平面向量基本定理及坐标表示考点与提醒归纳

1、平面向量基本定理及坐标表示考点与提醒归纳一、基础知识1. 平面向量基本定理(1) 定理：如果ei, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数入,甩，使a =/iei+泌2.(2) 基底：不共线的向量 eie2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.1基底ei, e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；2基底给定，同一向量的分解形式唯一；入=P, 3如果对于一组基底 ei, e2，有a = ?iei +泌2= pei+比e2，则可以得到诡=比.2. 平面向量的坐标运算向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：设 a = (Xi, yi), b

2、 = (X2, y2),则 a + b = (xi + X2, yi + y2),a b = (xi X2, yi y2),七=(入卞，入 y, |a|= 7x2+ y2.若 a = b，贝U xi= X2且 yi = y2.(2)向量坐标的求法： 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.、 设 A(xi, yi), B(x2, y2),贝AB = (x2 xi , y2 yi),| AB |= ；： X2 xi 2 + y2 yi 2.3. 平面向量共线的坐标表示设 a = (xi, yi), b = (x2, y2),其中 b 丰 0,贝 V a / b? xiy2 X2yi=

3、0.xi yi当且仅当X2y2工0时，a /b与爲=等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.考点一平面向量基本定理及其应用OADB ,典例如图，以向量CA = a ,75b = b为邻边作平行四边形A 1 A A 1 A. A A ABM = 3 BC , CN = 3CD，用 a , b 表示 OM , ON , MN .A A A解/ BA = OA OB = a b ,a a a 155 = OB + BM = 6a + 6bOD = a+ b ,A A 1A ON = OC + 3CD1A 1 A=2OD + 1D=2d = 3a+3b，A A A 221511-MN =

4、 ON OM = 3a + 3b - 6a - 6b=2a - 6bD 15 A 22A 11综上，OM = ga+ gb , ON = a+ 3b , MN = qa gb.解题技法1. 平面向量基本定理解决问题的一般思路(1) 先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决.(2) 在基底未给出的情况下， 合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.2. 应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组.利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行

5、向量 的加减运算或数乘运算.题组训练1 1 A1. 在 ABC中，P, Q分别是 AB, BC的三等分点，且 AP= 3AB, BQ= 3BC，若AB=a, = b，U-D =()11 11A.a + 3bB 3a + 3b1 1 D 3a - 3b 2 1 2 1 1 解析：选 A 由题意知 PQ = PB + BQ = 3 AB + BC = AB + 3( AC AB ) = AB +1 1 13ac = 3a+3b.2. 已知在厶ABC中，点0满足01 + OB + 0C = 0,点P是OC上异于端点的任意一点，且O|P = mOA + n O总，贝U m + n的取值范围是 .解析：

6、依题意，设O? = xOc (0 由 OA + OB + OC = 0，知 OC = (OA + OB), 所以OP =入OA 入OB ,由平面向量基本定理可知，m+ n= 2 入 所以 m+ n ( 2,0).答案：(一2,0)考点二平面向量的坐标运算 典例已知 A( 2,4), B(3, 1), C( 3, 4).设 AB = a , BC = b , CA = c,且 CM=3c, CN = 2b ,(1) 求 3a + b 3c; _(2) 求M , N的坐标及向量MN的坐标.解由已知得 a = (5, 5), b = ( 6, 3), c = (1,8).(1) 3a + b 3c=

7、 3(5 , 5) + ( 6, 3) 3(1,8)=(15 6 3, 15 3 24) = (6 , 42). (2) 设 O 为坐标原点，/ CM = OM OC = 3c , OM = 3c + OC = (3,24) + ( 3, 4) = (0,20). Ml(0,20).又 T CN = ON OC = 2b, ON = 2b + OC = (12,6) + ( 3, 4) = (9,2),N(9,2) ,.MN = (9, - 18).变透练清1. 变结论 本例条件不变，若 a = mb + nc,贝U m=, n =.解析：/mb + nc = ( 6m+ n, 3m+ 8n)

8、, a = (5, 5),6m+ n= 5,3m + 8n= 5,m= 1,解得n= 1.答案：1 1 2已知 0 为坐标原点，向量 0A = (2,3), OB = (4, 1)，且 AP = 3 PB，则 |0P|=解析：设P(x, y),由题意可得A, B两点的坐标分别为(2,3) , (4 , 1),由-P = 3口t ,x 2= 12 3x ,可得y 3= 3y 3 ,7x= 2，一 7解得故|OP |= 7y= 0 ,答案：7解题技法1. 平面向量坐标运算的技巧(1) 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.解

9、题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解.2. 向量坐标运算的注意事项(1 )向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同.(2) 向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算.(3) 向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分.考点三平面向量共线的坐标表示典例已知 a = (1,0), b = (2,1).当k为何值时，ka b与a + 2b共线；若AtB = 2a+ 3b , 1BC? = a + mb，且A, B, C三点共线，求 m的值.解(1) = (1,0), b = (2,1),ka b = k(1,0) (2,1) = (k

10、2, 1),a + 2b = (1,0) + 2(2,1) = (5,2),ka b 与 a + 2b 共线，12(k 2) ( 1)X 5= 0,.k= . AB = 2(1,0) + 3(2,1) = (8,3),BC = (1,0) + m(2,1) = (2m+ 1, m). A, B, C 三点共线， AB / BC ,3-8m 3(2m + 1) = 0,.m=解题技法1. 平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若 a = (x1, y”, b = (x2, y2)，则 a / b 的充要条件是 X1y2 X2y1 = 0.（2）若 a / b（b 工 0），则 a= % .2.

11、两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线（或平行），可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的 充要条件可以列出方程（组），求参数的值.题组训练1.已知向量a= (1,2), b = ( 3,2)，若(ka+ b) / (a 3b)，则实数 k 的取值为()1A. 3B.1C. 3D. 3解析：选Aka + b = k(1,2) + ( 3,2) = (k 3,2k+ 2).a 3b = (1,2) 3( 3,2) = (10, 4),则由(ka + b) /(a - 3b)得1(k- 3) x (-4)- 10 x (2k+ 2) = 0,所以 k=- 3.2. (2019唐山模

12、拟)已知在平面直角坐标系xOy中，Pi(3,1), P2(- 1,3), Pi, P2, P3三点共线且向量范与向量a = (1, - 1)共线，若6K =6+ (1 - ?)Ob2，贝U匸()A . - 3B. 3C. 1D. - 1 解析：选 D 设OP3 = (x, y)，则由 OP3/a 知 x+ y = 0，于是 OP3= (x,- x).若 OP3 =-4 入1 =x，入 OP+ (1- ROP2,则有(x, - x) = X3,1) + (1 - ?)(- 1,3)= (4 入一1,3- 2”,即3 2 ?= x,所以4入1 + 3- 2入=0,解得入=1,故选D.3. 在梯形

13、ABCD 中，AB/ CD，且 DC = 2AB，三个顶点 A(1,2), B(2,1), C(4,2)，则点D的坐标为.解析：在梯形 ABCD 中，DC = 2AB, AB/CD ,DC = 2 AB .设点 D 的坐标为(x, y)，贝U DC = (4 - x,2 - y), AB = (1 , - 1),(4 - x,2 - y)= 2(1 , - 1)，即(4 - x,2 - y) = (2, - 2),4 x=2,x= 2,解得故点D的坐标为(2,4).2-y=- 2 ,y= 4 ,答案：(2,4)课时跟踪检测1. (2019 昆明调研)已知向量 a = (-1,2) , b =

14、(1,3),则 |2a- b|=()A. . 2B. 2C 10D. 10解析：选 C 由已知，易得 2a - b = 2( - 1,2) - (1,3) = (- 3,1)，所以 |2a- b = - 3 2 + 12=10.故选C.2. 已知向量 a= (5,2), b = (- 4,- 3), c= (x, y),若 3a - 2b + c= 0，贝U c=()B. (23,12)D. (- 7,0)A . (-23,- 12)C. (7,0)解析：选 A由题意可得 3a 2b + c = 3(5,2) 2( 4,- 3)+ (x, y) = (23 + x,12+ y)=23+ x=

15、0,(0,0)，所以12 + y= 0,x = 23,解得所以c = ( 23, 12).y = 12,3. (2018石家庄模拟)已知向量a= (1, m), b = (m,1)，则“ m= 1”是“ a / b ”成立的( )A .充分不必要条件C.充要条件B 必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：选A 右a / b，贝V m2= 1，即m = 1故“ m = 1 ”是“ a / b ”的充分不必要条 件，选A.4. 已知点 M是厶ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且E(C = 2Af，则|M =( )1 1 1 1A-AC + - ABB-AC + AB2326D.1 AC +

16、 2 AB6 21 1 C.AC + 1AB解析：选c 如图，因为ec = 2f，所以EC=3AC，所以EC =C C 2C 1 C 2C 1 C C 1 C 1 CEC + CM = 3 AC + 2CB = 3 AC + 2( AB AC )= AB + 6 AC .5. 已知点A(8, 1), B(1 , 3),若点C(2m 1, m+ 2)在直线AB上，则实数 m=()A . 12B. 13C. 13D. 12._ C C C C解析：选C 因为点C在直线AB上，所以AC与AB同向.又AB = ( 7, 2), AC2m 9 m+ 3=(2m 9, m + 3),故 = ，所以 m=

17、13.故选 C.7 26. 在平面直角坐标系 xOy中，已知A(1,0), B(0,1), C为坐标平面内第一象限的点，且/ AOC = n |OC|= 2,若-C = XOA + C，则 H 尸()4A . 2 2B. . 2C. 2D. 4.2解析：选A因为QC匸2，/AOC =彳，所以 C( .2, ,2)，又因为 C =+ , 所以(羽，羽)=心,0) +的,1)=(入0,所以 匸 尸羽，H 尸2yf2. 7. 已知 |OA |= 1 , |OB |= 3, OA 丄 OB , 点 C 在线段 AB 上，/ AOC = 30设 OC =mmOA + nOB (m, n R)，则石等于(

18、)1a3C.33B. 3D. ,;3解析：选B 如图，由已知|OA|= 1, |OB|= .3, OA丄 / , 可得AB =2,ZA= 60,因为点C在线段AB上，/AOC = 30,所以OC丄AB，过点C作CD 丄 OA，垂足为点 D，贝U OD = 4, CD 二屮，所以 Ct5 = 3_Oa , De = 1 COB ,t 3t 1 tm即 oc=4oa+1ob，所以 m =3.8.（2019深圳模拟）如图，在正方形1 1=XAM + （1BD，则入+ 尸（）4ABCD中，M是BC的中点,1若AC5B.315C.y解析：选B以点A为坐标原点，分别以AB , ZKD的方向为x轴，y轴的正

19、方向，建立平面直角坐标系(图略).设正方形的边长为2,则A(0,0), C(2,2), M(2,1), B(2,0), D(0,2),1 1 1 1 1 1 所以 AC = (2,2) , AM = (2,1) , BD = ( 2,2),所以 AAM + BD = (2 1 2仏入 + 2讥 因为 ACtt2 入2 尸 2 ,=XAM + BD ,所以?d- 2 0= 2 ,解得4入=3 ,_ 1尸3，所以W- = 3.9. 已知向量 a = (2,1) , b = (1 , 2),若 ma + nb = (9 , 8)(m , n R),贝U m n 的值为解析：Tma + nb = (2

20、m + n , m 2n )= (9 , 8),2m+ n= 9,m = 2,m 2n= 8, n= 5,m n = 2 5= 3.答案：310. 已知向量 a = (1, m), b = (4, m)，若有(2|a|b|)(a + b)= 0，则实数 m=解析：因为a+ b = (5,2m)丰0,所以由(2|a| |b|)(a + b)= 0 得 2|a|b|= 0,所以 |b|= 2|a|,所以I 42+ m2= 2- 12+ m2,解得 m= 2.答案：211. (2019 南昌模拟)已知向量 a = (m, n), b = (1, 2)，若 |a|=厶/5, a= ；b(X0)，则m n =.解析：a = (m, n), b = (1， 2),由|a| = 2 .5，得 m2+