复数与复变函数课件

1、复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transforms 朱传喜等编 江西高校出版社 理学院数学系刘凯 电话E-mail: 复数的诞生 先从二次方程谈起:公元前400年，巴比伦人发现和使用 则当时无解，当时有 解 ),0( , 0 2 acbxax a acbb x 2 4 2 04 2 acb04 2 acb 二千多年没有进展：寻找三次方程 0 23 dcxbxax 的一般根式解 .0) 3 () 2 ( ,) 3 () 2 ( 2 ) 3 () 2 ( 2 32 3 32 3 32 时无解但当 mn mnnmnn x v

2、G. Cardano(1501-1576):“怪才”,精通数学,医学,语言学,文 学,占星学.在1545年（大术）中解 方程x3+mx+n=0得 塔塔利亚塔塔利亚 （意，（意，14991557年）年） R. Descartes(笛卡儿) (法国,1596-1650), 是伟 大的哲学家、物理学家、 数学家、生理学家。解 析几何的创始人。 1637他称一个负数的开 方为虚数(imaginary number). L.Euler(瑞士，1707-1783): 史上最多 产的一位杰出的数学家，886本书籍 和论文,其中分析、代数、数论占 40%，几何占18%，物理和力学占 28%，天文学占11%，弹

3、道学、航海 学、建筑学等占3% . 13岁入大学，17岁获硕士,30岁右眼 失明，60岁完全失明 1748年：Euler公式 cossin i ei 1777年：首次使用i表示，创立了复变函数论，并应用 到水利学，地图制图学 C.Wessel (挪威1745-1818)和R.Argand(法国1768-1822）将复 数用平面向量或点来表示 K.F.Gauss (德国1777-1855)与 W.R.Hamilton (爱尔兰1805- 1865)定义复数 为一对 有序实数后，才消除人们对复 数真实性的怀疑，“复变函数” 这一数学分支到此才顺利地得 到建立和发展 aib 数学王子高斯 Cauch

4、y(1798-1857):法 国数学家.他是被认为在 数学论文数量上仅次于 欧拉的人，他一生一共 著作了789篇论文和几本 书.主要贡献如下:单复变 函数,分析基础,常微分方 程等。 于1825年的一本小册子关于积分限为虚数的定积分的报告，可看成 是复分析发展史的第一座里程碑。 vRiemann(1826-1866): 德国数学家,Gauss晚 年的学生.19世纪极富 创造性的数学家之一. 在复变函数论、傅立叶 级数、几何学基础、素 数分布等方面都有重要 贡献. vWeierstrass(德国1815- 1897) .他的工作以严格著称, 获得了现代分析之父的称号. 他不仅拒绝使用Cauchy

5、通过 复积分所获得的结果,也不能 接受Riemann提出的那种几 何超验方法.他相信函数论 的原理必须建立在代数真理 的基础上,所以他把目光投向 了幂级数,为复变函数论开辟 了又一条研究途径. 复变函数论的应用 v复变函数论其它学科得到了广泛的应用，有很多 复杂的计算都是用它来解决的。如物理学上有很 多不同的稳定平面场的计算。俄国的茹柯夫斯基 用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，在运 用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问 题上也做出了贡献。 v复变函数论在数学领域的许多分支也都应用了它 的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概 率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 数学中的一朵奇

6、葩数学中的一朵奇葩 v就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变 函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家 公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪 的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之 一。 v复变函数是数学所有专业的核心基础课程,理 工科学生必须掌握的数学学科。 复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛 的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问 题的有力工具。 第一章 复数与复变函数 1.1 复数及其运算 定义定义 对任意两实数对任意两实数x、y ,称称 z=x+iy或或z=x+yi 为为 复数。复数。 称为虚单位。

7、称为虚单位。其中其中ii,1 2 1. 复数的概念复数的概念 虚数单位虚数单位的特性的特性: ; 1 ii ; 1 2 i; 23 iiii ; 1 224 iii; 145 iiii ; 1 246 iii; 347 iiii ; 1 448 iii 则则是是正正整整数数一一般般地地，如如果果,n , 1 4 n i, 14 ii n , 1 24 n i. 34 ii n A 一般一般, , 任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。 复数复数z 的实部的实部 Re(z) = x ; 虚部虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) 0|

8、 22 yxz 复数的模复数的模 121212111222 , 0Re( )Im( )0 zzxxyyzxiy zxiy zzz 其中 判断复数相等判断复数相等 0, 0 , ; iyxyz当时称纯虚数为 0 , .0 , zxyix实把看作数当时它 .全体复数的集合记为 注意：注意： 例例1 1 复复数数取取何何值值时时实实数数,m )43( 2 mm .)2(;)1(纯虚数纯虚数实数实数是是imm)65( 2 解解令令, 43 2 mmx, 65 2 mmy , 0,)1( y则则如如果果复复数数是是实实数数 . 16065 2 mmmm或或知知由由 , 00,)2( yx且且则则如果复数

9、是纯虚数如果复数是纯虚数 . 14043 2 mmmm或或知知由由 .10应舍去应舍去知知但由但由 my. 4 m即只有即只有 定义定义 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的的和、差、积和商为：和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) )0( | 2 2 2 2112 2 2 2121 2 1 z z yxyx i z yyxx z z z 2. 代数运算代数运算 z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(

10、z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 . 运算规律运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律。复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同与实数相同）即，）即， 2121 )()1(zzzz 2121 )(zzzz 2 1 2 1 )( z z z z zz )2( 2 | 1 z z z 2222 )Im()Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4( zizz zzz 3.共轭复数共轭复数 定义定义 若若z=x+iy , 称称 z=x-iy 为为z 的共轭复数的共轭复数. (conjugate) .,)( , ,43,55:1 2 1 2 1 21

11、 虚虚部部及及它它们们的的实实部部求求 设设例例 z z z z iziz 5 7 43 55 : 2 1 i i i z z 解解 4 1 1 :2 i i 求求例例i i i 1 1 )(., 0aaaa . 3 01 1 -1nn 现现实实多多项项式式的的零零点点成成对对出出也也是是其其根根则则的的根根 是是实实系系数数方方程程证证明明若若例例 z xxx z nn 2 2 2 1 2 21 2 21 2:. 4zzzzzz 证证明明例例 二、复数的几何表示 1. 复平面的定义复平面的定义 . . , , , . ),( 面面 面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴

12、叫虚轴或叫虚轴或 纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数 的平面可以的平面可以一个建立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应 成一一成一一与有序实数对与有序实数对复数复数 y x yxiyxz . ),( 表示表示面上的点面上的点 可以用复平可以用复平复数复数 yx iyxz ),(yx x y x y o iyxz 2. 复数的模复数的模(或绝对值或绝对值) , 的模或绝对值的模或绝对值向量的长度称为向量的长度称为 z , 表示表示可以用复平面上的向量可以用复平面上的向量复数复数OPiyxz . 22 yxrz 记为记为 x y x y o iyx

13、z P r 显然下列各式成立显然下列各式成立 , zx , zy ,yxz . 2 2 zzzz ,zaib wuiv定义两点的距离为 22 .zwaubv 22 .zwaubv 满足满足 的的0称为辐角称为辐角Argz的主的主 值，记作值，记作0=argz。 3. 复数的辐角复数的辐角 说明说明,0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 1 是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果 的全部辐角为的全部辐角为那么那么 z 1 Arg2 (). zkk为任意整数 . Arg , , , 0 z zOPz z 记作记作 的辐角的辐角称为称为为终边的角的弧度数为终边的角的弧度数的向

14、量的向量 以表示以表示以正实轴为始边以正实轴为始边的情况下的情况下在在 0 xyzz/)Argtan(0 时，时， 0, 0 0, 0arctan 0, 0 2 , 0arctan arg yx yx x y yx Ryx x y z 计算计算 argz(z0) 的公式的公式 , 0 , 0 , zz时时当当特殊地特殊地辐角不确定辐角不确定. o x y (z) z1 z2 z1+z2 z2- z1 1212 1212 )( : zzzz zzzz 三三角角不不等等式式 由由此此得得 4.由向量表示法知由向量表示法知 之间的距离之间的距离与与点点 2112 zzzz 3. 三角表示法三角表示法

15、 )sin(cos irz 得得由由 sin cos ry rx 4. 指数表示法指数表示法 得得 公式公式再由再由 sincos : ie Euler i i rez 例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式. 1)122 ;2)sincos. 55 zizi 解 1) |1244.rzz在第三象限, 因此 235 arctanarctan. 3612 因此 5 6 55 4cos()sin()4 66 i zie 2) 显然, r = | z | = 1, 又 3 sincoscos, 52510 3 cossinsin. 52510 因此 3 10 33 cossin 1010 i z

16、ie 练习：练习： 写出 的辐角和它的指数形式。 13 2 i z 解： 3 22 argarctanarctan3, 1 233 z 2 arg22, 3 ArgzzkkkZ 1,rz 23 . i ze 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表 示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定 它所表示的平面图形. 例1 将通过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的直线用复数形 式的方程来表示. 解 通过点(x1,y1)与(x2,y2)的直线可用参数方程表示为 121 121 (), () (). xxt xx t yyt yy 因此, 它的复数形式的参数方程为 z=z1+

17、t(z2z1). (t 0为半径的为半径的 圆圆 | z -z 0|(或或 0 | z z 0| 0, 对任意对任意 z E, 均有均有 zE=z | |z|R，则则E是有界区域；否则无界。是有界区域；否则无界。 闭区域闭区域 区域区域E与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域,.E记为 。为半径的圆内所有的点以为圆点表示以rz rzz , 0 0 x y o x y o .41 | ),( 22 yxyx例例1 0| ),( yxyx例例2 例例3 3 :( ; ).EU a r设 E则 中每一点都是聚点，没有孤立点； E中每一点都是内点；E是连通集； E是有界集； ( ; )EU

18、a r的闭包是；|.Ezar的边界是 例例4 4 1 : :1,2,3,.En n 设 E则 中每一点均为孤立点；E没有内点； 0EE仅有一个聚点； E不是开集，也不是闭集； E是非连通的有界集；0.EE的闭包和边界均为 2. 简单曲线（或简单曲线（或Jardan曲线曲线) ,)()(),( )( )( baCtytxbta tyy txx 、实实变变函函数数 表表示示为为：平平面面上上一一条条连连续续曲曲线线可可 令令z(t)=x(t)+iy(t) atb ; 则曲线方程可记为：则曲线方程可记为：z=z(t)， atb . 0)( )( ,)( )( 22 则则称称该该曲曲线线为为光光滑滑的

19、的 且且、若若 tytxbaCtytx 有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。有限条光滑曲线相连接构成一条分段光滑曲线。 重点重点 设连续曲线设连续曲线C：z=z(t)，atb， 对于对于t1(a，b), t2 a, b,当当t1t2时，若时，若z(t1)=z(t2)， 称称z(t1)为曲线为曲线C的重点。的重点。 定义定义 称称没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C为简单曲线或为简单曲线或 Jardan曲线曲线;若简单曲线若简单曲线C 满足满足z(a)=z(b)时，则称时，则称 此曲线此曲线C是简单是简单闭闭曲线或曲线或Jordan闭闭曲线曲线 。 z(a)=z(b) 简单闭曲线简单闭曲

20、线 z(t1)=z(t2) 不是简单闭曲线不是简单闭曲线, 3. 单连通域与多连通域单连通域与多连通域 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复把复 平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有 界区域，称为界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为 C的外部；还有一个是它们的公共边界。的外部；还有一个是它们的公共边界。 z(a)=z(b) C z(a)=z(b) 内部内部 外部外部 边界边界 定义定义 复平面上的一个区域复平面上的一个区域 B ， 如果如果B内的任

21、何简单闭曲线的内的任何简单闭曲线的 内部总在内部总在B内内，就称，就称 B为单连通为单连通 域；非单连通域称为多连通域。域；非单连通域称为多连通域。 例如例如 |z|0）是单连通的；是单连通的； 0r|z|R是多连通的。是多连通的。 单连通域单连通域 多连通域多连通域 多连通域多连通域单连通域单连通域 1. 复变函数的定义复变函数的定义与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似 定义定义 ).( , , zfw zw ivuwGzf iyxzG 记记作作 ）的的函函数数（简简称称复复变变函函数数是是复复变变数数则则称称复复变变数数 与与之之对对应应就就有有一一个个或或几几个个使使得得 存存在在法

22、法则则的的非非空空集集合合是是一一个个复复数数设设 A 是是多多值值函函数数. .值值，称称多多个个 是是单单值值函函数数; ;值值，称称一一个个若若 )( )( zfwz zfwz 。论的函数均为单值函数论的函数均为单值函数今后无特别声明，所讨今后无特别声明，所讨 1.5 复变函数 面区域（定义域）面区域（定义域）的定义集合，常常是平的定义集合，常常是平)(zfG 值域函数值集合, )( * GzzfwwG ),(),( )()( ),();,( yxivyxu iyxfzfw vuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故 ),(),()(yxvvyxuuivuzfw xyi

23、yxiyxivuw ivuwiyxzzw 2)()( 222 2 则则 令令例例1 xyvyxuzw2 222 例例2 2222 1 1 1 1)( yx iy yx xzf若已知若已知 .)(的的函函数数表表示示成成将将zzf z zzf 1 )( )( 2 1 ),( 2 1 ,zz i yzzxiyxz 则则设设 o x y (z) G o u v (w) G G* w=f(z) 在几何上，在几何上， w=f(z)可以看作：可以看作： ).() ( *)( 变换变换平面）的映射平面）的映射平面平面wGwzGz zfw 的的原原象象。称称为为，而而映映象象的的象象点点为为称称wzzw)(

24、定义域定义域函数值集合函数值集合 2. 映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义 z w=f(z) w A 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。 A 在复变函数中用两个复平面上点集之间的在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量对应关系来表达两对变量 u，v 与与 x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观函数问题时，可借助于几何直观. . 复变函数的几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换） .所构成的映射所构成的映射研究研究zw 例例3 i

25、i rez reirz )sin(cos设设解解 关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射 o x y (z) 图图1-1 u v (w) o 即，即，)sinsin()sincos( )(sin(cos yxiyx iyxiivuw 旋转变换旋转变换(映射映射) .( 实常数）所构成的映射实常数）所构成的映射研究研究 zew i 例例4 )( iiiii rereezewrez设设 解解 sinsin sincos yxv yxu x、u y、v (z)、(w) o x、u y、v (z)、(w) o . 2 所所构构成成的的映映射射研研究究zw 例例5 o x y (z) o u v

26、(w) 2 o x y (z) o u v (w) R=2 R=4 6 3 4 22 yx 2 zw 2 zw 2 zw 2 zw 3. 反函数或逆映射反函数或逆映射 例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射zw )1 , 0( 2 2 kezzw k 为多值函数为多值函数,2支支. 定义定义 设设 w =f (z) 的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G* Gz *)( Gw zfw * Gw )( )( wz Gz 或或几几个个一一个个 则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）. Gzzfz Gwwfw )(

27、)( * 当当反反函函数数单单值值时时 显显然然有有 )(zfz 一般一般 是是一一一一对对应应的的。与与集集合合是是一一一一的的。也也称称集集合合 映映射射都都是是单单值值的的，则则称称函函数数 逆逆映映射射和和其其反反函函数数映映射射当当函函数数 GG zfwwz zfw )()()( )()()( 练练 已知映射已知映射w= z3 ，求区域求区域 0argz 在平面在平面w上的象。上的象。 3 练练 ? 1:, 1 22 平面上怎样的曲线映射成 被平面上的曲线判断已知映射 w yxz z w 1. 函数的极限函数的极限 Azfzz AzfzzzfA Azfzz AzUzzfw zz )(

28、 )(lim)( ,)(,0, , 0),(),( 0 0 0 )0 0 0 时时，或或当当 时时的的极极限限，记记作作当当为为则则称称 有有时时当当）（ ，若若存存在在数数设设 （ 定义定义 u v (w) o A x y (z) o 0 z )(zfw 几何意义几何意义: 当变点当变点z一旦进一旦进 入入z0 的充分小去的充分小去 心邻域时心邻域时,它的象它的象 点点f(z)就落入就落入A的的 一个预先给定的一个预先给定的 邻域中邻域中 1.6 复变函数的极限和连续性 A (1)(1) 意义中意义中 的方式是任意的的方式是任意的. . 与一元实变函数相比较要求更高与一元实变函数相比较要求更

29、高. . 0 zz (2) A是复数是复数. . 2. 运算性运算性 质质 复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 000 ),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf 设设 定理定理1 (3) 若若f(z)在在 处有极限处有极限,其极限其极限是唯一的是唯一的. . 0 z 0 ),(),( 0 ),(),( 00 ),(lim ),(lim )(lim 00 00 0 vyxv uyxu ivuAzf yxyx yxyx zz 则则 B A zg zg zf zg zf ABzgzfzgzf BAzgzfzgzf BzgAzf zz zz zz zz zzzzzz zzzzzz zzzz )0)(lim( )(lim )(lim )( )( lim )(lim)(lim)()(lim )(lim)(lim)()(lim ,)(lim)(lim 0 0 0 0 000 000 00 则则若若 定理定理2 A 以上定