特征值。状态反馈闭环系统矩阵为状态反馈闭环系统矩阵为A-BK, 状态观测器闭环系统矩阵为状态观测器闭环系统矩阵为A-LC，因为因为所以状态观测器设计是状态反馈设计的对偶命题所以状态观测器设计是状态反馈设计的对偶命题BCAuxyx BA-LCxx L 00,xxxyuxxcLBAxxxxxxxxxxyuxxxyuxx)(LCALCACLBACBA0 xLCA00 xxxx 00 ,xxuyxxBLLCAT(A-LC)ATTTC L同济大学汽车学院 控制系统的状态观测控制系统的状态观测-全维状态观测器全维状态观测器-设计例设计例51设计

26、状态观测器设计状态观测器 对偶系统对偶系统 极点配置极点配置 1 2 3 4 5 6xxx01100010yu同济大学汽车学院 控制系统的状态观测控制系统的状态观测-全维状态观测器全维状态观测器-设计例设计例51设计状态观测器设计状态观测器 对偶系统对偶系统 极点配置极点配置 1 2 3 4 5 6xxx01100010yuxyxxTTTBuCA01100100TTTCBA0, 0det012aaAI 220122,2baaaaba abaaaaaK2,2211001011aQTC0110TTTcCCAQ01101T2212baaTKK222baaKLT同济大学汽车学院 控制系统的状态观测控制

27、系统的状态观测-全维状态观测器全维状态观测器-设计例设计例52设计状态观测器设计状态观测器 对偶系统对偶系统 极点配置极点配置 1 2 3 4 5 6fmmk10010 xx C01同济大学汽车学院 控制系统的状态观测控制系统的状态观测-全维状态观测器全维状态观测器-设计例设计例52设计状态观测器设计状态观测器 对偶系统对偶系统 极点配置极点配置 1 2 3 4 5 6xyxxTTTBuCA0-1001101TTTABC 210det10,1IAaa 220122,2baaaaba220011,1,2Kaaaaaba1011aQTC0110TTTcCCAQ01101T12212KKTaba22

28、12TabLKafmmk10010 xx C01同济大学汽车学院 控制系统的状态观测控制系统的状态观测-全维状态观测器全维状态观测器-设计例设计例Sample52_observer.m不同收敛参数下的观测器收敛情况不同收敛参数下的观测器收敛情况051015-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52Linear Simulation ResultsTime (sec)Amplitude同济大学汽车学院 控制系统的状态观测控制系统的状态观测-降维状态观测器降维状态观测器212121222112112110 xxyuxxxxBBAAAAyuwwynKKAHA21111H1II0uyx ywx

29、yuww1121111HKKAHAyn2121222112110 xxyuxxxx2121IBBAAAAywywxxxIHIIHI001121211BHBKu12111122112HAHAAHAKy同济大学汽车学院 控制系统的状态观测控制系统的状态观测-采用观测器的状态反馈系统采用观测器的状态反馈系统 包含观测器的状态反馈系统结构图包含观测器的状态反馈系统结构图 BCAuxyx BA-LCxx L-Kv原系统观测器同济大学汽车学院 控制系统的状态观测控制系统的状态观测-采用观测器的状态反馈系统采用观测器的状态反馈系统 反馈系统的维数反馈系统的维数 包含观测器的状态反馈系统的特征值集合具有分离性

30、包含观测器的状态反馈系统的特征值集合具有分离性 观测器的引入不改变原状态反馈系统的传递函数矩阵观测器的引入不改变原状态反馈系统的传递函数矩阵 一般，使观测器特征值负实部是控制器的一般，使观测器特征值负实部是控制器的23倍，即倍，即 BCAuxyx BA-LCxx L-Kv原系统观测器vxxxxvxxxBBBKLCALCBKABBKLCALCvxxxx00BLCABKBKAxxxxxy0 CRe(2 3)ReijALCABK同济大学汽车学院 应用状态反馈实现解耦控制应用状态反馈实现解耦控制问题的提出问题的提出考虑考虑MIMOMIMO系统系统 x AxBuyCx： (6.3.1) (6.3.1)

31、同济大学汽车学院 式式(6.3.2)(6.3.2)可写为可写为1( )( ) ( )()( )y sG s u sC sIABu s11111221221122221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )ppppqqqqppy sgs u sgs u sgs usy sgs u sgs u sgs usysgs u sgs u sgs us在在 (0)0 x的条件下，输出与输入之间的关系，的条件下，输出与输入之间的关系，可用传递函数可用传递函数 ( )G s描述：描述： 1( )( ) ( )()(

32、 )y sG s u sC sIABu s (6.3.2)(6.3.2)同济大学汽车学院 每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少个输入所控制我们称这种交互作用的现象为耦合。个输入所控制我们称这种交互作用的现象为耦合。一般说来，控制多输入多输出系统是颇为困的。例一般说来，控制多输入多输出系统是颇为困的。例如如, , 要找到一组输入要找到一组输入如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个输入如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个输入的控制，这必将大大的简化控制实现这样的。控制的控制，这必将大大的简化控制实现这样的。控制称为解耦控制，或者简称为解耦。

33、称为解耦控制，或者简称为解耦。三个基本假定：三个基本假定： ),(,),(),(21sususuppq1) 1) 即系统的输出个数等于输入个数；即系统的输出个数等于输入个数；同济大学汽车学院 2)2)uLvKx状态反馈控制律采用如下形式：状态反馈控制律采用如下形式：3) 3) 输入变换矩阵输入变换矩阵L为非奇异的为非奇异的 图图6.3.16.3.1vLuBAKxCy+-同济大学汽车学院 1122()( ),( ),( )ppG sKLdiag gsgsgs； ，KL、解耦控制问题解耦控制问题: :寻找一个输入变换矩阵和状态反馈寻找一个输入变换矩阵和状态反馈增益矩阵对增益矩阵对K, ,使得使得系

34、统的传递函数阵系统的传递函数阵p显然，经过解耦的系统可以看成是由显然，经过解耦的系统可以看成是由 个独立单变个独立单变量子系统所组成。量子系统所组成。同济大学汽车学院 同济大学汽车学院 6.3.2 6.3.2 实现解耦控制的条件和主要结论实现解耦控制的条件和主要结论定义两个特征量并简要介绍它们的一些性质。定义两个特征量并简要介绍它们的一些性质。1) 1) 已知传递函数阵已知传递函数阵111212122212( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )ppppppgsgsgsgsgsgsG sgsgsgs( )iigs其中其中都是严格真的有理分式都是严格真的有理分式( (

35、或者为零或者为零) )。令。令( )iigsiid是是 的分母的次数与分子的次数之差的分母的次数与分子的次数之差同济大学汽车学院 12min 1iiiipdddd，1lim( ) 1 2 idiisEsg sip，i( )ig s( )G s此处的表示的第 行。 不难看出iE( )G s 由 所唯一确定的 (2) (2) 若若A,B,CA,B,C已知，则已知，则diiiEc A B状态反馈不改变状态反馈不改变id同济大学汽车学院 例例6.3.1 6.3.1 给定系统给定系统 xAxBuyCx其中其中: :000101123A100001B110001C同济大学汽车学院 其传递函数矩阵为其传递函

36、数矩阵为 : :21311(1)(2)(1)(2)( )()1(1)(2)(1)(2)sss ssssG sC sIABsssss得到得到 : :1111222122min 1min1 210min 1min2 110dddddd，同济大学汽车学院 iE 由两种方法求得由两种方法求得 的相同。的相同。12111311(1)(2)(1)(2)lim( )lim1 0 1 1 01 0ssdEsgsss ssssscBA BsA2222lim( )lim0 1 0 0 1(1)(2)(1)(2)10 1ssdEsssg sscssBAsAB同济大学汽车学院 1,KE F1LEuLvKx定理定理 6.3.1 6.3.1 前面系统在状态反馈前面系统在状态反馈下实下实E现现解耦控制的充要条件是为解耦控制的充要条件是为非奇异。其中，非奇异。其中，12pEEEE121111221pdddppc AFc AFFFc A1LE同济大学汽车学院 iiyc x1,iqiycAx()iiddiycA x(1)1iiidddiycAx cA Bu1,iq 证：对等式证：对等式iEid两边分别求导，根据两边分别求导，根据 和和 的定义可知的定义可知同济大学汽车学院 当且仅当矩阵当且仅当矩阵 为非奇异时，由方程组为非奇异时，由方程组E1iiddiiiic A BKxE Kxc AxFx idiic