第6章 几何造型

1、第第 6 6 章章 几何造型几何造型 第第 6 章章 几何造型几何造型 6.1 形体在计算机中的表示形体在计算机中的表示 6.2 边界表示边界表示 6.3 其它造型方法其它造型方法 习题习题 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 6.1 形体在计算机中的表示形体在计算机中的表示 6.1.1 几何模型 在几何造型系统中, 描述物体的三维模型通常有三 种, 即线框模型、 表面模型和实体模型。 线框模型是计算机图形学和CAD/CAM领域最早用 来表示物体的模型, 计算机绘图是这种模型的一个重要 应用。 线框模型用顶点和棱边来表示物体, 如图6.1所 示的立方体。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型

2、 若给出其8个顶点v1, v2, , v8 的坐标, 则此立方体的 形状和位置在几何上就被确定了, 再用e1, e2, , e12共12 条棱就可以把立方体表示出来。 其立方体棱边和顶点 的关系如图6.2所示。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 图 6.1 立方体 v 7 e 6 v 6 e 10 v 2 e 1 e 3 e 9 e 4 e 8e 11 e 6 v 5 e 12 v 8 e 7 v 1 v 3 v 4 s 1 s 4 s 2 s 6 s 5 s 3 e 2 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 图 6.2 立方体棱边和顶点的关系 v 1 v 2 v 3 v 4 v 7 v

3、8 e 12 e 11 e 10 e 2 e 1 cube 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 图 6.3 线框模型各顶点坐标和端点与线段之间的关系表 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 图 6.4 立方体的单链面边表数据结构 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 表面模型在线框模型的基础上增加了物体中面的 信息, 用棱边所围成的封闭区域定义实体表面, 用面的 集合来表示物体。 物体中面的信息一般采用单链面边 表数据结构表示, 对应于图6.1的立方体的单链面边表数 据结构如图6.4所示。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 由于增加了面的信息, 因此表面模型扩大了线框模 型的应用范围,

4、能够满足面面求交、 线面消隐、 明暗 色彩图、 数控加工等需要。 但在该模型中, 除了边点 表外， 只有一张张面的信息, 物体究竟存在于表面的哪 一侧, 并没有给出明确的定义, 无法计算和分析物体的 整体性质, 如物体的表面积、 体积和重心等, 也不能将 这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联 的性质, 如是否相交等。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 实体模型是在表面模型的基础上, 通过对表面的那 一侧存在实体给出明确定义, 由表面直接构造实体的一 种几何模型。 确定实体存在侧的方法通常有三种(如图 6.5所示): (1) 在定义表面的同时, 给出实体存在侧一个点; (2) 直接

5、用一向量指明实体存在侧; (3) 用有关棱边隐含表示外法向量方向, 有向棱边 按右手法则取向。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 图 6.5 确定实体存在侧的方法 (1)(2)(3) 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 6.1.2 形体表示 1. 分解表示 分解表示是将形体按某种规则分解为小的更易于 描述的部分, 每一小部分又可分为更小的部分, 这种分 解过程直至每一小部分都能够直接描述为止。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 图 6.6 八叉树表示形体的一个实例 10 32 1 5 2 3 76 3 7 (a) (b) 实节点 空节点 具有子孙的节点 (c) 第第 6 6 章章 几

6、何造型几何造型 2. 构造表示 构造表示是按照生成过程来定义形体的方法, 通常 有扫描表示、 构造实体几何表示和特征表示三种方法。 其中, 扫描表示是一种基于图元(如一个点、 一条线 或一个面), 沿某一个给定轨迹移动而形成特定几何体 的方法。 如图6.7所示, 图形B是梯形A绕z轴作旋转扫 描后形成的形体。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 图 6.7 图形B是梯形A绕Z轴作旋转扫描后形成的形体 z B A y x O 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 通过以上给定的结构化的形体表示可以计算出其形 体的边界表示。 其计算过程如下: (1) 对于单个形体, 计算其表面在何处被截断, 哪

7、些 边或顶点将产生或被删除。 (2) 对于两个相交形体, 计算由于其相交而产生的 新边: 计算两相交形体的相交线段; 按几何元素分类, 确定相交线段的哪一部分真正 属于新形体的边(有效边)。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 CSG系统也可以用一棵有序二叉树表示(如图6.8所 示), 称为CSG树。 CSG树的形式一般定义为 : = | | 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 图 6.8 构造实体几何表示 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 图 6.9 一个基于特征的造型系统 几何模型 特征模型 应用系统 特征造型器 几何造型器 用户 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 所谓特征,

8、是面向应用、 面向用户的, 不同的应用 领域, 具有不同的应用特征, 不同应用领域的特征都有 其特定的含义, 例如机械加工中, 提到孔, 我们就会想到 是光孔还是螺孔, 孔径有多大, 孔有多深, 孔的精度是多 少等。 而特征的形状常用若干个参数来定义, 譬如圆柱 和圆锥特征用底面半径R和高度H来定义, 方块特征用 长度L, 宽度W和高度H来定义(如图6.10所示)。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 图 6.10 特征形状的参数定义 (a) 方块； (b) 圆柱； (c) 圆锥 W L H H R H R (a)(b)(c) 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 3. 边界表示 边界表示(

9、Boundary Representation)也称为BR表示 或BRep表示, 是以物体边界为基础, 定义和描述几何形 体的方法。 物体的边界通常由面的并集来表示, 而每个面又由 它所在的曲面的定义加上其边界来表示, 面的边界是边 的并集, 而边又是由点来表示的。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 6.2 边边 界界 表表 示示 6.2.1 三维形体的曲面模型 曲面模型又叫曲面造型, 是在线框造型的基础上增 加面的信息, 利用平面和曲面来表示形体。 它为形体造 型提供了更多的几何信息, 可以在程序中实现自动消除 隐藏线和隐藏面。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 6.2.2 形体的边

10、界表示 1. 顶点 点是几何造型中的最基本的元素, 自由曲线、 曲面 或其它形体均可用有序的点集表示。 顶点是边的端点, 顶点( Vertex )的位置用(几何)点( Point )来表示。 2. 边 边( Edge )是一维几何元素, 是两个邻面(对正则形体 而言)或多个邻面(对非正则形体而言)的交界, 一条边为 两个或多个面共享。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 3. 环 环( Loop )是有序、 有向边( Edge )(直线段或曲线 段)组成的面的封闭边界。 环中的边不能相交, 相邻两 条边共享一个端点。 4. 面 面(Face)是二维几何元素， 是有界、 不自交的连 通表面,

11、由一个外环和若干个内环(可以没有内环)来表 示, 内环完全在外环之内。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 5. 体 体(Body)是三维几何元素， 是由封闭表面围成的 空间， 也是欧氏空间 R3 中非空、有界的封闭子集， 其边界是有限面的并集。 在正则几何造型系统中, 要求 体是正则的, 非正则形体的造型技术将线框、 表面和实 体模型统一起来, 可以存取维数不一致的几何元素, 并 可对维数不一致的几何元素进行求交分类, 从而扩大了 几何造型的形体覆盖域。 在很多边界表示的数据结构中, 比较著名的是翼边 数据结构(如图6.11所示)。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 图 6.11 翼边

12、数据结构 右上边 左 上 边 左下边 右 下 边 右外环左外环 棱边 始点 (PS ) 终点 (PE ) 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 model region shell face use loop use edge use vertex use topologygeometry vertex edge loop face 图6.12 辐射边数据结构 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 6.2.3 欧拉操作 对于任意的简单多面体(正则形体), 其面(f)、 边(e)、 顶点(v)的数目满足公式 v-e+f=2 (6 - 1) 这就是著名的欧拉公式。 对于任意的正则形体, 引 入形体

13、的其它几个参数: 形体所有面上的内孔总数(r)、 穿透形体的孔洞数(h)和形体非连通部分总数(s), 则形体 满足公式 v-e+f=2(s-h)+r (6 - 2) 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 6.2.4 集合运算 1. 正则集与正则集合运算算子 Tilove 根据点集拓扑学的原理, 给出了正则集的定 义。 认为正则的几何形体是由其内部点的闭包构成, 即 由内部点和边界两部分组成。 对于几何造型中的形体, 规定正则形体是三维欧氏空间中的正则集合, 因此可以 将正则几何形体描述如下: 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 设G是三维欧氏空间R3中的一个有界区域, 且 GbGiG, 其中

14、bG是G的n1维边界, iG是G的内部。 G的补空间cG称为G的外部, 此时正则形体G需满足: (1) bG将iG和cG分为两个互不连通的子空间; (2) bG中的任意一点可以使iG和bG连通; (3) bG中任一点存在切平面, 其法矢指向cG子空间 (4) bG是二维流形。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 2. 分类 几何造型中的集合运算实质上是对集合中的成员进 行分类的问题, Tilove 给出了集合成员分类问题的定义 及判定方法。 Tilove 对分类问题的定义: 设S为待分类元素组成的 集合, G为一正则集合, 则S相对于G的成员分类函数为 C(S, G)=S in G, S o

15、ut G, S on G (6 - 3) 其中 S in G=SiG, S out G=ScG, S on G=SbG 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 3. 集合运算算法 正则集合运算与非正则形体运算的区别在于增加了 正则化处理步骤。 下面, 我们给出一个非正则形体的集 合运算算法。 假定参与集合运算的形体为A和B, 运算的结果形体 CA B, 其中集合运算符为通常的集合运算 并、 交、 差(、 、 -)。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 集合运算整个算法包括了以下几个部分: (1) 求交: 参与运算的一个形体的各拓扑元素求交, 求交的顺序采用低维元素向高维元素进行。 (2) 成环

16、: 由求交得到的交线将原形体的面进行分割, 形成一些新的面环。 (3) 分类: 对形成的拓扑元素生成集中的每一拓扑元 素, 取其上的一个代表点, 根据点/体分类的原则, 决定 该点相对于另一形体的位置关系, 同时考虑该点代表的 拓扑元素的类型(即其维数), 来决定该拓扑元素相对于 另一个形体的分类关系。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 (4) 取舍: 根据拓扑元素的类型及其相对另一个形体 的分类关系, 按照集合运算的运算符要求, 要决定拓扑元 素是保留还是舍去; 保留的拓扑元素形成一个保留集。 (5) 合并: 对保留集中同类型可合并的拓扑元素进行 合并, 包括面环的合并和边合并。 (6)

17、 拼接: 以拓扑元素的共享边界作为其连接标志, 按照从高维到低维的顺序, 收集分类后保留的拓扑元素, 形成结果形体的边界表示数据结构。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 6.3 其它造型方法其它造型方法 6.3.1 参数化造型 1. 几何约束关系的类型及表示 目前三维参数化模型能处理的约束类型主要有以下 几种: (1) 两个或多个平面间的垂直距离; (2) 两个或多个轴线间的垂直距离; (3) 两个或多个平面间的角度; 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 (4) 轴和平面间的垂直距离; (5) 两个或多个轴线间的角度; (6) 轴和平面间的角度; (7) 轴对称面的半径。 第第 6 6

18、章章 几何造型几何造型 对应的几何约束关系表示形式主要有以下几种: (1) 由算术运算符、 逻辑比较运算符和标准数学函 数组成的等式或不等式关系, 它们可以在参数化造型系 统的命令窗中直接以命令行形式输入; (2) 线关系, 直接把物理曲线或其它特性曲线用于 几何造型; 关系文件是许多关系命令行语句和特定语句 的集合。 (3) 面向人工智能的知识表达方式, 这种方式将组 成几何形体的约束关系、 几何与拓扑结构用一阶逻辑 谓词的形式描述, 并写入知识库中。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 2. 几何约束的求解 对于上述几何约束的求解, 主要采用数学计算和几 何推理两种方法实现。 数学计算方

19、法的思想是通过一 系列特征点来定义形体的几何, 所有约束和约束之间的 工程关系都可以换成以这些点为未知变量的方程, 方程 的求解就能惟一地确定精确的几何形状。 在以 BRep 模式表达几何形状的情况时, 这些特征点一般为边界上 的轮廓顶点、 圆心点、 自由曲线或曲面的控制顶点以 及基本体系的定位点。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 3. 参数化几何模型的构造 集合形体的参数化模型是由传统的几何模型信息 和集合约束信息两大部分组成。 根据几何约束和几何 拓扑信息的模型构造的先后次序, 亦即它们之间的依存 关系, 参数化造型可分成两类。 一类是几何约束作用在 具有固定拓扑结构形体的几何要素上

20、, 几何约束值不改 变几何模型的拓扑结构, 而是改变几何模型的公称大小。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 这类参数化造型系统以BRep为其内部表达的主模型。 另一类是先说明参数模型的几何构成要素及它们之间 的约束关系, 而模型的拓扑结构是由约束关系决定的。 这类参数造型系统以CSG表达形式为内部的主模型, 可 以方便地改变实体模型的拓扑结构, 并且便于以过程化 的形式记录构造的整个过程。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 6.3.2 特征造型 纯几何的实体与曲面是十分抽象的, 自20世纪80年 代以来, 为了满足CIMS技术发展的需要, 人们一直在研 究更完整描述几何体的实体造型技术

21、。 特征造型正是 为满足这一要求而提出来的。 在基于特征的造型中对 于特征的描述是关键, 所谓特征就是指形体描述信息的 集合。 常用的特征信息主要包括: 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 (1) 形状特征: 与公称几何相关的概念; (2) 精度特征: 可接受公称形状和大小的偏移量; (3) 技术特征: 性能参数; (4) 材料特征: 材料类型、 热处理等特性; (5) 装配特征: 零件相关方向、 相互作用和配合关系。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 与传统的几何造型方法相比, 特征造型具有如下特点: (1) 特征造型着眼于更好地表达产品的完整的技术 和生产管理信息, 为建立产品的集成

22、信息服务。 (2) 它使产品设计工作在更高层次上进行, 设计人员 的操作对象不再是原始的线条和体素, 而是产品的功能 要素, 像螺纹孔、 定位孔、 键槽等。 (3) 它有助于加强产品设计、 分析、 工艺准备、 加 工、 检验各个部门间的联系, 更好地将产品的设计意图 贯彻到各个后续环节并且及时得到后者的意见反馈。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 6.3.3 分数维(Fractal)造型 欧氏几何的主要描述工具是直线、 平滑的曲线、 平面及边界整齐的平滑曲面, 这些工具在描述一些抽象 图形或人造物体的形态时是非常有力的, 但对于一些复 杂的自然景象形态就显得无能为力了, 如山、 树、 草、

23、 火、 云、 浪等, 这是由于从欧氏几何来看, 它们是极端 无规则的。 为了解决复杂图形生成, 分数维( Fractal )造 型应运而生。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 图 6.13 利用随机插值模型模拟海岸线 (a)(b)(c) 1 xx 11 x yyy 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 6.3.4 粒子系统 粒子系统是 W.T.Reeves 在1983年为了模拟火焰而 提出的一个随机模型。 其基本思想是火焰被看作为一 个喷出许多粒子的火山, 大量的形状简单的微小粒子运 动的轨迹构造了火焰的模型。 这些粒子都有各自的生 命周期, 每个粒子的位置、 取向、 形态及动力学性质 都由一组预先定义的随机过程来说明, 并可以随时间推 移发生变化。 第第 6 6 章章 几何造型几何造型 生成系统某瞬间动态画面的基本步骤是: (1) 产生新的粒子并加入系统中; (2) 赋予每一新粒子一定的属性; (3) 删去那些已经超过生存期的粒子; (4) 根据粒子