选购降落伞建模论文

1、实验数学论文题目2：降落伞的选购 学生姓名 学 号 所在院系 任课教师 摘要本文建立了一个关于对降落伞选购使得费用最节省，最优化的模型。本文首先建立了在空气阻力作用下物体降落的物理模型，为了方便对降落伞进行受力分析，我们把降落伞和其负载的物资看做一个整体，忽略了伞和绳子的质量，并假设降落伞只受到竖直方向上空气阻力和重力的作用。通过对降落伞在空中的受力情况的分析建立起了高度与时间的方程，利用此方程可以对空气阻力与降落速度以及伞面积的比例系数k进行求解，本文利用最小二乘法拟合求k的值。从而计算出不同半径降落伞的最大承载量。对第一个问题，物体可以任意分割时，结合不同半径的降落伞的费用，得出目标函数及

2、约束条件，建立优化模型并进行求解；而对第二个问题，对不同规格的物品进行组合，结合不同半径伞的单个费用，得出目标函数和约束条件，建立优化模型，求出最优解。该模型对第一问题投放2000kg救灾物质选购降落伞的最低费用为4924.7元；第二问题最终得出的最低费用是2685.8元。关键字：线性规划；空气阻力系数；最小二乘法；数据拟合；matlab一、问题的重述需要选购一些规格固定的降落伞向灾区空投救灾物质，空投高度500m，救灾物质落地的速度不能超过20m/s。知道降落伞面是半径为r的半球面，每个降落伞都有16根相同长度l的绳索。每个降落伞的制造费用固定为200元，绳索价格4元/m，降落伞面费用见表1

3、。降落伞在降落过程中受到的空气阻力与降落速度以及伞面积成正比。用半径r=3m、载重300kg的降落伞从500m高度降落，得到一些数据如表2。要求：1、当救灾物质共2000kg时，确定降落伞的选购方案，使购买费用尽可能少？2、当救灾物质不能被随意连续分割时，为使购买费用尽可能少建立数学模型，并对表3数据给出结果。表1r（m）22.533.54费用（元）651703506601000表2时刻t（s）036912151821242730高度h（m）500470425372317264215160108551表3物质规格（kg）2351824数量（个）4030302512二、模型的假设1.在降落伞下降

4、过程中，本文视降落伞与所系的救灾物质为一体。2.假设空投物资的瞬时伞已打开。3.在第一问题中假设空投物资可以任意分割。4.空气的阻力系数与除空气外的其它因素无关。5.降落伞和绳索的质量可以忽略不计。6.假设降落伞只受到竖直方向上的空气阻力作用。7.在计算过程中，排除由于降落伞的质量问题导致物质在空投过程中与降落伞脱离而造成的损失。8.绳索一端连接在球心正下方的球面上，另一端均匀分布在边缘上。三、所用符号说明1.：降落伞的负载物质重量2.：重力加速度（取）3.：降落伞的加速度4.：空气的阻力系数5.：第种降落伞的伞面面积6.：第种降落伞的最大承载量7.：第种降落伞的绳索的费用8.：第种降落伞的面

5、料费用9.：一个降落伞的固定制造费用10.：第种降落伞的单价四、问题的分析我们主要目的是选择适当组合的降落伞，对物质进行空投，使总费用最低。由题意可知每个伞的总费用由三部分组成：伞面费用、绳索费用和固定费用。伞面费用由伞的半径r决定；绳索费用由绳索的长度及单价决定，而绳索的长度又由降落伞的半径决定；固定费用为定值200。问题可以归纳为总费用的非线性规划问题。降落伞下降过程是一个物理模型，故救灾物质和降落伞所组成的系统是符合牛顿定律的。系统在下降过程中做加速度减小的加速运动，直到所受阻力等于自身重力，加速度为零，速度达到最大。这时我们分析它的最大速度是否已超过20m/s，若超过的话，物质就不能安

6、全着地，这就需要适当减小物质的载重量，使物资在落地时的速度不超过20m/s。为此，我们要求出各个降落伞所对应的最大承载量，以保证物质安全着地。要确定最大载重量，我们需对降落伞进行受力分析。降落伞在降落过程中除受到竖直向下的重力作用外还受到竖直向上的空气阻力的作用，而由题可知空气阻力又与阻力系数、运动速度、伞的受力面积有关。运动速度和受力面积是已知的，所以要想确定每种伞的最大承载量，就必须先要确定空气的阻力系数。我们根据已知数据，用最小二乘法对进行求解。而在求之前必须求出时间与高度之间的关系。再根据及最大限制速度求出不同半径的降落伞的最大载重量。最后，根据所给的约束条件列出非线性优化模型，再借助

7、matlab软件，找出适当组合的降落伞，使得空投物资既能安全着陆，又能使得费用最低。五、模型的建立与求解1、确定空气阻力系数由模型假设可知降落伞和物资可看作一个整体，并且整体只受到竖直向上的空气阻力和竖直向下的重力作用。又由题可知空气阻力与降落速度v和伞的受力面积s的乘积成正比，即。则整体在竖直方向上受到的合外力为：得且从而得： 解微分方程得：（matlab求解）那么根据表2数据，以为拟合函数借助matlab软件进行非线性最小二乘拟合（程序见附录1），由r=3m,m=300kg,g=9.8,得出k=2.9396 。2、求最大承载量根据，及，再利用值得到最大载重量的表达式为：由此求得各种降落伞所

8、对应的最大承载量，如下表：表4r（m）22.533.54（kg）152.4381238.1346342.9858466.8418609.7525取整152238342466609又假设8可知，降落伞绳索的长度满足以下关系：计算求得绳索的长度以及对应绳索费用如下表：表5r（m）22.533.54（m）2.81483.53554.24264.94975.6569181.0193226.2742271.5290316.7838362.0387综合以上分析，下面总结各种降落伞的单价，如下表：表6r（m）22.533.54651703506601000181.0193226.2742271.529031

9、6.7838362.0387c200200200200200446.0193596.2742821.52901176.78381562.0387结合上表6数据，我们可以建立非线性优化模型，目标函数为各种降落伞的费用及相对应的个数之间的非线性关系，即对于约束条件，我们需要同时满足各个降落伞的载重量不超过额定载重量与总的投放量不少于2000kg，即由matlab软件求解得：结果见附录2综上可知，求得的模型结果是：的降落伞选购1个，的降落伞选购2个，的选购4个，这时2000kg物质能完全投放，而且使得总费用最低为4924.7元。 下面对第二个问题进行分析当救灾物质不能随意连续分割时，由表3中的物质规

10、格和数量的规定，需要根据每一种降落伞的不同的最大载重量，对救灾物资进行最优的组合，使得购买降落伞的费用尽可能的低。首先建立选购降落伞总费用的目标函数：设购买半径为2m、2.5m、3m、3.5m、4m的降落伞的个数分别为，目标函数为：下面列出约束条件。设表示第种物质用第种降落伞所载的个数，其中。表7 物质规格r（m）235182422.533.54由表3数据可以得出：由表4得：救灾的总的物资为1058kg，故有：以上就建立起了一个选购降落伞的优化模型。下面借助matlab软件求解此模型，所得的结果如下：见附录3。综上我们可以汇总结果如下表：表9 物质规格r（m）235182424001122.5

11、070833023291673.500000400000上表给出了选购降落伞的最优分配方案（其中半径为3.5m和4m没有选取），根据该分配方案，我们可以计算所选降落伞的总费用为2685.5元。六、模型的评价与改进本文对模型的求解过程当中全部运用了matlab软件，使得精确度更高，但是由于有效位数的设定，它会自动截去部分小数。从而带来误差，对本模型而言，这一系统误差是可以忽略的。该模型所存在的不足是：本模型未考虑降落伞打开的时间，将其假设成在下降时伞就已经打开。由于在实际生活中降落伞还受到风向的影响，本模型假设的是理想的状态下（即无风状态下）。改进：由于本模型假设的是在物资抛落的瞬时伞已打开，而

12、在实际情况中物资抛落后应有一段自由落体运动，在模型的改进时应考虑到这一点，以便让模型更切合实际。七、参考文献1 张兴永，朱开永数学建模m徐州：中国矿业大学出版社，1992.2 萧树铁数学实验m北京：高等教育出版社，1999 .3 云舟工作室编著matlab数学建模基础教程北京：人民邮电出版社，2001.4 韩中庚数学建模方法及应用北京：高等教育出版社，2005.5 谢金星薛毅.优化建模与lingo软件m 北京：清华大学出版社，2007.八、附录1、最小二乘法拟合程序：fun=inline(9.8*300*t)/(56.52*k)+(3002*9.8)/(k2*56.562)*exp(-56.5

13、2*t*k/300)-(3002*9.8)/(k2*56.562),k,t);t=0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30;h=0 30 75 128 183 236 285 340 392 445 499;k=lsqcurvefit(fun,2,t,h)运行结果：optimization terminated: relative function value changing by less than options.tolfun.k =2.93962、优化求解模型一：model:min=446.0193*x1+596.2742*x2+821.5290*x3+1176.783

14、8*x4+1562.0387*x5;m1*x1+m2*x2+m3*x3+m4*x4+m5*x5=2000;x1=0;x2=0;x3=0;x4=0;x5=0;m1=152.4381;m2=238.1346;m3=342.9858;m4=466.8418;m5=609.7525;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);end运行结果如下：global optimal solution found. objective value: 4924.684 extended solver steps: 0 total solver iterations: 0 var

15、iable value reduced cost x1 1.000000 446.0193 x2 2.000000 596.2742 x3 4.000000 821.5290 x4 0.000000 1176.784 x5 0.000000 1562.039 m1 152.4381 0.000000 m2 238.1346 0.000000 m3 342.9858 0.000000 m4 14.32095 0.000000 m5 14.44440 0.000000 row slack or surplus dual price 1 4924.684 -1.000000 2 0.650500 0

16、.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 452.5209 0.000000 7 595.3081 0.0000003、优化求解模型二：min=446.0193*y1+596.2742*y2+821.5290*y3+1176.7838*y4+1562.0387*y5;x11+x21+x31+x41+x51=40;x12+x22+x32+x42+x52=30;x13+x23+x33+x43+x53=30;x14+x24+x34+x44+x54=25;x15+x25+x35+x45+x55=12;2*

17、x11+3*x12+5*x13+18*x14+24*x15-152*y1=0;2*x21+3*x22+5*x23+18*x24+24*x25-238*y2=0;2*x31+3*x32+5*x33+18*x34+24*x35-342*y3=0;2*x41+3*x42+5*x43+18*x44+24*x45-466*y4=0;2*x51+3*x52+5*x53+18*x54+24*x55-609*y5=0;2*x11+3*x12+5*x13+18*x14+24*x15+2*x21+3*x22+5*x23+18*x24+24*x25+2*x31+3*x32+5*x33+18*x34+24*x35+2

18、*x41+3*x42+5*x43+18*x44+24*x45+2*x51+3*x52+5*x53+18*x54+24*x55=1058;gin(30);运行结果如下：global optimal solution found. objective value: 2685.477 extended solver steps: 132 total solver iterations: 1550 variable value reduced cost y1 1.000000 446.0193 y2 1.000000 596.2742 y3 2.000000 821.5920 y4 0.000000 1176.784 y5 0.000000 1562.039 x11 40.00000 0.000000 x21 0.000000 0.000000 x31 0.000000 0.000000 x41 0.000000 0.000000 x51 0.000000 0.000000 x12 0.000000 0.000000 x22 7.000000 0.000000 x32 23.00000 0.000000 x42 0.000000 0.000000 x52