江苏省扬州市2015届高三第四次调研测试数学试题Word版含答案

1、1扬州市 20142015 学年度第四次调研测试试题高高 三三 数数 学学 参参 考考 答答 案案第一部分1已知集合，则 2，41,2,4,2,3,4,5ABAB 2设复数满足，则_z132i zi z1 3i3命题“2,10 xR x ”的否定是 2,10 xR x 4已知为第三象限角，且，则 tan2sin2455从 3 名男同学，2 名女同学中任选 2 人参加体能测试，则选到的 2 名同学中至少有一名男同学的概率是 9106已知向量(1,3)a，( 2,1) b，(3,2)c.若向量c与向量k ab共线，则实数k 17锐角中角的对边分别是，, 的面积为, 则 ABC, ,A B C, ,

2、a b c4,5abABC5 3c=218用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是 69 39已知等比数列的前项和为，若，则等于 1 nannS2244aSaS12015SS10若函数的图象过点，则该函数图象在点处的切线倾斜角等( )cosf xkx(,1)3PP于 23析：函数的图象经过点，( )cosf xkx(,1)3P()cos1233fkk，xxfcos2)( )2sinfxx ()2sin333kf 11若直线截半圆所得的弦长为，则 30 xym225yx8m 3 1012平面内四点满足，则面积, , ,O A B C4,2 5,5,0OAOBOCOB OC ABC

3、的最大值为 152MDCBA13已知椭圆 E：的右焦点为 F，离心率为，过原点 O 且倾斜角22221(0)xyabab32为的直线 与椭3l圆 E 相交于 A、B 两点，若AFB 的周长为，则椭圆方程为 8 134132214xy析：由已知，椭圆方程可化为：，将代入得，2ab2224xya:3l yx13|13Axa由椭圆对称性，AFB 的周长=，可得2| 24|AaABax2a 14已知函数， 若|( )()xxf xxRe12( )421()xxg xaaaaR ， |(g( )RAx fxe则的取值范围是 a 1,0析：当时，得在上是增函数，在上是减函数，当0 x 1( )xxfxe(

4、 )f x0,11,时有极大值；1x 1e当时，恒成立，是减函数，且0 x 1( )0 xxfxe( )f x( 1)fe设，由得，即对恒成立，( )g xt( )f te1t ( )1g x xR，22( )(2)21xg xaaa 当时，而，不合题意；0a 2( )21g xaa2211aa 当时，得0a 2( )(,1)g xaa 211aa 10a 15如图，三棱锥中，侧面是等边三角形，是的中心ABCDABCMABC 若，求证；DMBCADBC 若上存在点，使平面，求的值ADN/ /MNBCDANND证连并延长交于，连AMBCEDE 因为是等边的中心，所以是的中点， MABCEBCAE

5、BC2 分3 又因为，平面，DMBCAEDMM,AE DM ADE 所以平面， BC ADE5 分 因为平面，所以； AD ADEADBC7 分 平面，所以平面，,MAE AEADEM ADE 因为上存在点，所以平面，ADNN ADE 所以平面， MN ADE9 分 又平面，平面平面，/ /MNBCDADE BCDDE 所以， / /MNDE12 分 在中，因为，所以 ADE12AMME12ANND14 分16的内角满足(单位向量互相垂直)，且ABC,A B2cossin22ABABaij, i j 6|2a 求的值；tantanAB 若，边长，求边长2sin13A 2a c解因为，2223|

6、2cossin222ABABa即， 1 cos()31 cos()22ABAB3 分4所以，coscossinsincoscossinsin02ABABABAB化简整理，得，故=. 13tantan022ABtantanAB137 分(2)由(1)可知为锐角因为，所以，,A B2sin13A 2tan3A 1tan2B ， tantan7tantan()1tantan4ABCABAB 7sin65C 12 分因为正弦定理，所以，所以边长 sinsinacAC2271365c7 55c 14 分17一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为 0.8 米，高 1.2 米，体积约为 0.6立方

7、米为保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于 1.2 米，高是底面边长的 2倍保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米 500 元为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用与保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为 1 平方米时，保险费用为 48000 元 若保护罩的底面边长为米，求气体费用与保险费用的和；2.5 为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？解； 2248000500(2.550.6)230052.5 4 分 保护罩的底面边长为米，底面积为平方米，体积为立方米，总费用为元，则xSVy =， （48000500(0.6)yV

8、S2248000500(20.6)x xx32480001000300 xx）9 分1.2x ，令得，5233960003230003000 xyxxx0y 2x 当时，递减；当时，递增当时，有极小1.22x0y y2x 0y y2x y值即最小值答：为了使这两项总费用最低，保护罩的底面边长应设计为 2 米 14 分518已知椭圆的左顶点为，右焦点为，右准线为 ， 与轴相22221(0)xyababAFllx交于点，T且是的中点FAT求椭圆的离心率；过点的直线与椭圆相交于两点，都在T,M N,M N轴上方，并且在之间，且xM,N T2NFMF记的面积分别为，求；,NFMNFA12,S S12S

9、S若原点到直线的距离为，求椭圆方程OTMN20 4141解因为是的中点，所以，即，FAT22aacc (2 )()0ac ac又、，所以，所以； a0c 2ac12cea4 分解法一：过作直线 的垂线，垂足分别为，依题意，,M Nl11,MN11NFMFeNNMM又，故，故是的中点，2NFMF112NNMMMNT12MNFTNFSS 又是中点，； FATANFTNFSS1212SS8 分解法二：，椭圆方程为，2ac3bc2222143xycc( ,0)F c(4 ,0)Tc设，点在椭圆上，即有11( ,)M x y22(,)N xyM2222143xycc，22211334ycx6222221

10、1113()()34MFxcyxccx22111111124|2 | 2422xcxcxccx同理，2122NFcx又，故得是的中点，2NFMF1224xxcM,N T12MNFTNFSS 又是中点，； FATANFTNFSS1212SS8 分解法一：设，则椭圆方程为，( ,0)F c2222143xycc 由知是的中点，不妨设，则，M,N T00(,)M xy00(24 ,2)Nxcy 又都在椭圆上，即有即,M N220022220022143(24 )4143xyccxcycc220022220022143(2 )1434xyccxcycc两式相减得：，解得， 220022(2 )3444

11、xxccc074xc10 分可得，故直线的斜率为， 03 58ycMN3 5587644ckcc 13 分 直线的方程为，即MN5(4 )6yxc 564 50 xyc7 原点到直线的距离为，OTMN4 54 553641cdc依题意，解得，4 520 414141c 5c 故椭圆方程为 2212015xy16 分解法二：设，则椭圆方程为，( ,0)F c2222143xycc 由知是的中点，故，M,N T1224xxc直线的斜率显然存在，不妨设为，故其方程为，与椭圆联立，MNk(4 )yk xc并消去得：，整理得：y22222(4 )143xkxccc， （*）222222(43)32641

12、20kxck xk cc设，依题意：11( ,)M x y22(,)N xy21222221223243641243ckxxkk ccx xk由解得： 212212324324ckxxkxxc2122221644316443ckcxkckcxk所以，解之得：，即222222221641646412434343ckcckck cckkk2536k 56k 直线的方程为，即MN5(4 )6yxc 564 50 xyc8原点到直线的距离为，OTMN4 54 553641ccd 依题意，解得，4 520 414141c5c 故椭圆方程为 2212015xy16 分19设个正数依次围成一个圆圈其中mma

13、aa,.,21*4,mmN1231,.,kka a aaa*(,)km kN 是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列d111,.,mmkka aaaa2 若，求数列的所有项的和；12ad8k maaa,.,21mS 若，求的最大值；12ad2015m m 是否存在正整数，满足？若存k1211213()kkkkmmaaaaaaaa在，求出值；k若不存在，请说明理由解依题意，故数列即为共16ka maaa,.,212，4，6，8，10，12，14，16，8，410 个数，此时， 10m 84mS 4 分由数列是首项为、公差为的等差数列知，1231,.,kka a aaa222kak而是首项为、公

14、比为的等比数列知，111,.,mmkka aaaa2222mkka 故有，即必是的整数次幂，222mkk 12mkk k29由知，要使最大，必须最大， 122kmkmk又，故的最大值，从而，的最大值是 2015kmk1021010241222mm10339 分由数列是公差为的等差数列知，1231,.,kka a aaad1(1)kaakd而是公比为的等比数列，111,.,mmkka aaaa2112mkkaa 故，1(1)akd112mka 11(1)(21)mkkda 又，121113()kkkkmmaaaaaaaa12maa则，即，1111 2(1)3 221 2m kkak kda 11

15、111(21)3 2(21)2mkm kkak aa 则，即， 11126(21)22mkm kkk 1126 212mkmkkk 显然，则6k 112182166mkkkk 所以，将一一代入验证知，6k 12 3 4 5k ，当时，上式右端为，等式成立，此时，4k 86m 综上可得：当且仅当时，存在满足等式 6m 4k 16 分20设函数，(其中，是自然对数的底数） 1( )1f xx ( )1xg xaxaRe若函数没有零点，求实数的取值范围；( )( )( )F xf xg xa若函数的图象有公共点，且在点有相同的切线，求实数的值；( ), ( )f x g xPPa若在恒成立，求实数的

16、取值范围()( )xf eg xx0,)a解由得，显然，都不( )( )( )0F xf xg x2(1)(1)10axax 0 x 1xa 是此方程的根，当时，没有实根，则，由得：，1a 1a 2(1)4(1)0aa31a 故当时，函数没有零点； ( 3,1a ( )( )( )F xf xg x3 分10，设它们的公共点为，21( )fxx21( )(1)g xax(,)PPP xy则有即也就是()()()()PPPPPPyf xyg xfxg x()()()()PPPPf xg xfxg x2211111()(1)PPPPPxxaxxax当时，无解；当时，1PPaxx 111Px1PPa

17、xx 111Px 12Px ；8 分3a 由题得在上恒成立，因为，故，111xxeax0,)0 x 10,1)xe所以在上恒成立，故在上恒成立，110 xe0,)01xax0,)所以，. 10 分0a 解法一：不等式恒成立等价于在上恒成立，11xxeax(1)(1)0 xaxex0,)令，则1( )(1)(1)1xxaxh xaxexaxxe ，1( )1xaxah xae再设，则，同时，( )( )m xh x21( )xaxam xe，(0)21ma(0)0h(0)0h当时，则在上单调递减， 0a 1( )0,xm xe ( )( )m xh x0,)( )(0)=0h xh，在上单减，

18、即在上恒成立，( )h x0,)( )(0)=0h xh，()( )xf eg x0,)当时，因为，所以，102a21()( )xaa xam xe210aa( )0m x 则在上单调递减， 在上单( )( )m xh x0,)( )(0)=0h xh，( )h x0,)减，即在上恒成立，( )(0)=0h xh，()( )xf eg x0,)11当时，12a 21()( )xaa xam xe210aa若，则，即在上单调递增，所以210axa( )0m x ( )( )m xh x21(0,)aa( )(0)0h xh即在上也单调递增，即，不满足( )h x21(0,)aa( )(0)=0h

19、 xh()( )xf eg x条件.综上，在上恒成立时，实数的取值范围是. ()( )xf eg x0,)a10,216 分解法二：不等式恒成立等价于在上恒成立，11xxeax(1)(1)0 xxaxee x0,)设，则( )(1)(1)=(1)(1)xxxh xaxee x eaxxax，( )()xh xeaxxaa再设，则( )( )()xm xh xeaxxaa( )(1)(21)xm xeaxa同时，(0)21ma(0)(0)0mh(0)0h当时，故函数是上的增函数所以1a (0)210ma ( )h x(0,)，( )(0)0h xh所以函数是上的增函数，所以当时，( )h x(0

20、,)(0,)x( )(0)0h xh即，与在上恒成立不符，()( )xf eg x()( )xf eg x0,)当时，故函数是102a2101aa21( )(1)()01xam xaexa( )h x上的减函数(0,)所以，函数是上的减函数，所以当时，( )(0)0h xh( )h x(0,)(0,)x，( )(0)0h xh即在上恒成立，( )( )f xg x0,)12当时，当时，112a2101aa21( )(1)()1xam xaexa21(0,)1axa，( )0m x 故函数是上的增函数所以在上，( )h x21(0,)1aa21(0,)1axa，( )(0)0h xh所以函数是上

21、的增函数，所以当时，( )h x21(0,)1aa21(0,)1axa，( )(0)0h xh即，与在上恒成立不符，()( )xf eg x()( )xf eg x0,)综上可得，使在上恒成立实数的取值范围是()( )xf eg x0,)a10,2第二部分21B已知矩阵，计算2 13,1 25M 2M解法一：矩阵的特征多项式为，令，M221( )4312f ( )0f解得，对应的一个特征向量分别为， 1,31211,11 5 分令，得，12mn1,4mn 22221212(4)()4()MMMM 2211351 14 31137 10 分解法二：因为， 22 12 11 21 2M5 分所以

22、2335537M 10 分21C已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴C4sinx13的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 的参数方程是是参数） 若直线 与圆相切，l32(12xttytmlC求正数的值m解：由，得，所以，4sin24 sin2240 xyy即圆方程为 C22(2)4xy4 分又由，消 得， 3212xtytmt330 xym8 分因为直线 与圆相切，所以得，lC| 2 33|22m4 323m 又，所以 0m 4 323m 10 分22如图，平行四边形所在平面与直角梯形所在平面互相垂直，ABCDABEF且，11,/2ABBEAFBEAF为,2,3ABAFC

23、BABCP中点DF求异面直线与所成的角；DAPE求平面与平面所成的二面角（锐角）的余弦值DEFABCD解：在中，ABC1,23ABCBABC所以2222cos3ACBABCBA BCCBA所以，所以222ACBABCABAC又因为平面平面，平面平面ABCD ABEFABCD，ABEFAB14平面，所以平面AC ABCDAC ABEF如图，建立空间直角坐标系，则,AB AF AC 13(0,0,0), (1,0,0),(0,0, 3),( 1,0, 3),(1,1,0),(0,2,0), (,1,)22ABCDEFP33(1,0,3),( ,0,)22DAPE 设异面直线与所成的角为，则DAPE33cos| |2|23D