2021-2022学年高中数学 第2章 常用逻辑用语 2.2 充分条件、必要条件、充要条件学案 苏教版必修第一册

1、2021-2022学年高中数学 第2章 常用逻辑用语 2.2 充分条件、必要条件、充要条件学案 苏教版必修第一册2021-2022学年高中数学 第2章 常用逻辑用语 2.2 充分条件、必要条件、充要条件学案 苏教版必修第一册年级：姓名：2.2充分条件、必要条件、充要条件学 习 任 务核 心 素 养1结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义(重点、难点)2会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件(重点)3理解性质定理、判定定理和定义与充分条件和必要条件之间的关系(重点)4能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明(难点)1通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养

2、2借助充要条件的应用，培养数学运算素养.“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？(1)习近平总书记在2020年3月26日出席二十国集团领导人应对新冠肺炎特别峰会上讲话中指出：“只要我们同舟共济、守望相助，就一定能够彻底战胜疫情，迎来人类发展更加美好的明天！”(2)“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”(人民日报)知识点1充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件“pq”含义的

3、理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立即p对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立；即q对p的成立是必要的1.(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：pq；p是q的充分条件；q的充分条件是p；q是p的必要条件；p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示(1)相同，都是pq.(2)等价1.思考辨析(正确的画，错误的画)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立()(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立()答案(1)(2)(3)知识点2充要条件(1)如果pq，且qp，那么称p是

4、q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件为了方便起见，p是q的充要条件，就记作pq，称为“p与q等价”或“p等价于q”“”和“”都具有传递性，即如果pq，qs，则ps；如果pq, qs，则ps；(2)若pq，但qp，则称p是q的充分不必要条件(3)若qp，但pq，则称p是q的必要不充分条件(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件2.(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示(1)正确若p是q的充要条件，则pq，即p等价于q.(2)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论p的充要条件是q

5、说明q是条件，p是结论知识点3性质定理和判定定理与充分必要条件的关系(1)性质定理是某类对象具有的具体特征，所以性质定理具有“必要性”；(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征，所以判定定理具有“充分性”；(3)数学中的定义既可以作为判定，也可以作为性质即数学中的定义具有“充要性”2.“同位角相等”是“两直线平行”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c既是充分条件，也是必要条件d既不充分也不必要条件c两直线平行，同位角相等两条直线被第三条直线所截得的同位角相等，那么这两条直线平行 类型1充分条件、必要条件的判断【例1】指出下列各题中p是q的什么条件(1)p：x30

6、，q：(x2)(x3)0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)p：ab，q：acbc.解(1)x30(x2)(x3)0，但(x2)(x3)0x30，故p是q的充分不必要条件(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件(3)abacbc，且acbcab，故p是q的既不充分也不必要条件定义法判断充分条件、必要条件(1)确定谁是条件，谁是结论(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件跟进训练1指出下列各组命题中，p是q的什么

7、条件(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.解(1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，所以p是q的既不充分也不必要条件(2)因为(x1)2(y2)20x1且y2(x1)(y2)0，而(x1)(y2)0(x1)2(y2)20，所以p是q的充分不必要条件 类型2充要条件的探求与证明【例2】已知a、b是实数，求证：a4b42b21成立的充要条件是a2b21.证明充分性：若a2b21成立，则a4b42b2(a2b2)(a2b2)2b2a2b22b2a2b21，所以a2b21是a4b42

8、b21的充分条件必要性：若a4b42b21成立，则a4(b21)20，即(a2b21)(a2b21)0.因为a，b为实数，所以a2b210，所以a2b210，即a2b21.所以a2b21是a4b42b21的必要条件综上可知，a4b42b21成立的充要条件为a2b21.充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证

9、明方向跟进训练2试证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明必要性：因为一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根，所以b24ac0，x1x20(x1，x2为方程的两根)，所以ac0.充分性：由ac0可推得b24ac0及x1x20(x1，x2为方程的两根)所以方程ax2bxc0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根综上所述，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0. 类型3充分条件与必要条件及充要条件的应用【例3】已知p：实数x满足3axa，其中a0；q：实数x满足2x3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围解p：3a

10、xa，即集合ax|3axaq：2x3，即集合bx|2x3因为pq，所以ab，所以a0，所以a的取值范围是a0.1将本例中条件p改为“实数x满足ax0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围解p：ax3a，即集合ax|ax3aq：2x3，即集合bx|2x3)因为qp，所以ba，所以a.2将例题中的条件“q：实数x满足2x3”改为“q：实数x满足3x0”，其他条件不变，求实数a的取值范围解p：3axa，其中a0，即集合ax|3axaq：3x0，即集合bx|3x0)因为p是q的充分条件，所以pq，所以ab，所以1a0.所以a的取值范围是1a0的真子集，所以或解得m9.所以实数m的取值范围为m|m9

11、1“x0”是“x0”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件a由“x0”“x0”，反之不一定成立因此“x0”是“x0”的充分不必要条件2(多选题)使x3成立的充分条件是()ax4bx5 cx2dx1abx4x3，x5x3，其他选项不可推出x3.3设x，yr，则“x2且y2”是“x2y24”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件a因为x2且y2x2y24, x2y24x2且y2，如x2，y1，所以“x2且y2”是“x2y24”的充分不必要条件4若“x1”是“xa”的充分条件，则a的取值范围是_a1因为x1xa，所以a1.5“x22x”是“x0”的_条件，“x0”是“x22x”的_条件(用“充分”“必要”填空)必要