张曲边梯形的面积与定积分课件

1、张曲边梯形的面积与定积分补充：补充：（1 1）几个常用求和公式）几个常用求和公式（2 2）几个常用极限）几个常用极限2) 1(.321nnn6) 12)(1(.3212222nnnn23333)2) 1(.321nnn张曲边梯形的面积与定积分曲边梯形的面积曲边梯形的面积与定积分与定积分张曲边梯形的面积与定积分张曲边梯形的面积与定积分 1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线，直线x=a、x=b及及x x轴所围成的图形叫做曲边轴所围成的图形叫做曲边梯形。（梯形。（ y=f(x) 称为称为a，b上的连续函数上的连续函数）Ox y a b y=f

2、(x)一一. . 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积x=ax=b张曲边梯形的面积与定积分问题1圆的面积公式是如何推导的？张曲边梯形的面积与定积分 曲边梯形的面积将圆分成若干将圆分成若干等等份份张曲边梯形的面积与定积分 y = f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得张曲边梯形的面积与定积分A A1+ A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y = f(x)bax yOA1A2张曲边梯形的面积与定积分A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 y = f

3、(x)bax yOA1A2A3A4张曲边梯形的面积与定积分 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边于是曲边梯形的面积梯形的面积A A近似为近似为A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 张曲边梯形的面积与定积分（1 1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 n1n1inix 每个区间的长度为过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线

4、，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21 n1n2nknnxOy2xy 例例1.求抛物线求抛物线y=x2、直线直线x=1和和x轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积。张曲边梯形的面积与定积分（2 2） 近似代替近似代替n1)n1i(x)n1i(fS2i(不足近似值) n1n2nknnxOy2xy 张曲边梯形的面积与定积分（3 3）求和）求和) 1n(210n1 n1)n1- i(n1)n1- if( SSSSS22223n1i2n1in1iin21 张曲边梯形的面积与定积分（4 4）取极限）取极限1111(

5、1)(2)6nn31S.3S 所所以以2222(1)(21)1236n nnn 31 1111(n1)n(2n1)(1)(2)n 66nnS 当分割的份数无限多,即n,x 0时张曲边梯形的面积与定积分小结小结: :求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法（1 1）分割分割 （2 2）近似代替近似代替（3 3）求面积的和求面积的和 （4 4）取极限取极限 n oxy张曲边梯形的面积与定积分 ?,1?31,?, 2 , 1,1,2情况又怎样作为近似值的函数值处取任意吗这个值也是若能求出的值吗用这种方法能求出处的函数值点上的值近似地等于右端区间在如果认为函

6、数中近似代替在探究iifniniSnifninininixxf 张曲边梯形的面积与定积分 n1n2nknnxy2xy nnn2ii 1i 1i 12222311SSf()( )n nnn1 12(n1)niin(过剩近似值)张曲边梯形的面积与定积分 n1n2nknnxy2xy 2222331S12(n1)n1(1)(21)1111 (1)(2)n663nn nnnn(过剩近似值)张曲边梯形的面积与定积分 .31fn1limxflimS,fni,n1ixxf,inn1iinii2 都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明.,15.1,值值的的方方法法求求出出其其面面积积似似代代替替、求求和和

7、、取取极极也也可可以以采采用用分分割割、近近我我们们所所示示的的曲曲边边梯梯形形对对如如图图一一般般地地abxy xfy o af bf15.1 图图张曲边梯形的面积与定积分1. 当当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif 0f练 习张曲边梯形的面积与定积分2、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近似值等于（ ）A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间

8、内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确以上答案均不正确)(ixf)(1ixfC1,iixx练 习),()(1iiiixxf张曲边梯形的面积与定积分问题：汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为Svt如果汽车作变速直线运动，在t时刻的速度为： （单位：km/h），那么它在0t1(单位：h)这段时间内行驶的路程 22v tt SvtO汽车行驶的路程汽车行驶的路程 张曲边梯形的面积与定积分探究思考2( )2v tt= -+O Ov v t t1 12 2张曲边梯形的面积与定积分探究思考niinSS1lim张曲边梯形的面积与定积分bxxxxxann1210, 1

9、iiixx任取niixf1)(做和式：常数）且有，(/ )(lim10Anabfniin定积分定义定积分定义设函数设函数f f（x x）在）在aa，bb上连续，在上连续，在aa，bb中任意插入中任意插入n-1n-1个分点：个分点：把区间a,b等分成n n个小区间，个小区间，, 1iixx在每个小区间./ )(1nabfniibadxxf)(则，这个常数则，这个常数A称为称为f(x)在在a，b上的上的定积分定积分(简称积分简称积分)记作记作nfdxxfniiba/a)-b)(lim)(A10n（即xfSii)(张曲边梯形的面积与定积分被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分区间积

10、分区间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限nabfdxxfniiba10n)(lim)(A即积分和积分和abbaaadxxfdxxfdxxf)()(, 0)(规定：张曲边梯形的面积与定积分, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值4321)(AAAAdxxfba 说明说明（1）定积分是特殊和式极限,它是一个定数;(2)定积分的大小仅与区间a,b和被积函数f(x)有关1A2A3A4A张曲边梯形的面积与定积分 1、如果函数如果函数f（x）在）在a，b上连续且上连续且f（x）0时，那么：时，那么：定积

11、分定积分 就表示以就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积）为曲边的曲边梯形面积。badxxf)( 2、定积分定积分 的数值在几何上都可以用曲边梯的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。形面积的代数和来表示。badxxf)(1S2S3S321SSSdxxfba )(定积分的几何意义是什么？定积分的几何意义是什么？张曲边梯形的面积与定积分定积分的简单性质定积分的简单性质(1)( )( ) ()bbaakf x dxkf x dxk为常数1212(2) ( )( )( )( )bbbaaaf xfx dxf x dxfx dx(3)( )( )( ) (acb)bcbaacf x dxf

12、 x dxf x dx张曲边梯形的面积与定积分题型题型1 1：定积分的简单性质的应用定积分的简单性质的应用20082007102132)()()()(1dxxfdxxfdxxfdxxf、化简481, 9,29, 323033023030dxxdxxxdxdx、已知，?)1512218()2(?)8634123032330dxxxxdxxxx（）（求：点评：点评：运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差张曲边梯形的面积与定积分题型题型2 2：定积分的几何意义

13、的应用定积分的几何意义的应用？、3141dx？、axdx02？、dxx302)2(3？、dxx302948 825221a问题问题1 1：你能求出下列格式的值吗？不妨试试。你能求出下列格式的值吗？不妨试试。49张曲边梯形的面积与定积分问题问题2 2：一个作变速直线运动的物体的运动规一个作变速直线运动的物体的运动规律律S SS(t)S(t)。由导数的概念可以知道，它在任意。由导数的概念可以知道，它在任意时刻时刻t t的速度的速度v(t)v(t)SS（t)t)。设这个物体在时间。设这个物体在时间段段a a，b b内的位移为内的位移为S S，你能分别用，你能分别用S(t)S(t)，v(t)v(t)来

14、表示来表示S S吗？吗？从中你能发现导数和定积分的内在从中你能发现导数和定积分的内在联系吗？联系吗？张曲边梯形的面积与定积分另一方面，从另一方面，从导数导数角度来看：角度来看：如果已知该变速直如果已知该变速直线运动的路程函数为线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间，则在时间区间a,b内物内物体的位移为体的位移为s(b)s(a)， 所以又有所以又有 ).()(d)(asbsttvba由于由于 ，即，即s(t)是是v(t)的原函数，这就是说，的原函数，这就是说，定积分定积分 等于被积函数等于被积函数v(t)的原函数的原函数s(t)在区间在区间a,b上的增量上的增量s(b)s(a).)()(t

15、vtsbattvd)( 从从定积分定积分角度来看：角度来看：如果物体运动的速度函数为如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间，那么在时间区间a,b内物体的位移内物体的位移s可以用定可以用定积分表示为积分表示为.d)(battvs张曲边梯形的面积与定积分探究新知：探究新知：tOy tyy BniSSSSS 21a aybSa(t )0t1it 1it nb(t )nt 1t2S1S2 iS nS1h2hihnhA by aybyS ttvSii 1 吗？表示，你能分别用内的位移为时间段设这个物体在的速度为时刻的概念可知，它在任意由导数是运动的物体的运动规律如图：一个作变速直线S,tv

16、tySbatytvttyy 1 itynab ttyi 1张曲边梯形的面积与定积分 aybyS badtty tyy ay byniSSSSS 21 111 iiiitynabttyttvS ttytDPChSiii 1tan ttvSniin 11lim niintty11lim dttvba aybydttySba 张曲边梯形的面积与定积分微积分基本定理微积分基本定理张曲边梯形的面积与定积分微积分基本定理：设函数设函数f(x)在区间在区间a,b上连续，并且上连续，并且F(x)f（x)，则，则，baaFbFxxf)()(d)(这个结论叫这个结论叫微积分基本定理微积分基本定理（fundamen

17、tal theorem of calculus)，又叫，又叫牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).).()()(d )( aFbFxFxxfbaba或记作张曲边梯形的面积与定积分说明：说明：牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积只要求出被积函数函数 f f( (x x) )的一个原函数的一个原函数F F( (x x) )，然后，然后计算原函数计算原函数在区间在区间 a,ba,b 上的增量上的增量F F( (b b) )FF( (a a) )即可即

18、可. .该公式该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。把计算定积分归结为求原函数的问题。张曲边梯形的面积与定积分解解（）（）( )( )|( )( )bbaaf x dxF xF bF a找出找出f(x)的原的原函数是关键函数是关键例例1 1 计算下列定积分计算下列定积分 dxx2111 3122xdx xx1ln 2ln1ln2lnln12121 xdxxabxdxxbabalnlnln11 ：公公式式 813222231312 xxdx张曲边梯形的面积与定积分练习练习1: _4_3_2_112131031010 dxxdxxxdxdx12141415banbannxdxx121 ：公公式式

19、张曲边梯形的面积与定积分例计算定积分例计算定积分 解解:dxxx 312213 22311,3xxxx dxxdxxdxxdxx 3123123123121313原原式式 37611311313331313 xx张曲边梯形的面积与定积分 达标练习：达标练习： _14_1233_12_2312121221102 dxedxxxdxxxdttx12ln23 912 ee初等函数初等函数张曲边梯形的面积与定积分微积分基本定理微积分基本定理)()()(aFbFdxxfba 三、小结banbannxdxx121 ：公公式式abxdxxbabalnlnln11 ：公公式式张曲边梯形的面积与定积分|bacx

20、11|1nbaxn+cos|bax-sin|bax定积分公式定积分公式6)()xxbxae dxee7)()lnaxbxxa dxaaa15)(ln)1baxxdxx1)()bacxccdx12)bnnnaxnxdxx3)(sin)coscosbaxdxxx 4)(cos)sinsinbaxdxxxln|bax|xbae|lnxbaaa张曲边梯形的面积与定积分牛顿 牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到1701年。