高三二轮立体几何大题训练

1、立体几何大题1.如图1，等腰梯形ABCD中，BCAD，CEAD，AD3BC3，CE1.求CDE沿CE折起得到四棱锥FABCE(如图2)，G是AF的中点.(1)求证：BG平面ECE；(2)当平面FCE平面ABCE时，求三棱锥FBEG的体积.(1)证明如图，取EF的中点M，连接GM、MC，则GM AE.等腰梯形ABCD中，BC1，AD3，BC AE.GMBC，四边形BCMG是平行四边形，BGCM.又CM平面FCE，BG平面FCE，BG平面FCE.(2)解平面FCE平面ABCE，平面FCE平面ABCECE，EF平面FCE，FECE，FE平面ABCE.又VFBEGVBGEFVBAEFVFABE， SA

2、BE211，VFBEG11.2. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值.(1)证明由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)解过D作DGEF，垂足为G，由(1)知DG平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则|DF|2，|DG|，可得A(1，4，0)

3、，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0，).由已知，ABEF，所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF，由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60，从而可得C(2，0，).所以(1，0，)，(0，4，0)，(3，4，)，(4，0，0).设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3，0，).设m是平面ABCD的法向量，则同理可取m(0，4)，则cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.3.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，

4、N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.(1)证明由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綉AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，AE.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，(0，2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0，

5、2，1).于是cosn，.设AN与平面PMN所成的角为，则sin，直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为.4.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F分别是线段BE，DC的中点.(1)求证：GF平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.法一(1)证明如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GHAB，且GHAB.又F是CD的中点，所以DFCD.由四边形ABCD是矩形得，ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GFDH.又DH平面ADE，GF平面ADE，所以

6、GF平面ADE.法二(1)证明如图，取AB中点M，连接MG，MF.又G是BE的中点，可知GMAE.又AE平面ADE，GM平面ADE，所以GM平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MFAD.又AD平面ADE，MF平面ADE.所以MF平面ADE.又因为GMMFM，GM平面GMF，MF平面GMF，所以平面GMF平面ADE.因为GF平面GMF，所以GF平面ADE.(2)解如图，在平面BEC内，过B点作BQEC.因为BECE，所以BQBE.又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ.以B为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，2)，B(

7、0，0，0)，E(2，0，0)，F(2，2，1).因为AB平面BEC，所以(0，0，2)为平面BEC的法向量.设n(x，y，z)为平面AEF的法向量.又(2，0，2)，(2，2，1)，由得取z2，得n(2，1，2).从而cosn，所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.5. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，PAPD2，BCAD1，CD.(1)求证：平面PQB平面PAD；(2)在棱PC上是否存在一点M，使二面角MBQC为30，若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明ADBC，BCAD，Q为A

8、D的中点，BCDQ且BCDQ，四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ.ADC90，AQB90，即QBAD，PAPD，PQAD，PQBQQ，PQ，BQ平面PBQ，AD平面PBQ，AD平面PAD，平面PQB平面PAD.(2)解当M是棱PC上靠近点C的四等分点时，有二面角MBQC为30，理由如下：由(1)知PQAD.平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，PQ平面ABCD.以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴建立空间直角坐标系，则平面BQC的一个法向量n(0，0，1)，Q(0，0，0)，P(0，0，)，B(0，0)，C(1，0).设满足条件的点M(x，y，z)存在，则(x，y，

9、z)，(1x，y，z)，令t，其中t0，在平面MBQ中，(0，0)，平面MBQ的一个法向量m(，0，t)，二面角MBQC为30，cos 30，解得t3.所以满足条件的点M存在，M是棱PC的靠近点C的四等分点.6. 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.(1)证明平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD.又ABAD，AB平面ABCD.AB平面PAD.PD平面PA

10、D.ABPD.又PAPD，PAABA.PD平面PAB.(2)解取AD中点O，连接CO，PO，PAPD，POAD.又PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD，CO平面ABCD，POCO，ACCD，COAD.以O为原点建立如图所示空间直角坐标系.易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，1，0)，C(2，0，0).则(1，1，1)，(0，1，1)，(2，0，1).(2，1，0).设n(x0，y0，1)为平面PDC的一个法向量.由得解得即n.设PB与平面PCD的夹角为.则sin |cosn，|.(3)解设M是棱PA上一点，则存在0，1使得，因此点M(0，1，)，(1，)，因为B

11、M平面PCD，所以BM平面PCD，当且仅当n0，即(1，)0，解得，所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.7.(2015山东卷)如图，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点.(1)求证：BD平面FGH；(2)若CF平面ABC，ABBC，CFDE, BAC45 ，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.(1)证明法一连接DG，CD，设CDGFO，连接OH，在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OHBD，又OH平面FGH，BD平面FGH，所以B

12、D平面FGH.法二在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)解设AB2，则CF1.在三棱台DEFABC中，G为AC的中点，由DFACGC，可得四边形DGCF为平行四边形，因此DGFC，又FC平面ABC，所以DG平面ABC.在ABC中，由ABBC，BAC45，G是AC中点.所以ABBC，GBGC，因此GB，GC，GD两两垂直.以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

13、Gxyz.所以G(0，0，0)，B(，0，0)，C(0，0)，D(0，0，1).可得H，F(0，1)，故，(0，1).设n(x，y，z)是平面FGH的一个法向量，则由可得可得平面FGH的一个法向量n(1，1，).因为是平面ACFD的一个法向量，(，0，0).所以cos，n.所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60.8.(2016浙江卷)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求二面角BADF的平面角的余弦值.(1)证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK，且CKACC，所以BF平面ACFD.(2)解如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形.取BC的中点O，连接KO，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC