曲线积分和曲面积分课件

1、曲线积分和曲面积分第十一章第十一章积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间域区间域 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分数量值函数的曲线积分数量值函数的曲线积分向量值函数在定向曲线上的积分向量值函数在定向曲线上的积分数量值函数的曲面积分数量值函数的曲面积分向量值函数在定向曲面上的积分向量值函数在定向曲面上的积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 曲线积分和曲面积分第一节 对弧长的曲线积分1.1.问题的提出问题的提出2.2.对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的概念3.3.对弧长的

2、曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算4.4.几何与物理意义几何与物理意义5.5.小结小结曲线积分和曲面积分I、引例、引例(Problem)Example:Example:曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 匀质之质量匀质之质量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 niiiisM 近似值近似值精确值精确值曲线积分和曲面积分II、曲线积分的概念曲线积分的概念(The Concept of Line Integrals),),(,),(,)

3、,(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和并作和作乘积作乘积点点个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为设第设第个小段个小段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为设设1.定义定义(Definition)oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L曲线积分和曲面积分.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在

4、曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( LdsyxM 曲线积分和曲面积分2.存在条件存在条件(exist conditions)：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 LdsyxfLyxf3.推广推广(Extension)曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数 ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfd

5、szyxf 曲线积分和曲面积分Note：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲线积分记为曲线积分记为上对弧长的上对弧长的在闭曲线在闭曲线函数函数曲线积分和曲面积分4.性质性质(Properties) .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为为常常数数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 曲线积分和曲面积分III、曲线积分

6、的计算曲线积分的计算(Evaluate of Line Integrals)定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在其中其中的参数方程为的参数方程为上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设总体思路总体思路：将对弧长曲线积分化为定积分来计算将对弧长曲线积分化为定积分来计算曲线积分和曲面积分Proof：dtttsiitti 1)()( 22 由由于于dtttds)()( 22 或或 Ldsyxf),( 则则dtttttf )()()(),(22曲线积分和曲面积

7、分Remark:Remark:;. 1 一一定定要要小小于于上上限限定定积积分分的的下下限限.,),(. 2而而是是相相互互有有关关的的不不彼彼此此独独立立中中yxyxfSpecial Case:.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba 曲线积分和曲面积分Extension:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 曲线积分和曲面积分例例1).(,sin,cos:,象象限限第第椭椭圆圆

8、求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaabI222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab yxotbtau22222cossin tdtbaudu2sin)(222 曲线积分和曲面积分例例2.)2, 1()2 , 1(,4:,2一段一段到到从从其中其中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例3)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42

9、 dkaka222sincos 20I曲线积分和曲面积分计算的一般程序计算的一般程序1. 画线画线L；2. 恰当恰当选择选择L的参数方程，的参数方程，3. 确定积分限，确定积分限， 注意下限一定比上限小注意下限一定比上限小。曲线积分和曲面积分例例4 . 0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解 由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa曲线积分和曲面积分例例5axyxLdsyxIL2,2222 为为圆圆周周其其中中求求解一解一 设设L：)cos1 ( ax sina

10、y 2 , 0 yxo a 202222 sin)cos1 ( adaaI 202 cos22da 2022 2cos22da 2022cos2cos2dda8a2曲线积分和曲面积分解二解二 设设L：2,2 , cos2)( ar addrrds2 )(22 222cos2 adaIyxo ar 222sin4 a8a2曲线积分和曲面积分交交线线。与与平平面面为为球球面面其其中中求求yxazyxLdszyIL 2222222 例例6解解 设设L：yxzo2 , 0 sin2ax cosaz sin2ay 20 daaI22 a 曲线积分和曲面积分IV、Geometric and Physica

11、l Interpretation ,),()1(的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧长长时时当当,),(),()3(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的的表表示示立立于于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面积积sL),(yxfz 曲线积分和曲面积分,)4(轴轴的的转转动动惯惯量量轴轴及及曲曲线线弧弧对对yx.,22 LyLxdsyIdsxI 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5(., LLLLdsdsyydsdsxx 曲线积分和曲面积分例例7 设设的的一一段段弧弧；到到自自点点是是)2 , 1 ()0 , 0(

12、4 ).1 (21AoxyL 的的折折线线段段；到到，经经是是自自点点)2 , 1 ()0 , 1 ()0 , 0( ).2(2ABoL两段线状物体的线密度为该点的纵坐标的值，两段线状物体的线密度为该点的纵坐标的值，求这两线状物体的质量。求这两线状物体的质量。yxoBA解解 LdsyxM),( Lyds 11 ).1 (LydsMdyyds221 102121dyyyM 12234 曲线积分和曲面积分 BAOBydsydsM2(2). BAOBOA dxdsyOB , 0:dydsxBA , 1: 20100ydydx=221MM 曲线积分和曲面积分1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积分的概

13、念2、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用Conclusions:Question:对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？iS Answer to Question:iS 的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度.曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分曲线积分和曲面积分一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲线形构件已知曲线形构件L的线密度为的线密度为),(yx , ,则则L的质量的质量M= =_；2 2、 Lds= =_；3 3、

14、对对_的曲线积分与曲线的方向无关；的曲线积分与曲线的方向无关；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _ . .二二、 计计算算下下列列求求弧弧长长的的曲曲线线积积分分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其其中中L为为圆圆周周222ayx , ,直直线线xy 及及x轴轴在在第第一一象象限限内内所所围围成成的的扇扇形形的的整整个个边边界界；Exercises曲线积分和曲面积分 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L为折线为折线ABCD, ,这里这里DCBA, 依次为点依次为点(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其中其中L为曲线为曲线 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、计算、计算 Ldsy, ,其中其中L为双纽线为双纽线 )0()()(222222 ayxayx . .三、设螺旋形弹簧一圈的方程为三、设螺旋形弹簧一圈的方程为taxcos , ,taysin , ,ktz , ,其中其中 20t, ,它的线密度它的线密度222),(zyxzyx , ,求求: : 1 1、它关于、它关于Z轴的转动轴的转动ZI惯惯量量； 2 2、它的重心、它