递推法、近似法

1、递推法递推法 近似法近似法&递推法递推法 递推法是解决物体与物体发生多次作用多次作用后的情况常用的一种方法； 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律有规律时，应根据题目特点应用数学思维将所研究的问题归类，然后求出通式通式； 具体方法：先分析某一次作用的情况，得出结论，在根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解； 关键：导出联系相邻两次作用的递推关系式递推关系式。例例1：在图10-34所示的电路中，三个电容器 、 、 的电容值均等于 ,电源的电动势 。 、 为电阻。 为双掷开关。开始时，三个电容器都不带电。先接通 ，再接通 ，再接通 ，再接通 , ,如此反复换向，

2、设每次接通前都已达到静电平衡，试求： （1）当 第 次接通 并达到平衡后，每个电容器两端的电压各是多少？ （2）当反复换向的次数无限增多时，在所在电阻上消耗的总电能是多少？1C2C3C1RSOaOb2ROaObSnObc（1）为了求每个电容器两端的电压，我们先来求每个电容器上的电荷量。 开始时三个电容器都不带电，S第1次接通Oa后， 的带电量 1C11qC2 设S第2次、第3次.接通Oa时，电源对充电的电荷量分别为 、 2q3q 则S第n次接通Oa后， 的带电量1C112nQqq.q因S接通Oa时， 、 串联， 、 增加的电荷量相等。又因为 、 相等，所以接通Ob后， 、 的带电量相等。1C2

3、C3C1C2C2C2C3CS第n次接通Ob后， 、 的带电量1C2C1().22312nQQqq.q第k次接通Oa后，111()+()+212k12k 1kqq.qqq.qqCCS每次接通Oa并达到平衡时， 、 的电压之和等于1C2C第k+1次接通Oa后，111()+()+212k 112kk 1qq.qqq.qqCC以上两式相减，得14k 1kqq可见, 每次充电时增加的电量是按等比数列的规律增加的,其通项1C1()4k 1k1qC2所以1121()1 ()434nk 1nk 11QCC2 111 ()34n23QQCQU,C由 得S每次接通Ob并达到平衡时，三个电容器的电压分别为12111

4、1 () 1 ()3434nn23UC,UUCn 1C(2)当 时， 的带电量，也就是通过电源的电量为2121 ()=343nnQlimCC电源所做的功2=32AQC 电容器储存的电场能+() +() =3222211Q1Q1WQC2C2C22C2 根据能量守恒定律，所有电阻消耗的总电能=32R1WA WC 例例2：如图所示，在一光滑水平的长直轨道上，等距离地放着足够多的完全相同的质量为m的长方形木块，依次编号为木块1，木块2在木块1之前放一质量为M=4m的大块，大木块与木块1之间的距离与相邻各木块间的距离相同，均为L,现在所有木块都静止的情况下，以一沿轨道方向的恒力F一直作用在大木块上，使其

5、先与木块1发生碰撞，设碰后与木块1结为一体再与木块2发生碰撞，碰后又结为一体，再与木块3发生碰撞，碰后又结为一体，如此继续下去.问大木块（以及与之结为一体的各小木块）与第几个小木块碰撞之前的一瞬间，会达到它在整个过程中的最大速度.此速度等于多少？MF12345设大木块（以及与之结为一体的各小木块）与第 个小木块碰撞前的瞬时速度为 ，碰撞后的瞬时速度为 ，则大木块与第1个小木块碰撞前，由动能定理n,1,2,3nu n nv21112,2FLFLMv vM（1）大木块与第n个小木块碰撞前后，由动能定理：22111(1) (1) 22nnFLMnm vMnm u（2）由动量定理：(1) ()nnMn

6、m vMnm u（3）MF12345则有：11(2) (1) nnMnm vMnm u（4）由（2）、（4）式有：22212(3)(3)(2),2nnnFLnvnvnm2221222(3)(3)(2)nnkkkkkFLkvkvmMF123452,k 2222212 554FLvvm3,k 2222322 665FLvvm4,k 2222432 776FLvvm,kn222212(3)(3)(2)nnnFLnvnvm222212567(3)(3)4nnnvvFLmMF12345222(7 ),1,2,3(3)nFL nnvnm n21n max4948FLvmMF12345近似法近似法 近似法是

7、在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，突出问题的主要方面，忽略次要因素的方法； 近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用。lxd dlTFMg验证牛顿第二定律，验证牛顿第二定律，ABCOaaa图 10-18QQQq例例1：如图10-18所示，在边长为 的正三角形三个顶点A、B、C处分别固定电荷量为 的点电荷，在其三条中线的交点 上放置一个质量为 、电荷量为 的带电质点，点显然为带电质点的平衡位置，设该质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置，试证它将作简谐振动，并求其振动周期。a0QmqOOxx解：以 为坐标原点在中线

8、上设置 轴，考察带电质点沿 轴的小偏离运动。设偏移量 为小量， 处对其作用力记为 ， 、 两处两个对其合作用力记为 ，这些力取正时朝 轴正方向，取负时朝 轴负方向。OAODxxxAB C1xF2xFxx记：aOCOBOAr33aODh63则有：2221)1 ()(rxrkQqxrkQqFx因： ，故有1rx)361 (3)21 (221axaQqkrxrkQqFx 计算如下：2xF2322322232222222)333)(2)24)(2)()2)(2)()2()()2( 2axaxhkQqhxhaxhkQqxhaxhkQqxhaxhxhaQqkFxABCOaaa图 10-18QQQqxx)2

9、331 (36)233(36)3231 (36)31 ()3)(233323232hxxahaQqkxhxahaQqkaxaxhkQqxaaxhkQq即得：)231 (322xaaQqkFx因此带电质点所受合力为：xaQqkFFFxxx321239这是一个线性回复力，故带电质点将做简谐振动，振动角频率和周期分别为ABCOaaa图 10-18QQQqxxamkQqamakQq2332393kQqmAaT32322ABCOaaa图 10-18QQQqxx例2 如图所示，悬挂着的弹簧下挂一重物，其长度 ，直径 ，倔强系数 ，一共有700匝。如给弹簧通以 电流，则重物平衡位置将作微小变化，试求此变化量

10、。1ml 0.04mD 0.5 N mk 2.5AI II解视弹簧为无限长螺线管，则内部磁感强度0NBIl（0 为真空中的磁导率） 故 2204N DLl (2)故磁通量 2204N DNSBILIl (1)当系统处于平衡状态时，假设重物受到一微扰，下降了 （这称为虚位移），考虑系统的功能情况。0ll 设通电达稳定后，弹簧缩短x，长度变为l1，则自感系数2222001144N DN DLllx (3)其间自感系数也有变化，由（3）式2222220002111444N DN DN DLlllll 机械势能的变化为2221111222Ek xlkxkx lk lkx l (4)近似：略去近似：略去高阶小量高阶小量故磁场能量变化为22222022111228N D IELIILll 同时，L的变化，使弹簧两端有了电压，恒流电源将对系统做功，由电磁感应定律有LII LUttt故恒流电源做功为22220214N DILWUI ttIltl 222222002