点线面的投影PPT学习教案

1、会计学1点线面的投影点线面的投影4.1 点的投影 点的单面投影 .1. 点的三面投影及其特性 .1. 特殊点的三面投影 .1. 两点的相对位置 .1. 重影点的可见性判别第1页/共132页PaA点的单面投影 若点的位置确若点的位置确定，点的投影是确定，点的投影是确定的。定的。第2页/共132页Pa(b)B 若点的一个投若点的一个投影确定，点的位置影确定，点的位置是不确定的。是不确定的。A点的单面投影第3页/共132页4.1.1 点的三面投影及其特性VWHXZYOAa aa aXaYaZ 空间点空间点AH面投影面投影aV面投影面投影a W面投影面投影a 第4页/共132页4.1.1 点的三面投影

2、及其特性XZYWOYHHWVa HaWa 移去空间点移去空间点 uV V面不动面不动H H面连同水平投影绕面连同水平投影绕X X轴向下旋转轴向下旋转W W面连同侧面投影绕面连同侧面投影绕Z Z轴向右旋转轴向右旋转VWHXZYOAa aa axayaz第5页/共132页4.1.1 点的三面投影及其特性VWHXZYOAa aa aXaYaZVWHXZYWYHOa aa aXaZaYHaYW点的投影连线垂直于相应的投影轴点的投影连线垂直于相应的投影轴点的点的H面投影与面投影与V面投影的连线垂直于面投影的连线垂直于OX轴轴a a OX 点的点的V面投影与面投影与W面投影的连线垂直于面投影的连线垂直于O

3、Z轴轴a a OZ第6页/共132页4.1.1 点的三面投影及其特性VWHXZYOAa aa aXaYaZXZYWYHOa aa aXaZaYHaYW某一投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离某一投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离a aZ = a aYH =Aa , ,点到点到W面的距离面的距离X坐标坐标aaX = a aZ =Aa , ,点到点到V面的距离面的距离Y坐标坐标a aX = a aYW=Aa , ,点到点到H面的距离面的距离Z坐标坐标第7页/共132页【例例4-1】已知已知A点的点的H面投影面投影a和和V面投影面投影a ，求，求A点的点的W面投影面投影a 。XZY

4、WYHOa aa 第8页/共132页YWbXZbbOYHZXYO4.1.2特殊点的三面投影WVaBHAaabbbCcccaaaccc投影面上的点投影面上的点 在该投影面上的投影与空间点自身重合，在该投影面上的投影与空间点自身重合， 另外两个面上投影在相应的坐标轴上。另外两个面上投影在相应的坐标轴上。第9页/共132页YXHVWO4.1.2特殊点的三面投影feddDeEfFdefZ投影轴上的点投影轴上的点 在与该投影轴相关的两个投影面上的投影与空间点自身重合在与该投影轴相关的两个投影面上的投影与空间点自身重合， 另一投影面上的投影与坐标原点重合。另一投影面上的投影与坐标原点重合。dddXOZYH

5、YWfffeee第10页/共132页4.1.3 两点的相对位置AOVWHZYXB 根据两点的坐标差，可以确定两点的相对位置根据两点的坐标差，可以确定两点的相对位置两点的左右关系，两点的左右关系，X X坐标大在左，小的在右；坐标大在左，小的在右；两点的前后关系，两点的前后关系，Y Y坐标大在前，小的在后；坐标大在前，小的在后；两点的上下关系，两点的上下关系，Z Z坐标大在上，小的在下。坐标大在上，小的在下。 bb b a aa YWXZYHOa aa bb b 第11页/共132页4.1.4 重影点的可见性判别b( ) 当空间两点位于同一条投射线上时，则该两点在对应的当空间两点位于同一条投射线上

6、时，则该两点在对应的投影面上的投影重合为一点，这两点称为对此投影面的投影面上的投影重合为一点，这两点称为对此投影面的重影重影点点。OVWHZYXBb b Aa a a第12页/共132页4.1.4 重影点的可见性判别b( )OVWHZYXBb b Aa a aYWXZYHOa aa b b b( )不可见的投影字母加括号（不可见的投影字母加括号（ ）表示）表示 判断的基本原则判断的基本原则看第三坐标，大者可见看第三坐标，大者可见第13页/共132页4.1.4 重影点的可见性判别Xb( c )OVWHZYXBCb c cb YWZYHOb b c cb( c )前遮前遮后后上遮上遮下下左遮左遮右

7、右第14页/共132页4.2 直线的投影 直线的倾角和分类 .2. 投影面垂直线 .2. 投影面平行线 .2. 一般位置直线 .2. 直线上的点第15页/共132页直线的倾角OVWHZYXA倾角倾角: :空间直线对投影面的夹空间直线对投影面的夹角角 对对 H H 面的倾角面的倾角 对对 V V 面的倾角面的倾角 对对 W W 面的倾角面的倾角 BOYWXZYHb bb aa a a a ab bb 第16页/共132页直线的分类直线直线一般位置直线一般位置直线特殊位置直线特殊位置直线投影面垂直线投影面垂直线投影面平行线投影面平行线第17页/共132页4.2.1 投影面垂直线u 铅垂线铅垂线H，

8、/V、Wu 正垂线正垂线V，/H、W u 侧垂线侧垂线W，/H、V 垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面 第18页/共132页4.2.1 投影面垂直线铅垂线铅垂线TLTLa(b)OYWXZYHa a b b a(b)b OVWHZYXBAb a a a(b)投影特性投影特性 H H 积聚为一点积聚为一点V V、W W 反映实长，反映实长，/OZOZ倾角倾角90900 0第19页/共132页4.2.1 投影面垂直线正垂线正垂线d OVWHZYXDCc (d )c dcTLTLOYWXZYHc d cdc (d )投影特性投影特性 V V 积聚为一点积聚为一

9、点H H、W W 反映实长，反映实长，/OYOY倾角倾角90900 0第20页/共132页4.2.1 投影面垂直线侧垂线侧垂线OVWHZYXFEe e (f )fef TLTLOYWXZYHefe f e (f )投影特性投影特性 W W 积聚为一点积聚为一点V V、H H 反映实长，反映实长，/OXOX倾角倾角90900 0第21页/共132页4.2.1 投影面垂直线侧垂线侧垂线OVWHZYXFEe e (f )fef TLTLOYWXZYHefe f e (f )投影面垂直线的投影特性：投影面垂直线的投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚为一点在所垂直的投影面上的投影积聚为一点在另外两个投

10、影面上的投影平行于相关的在另外两个投影面上的投影平行于相关的投影轴，并反映直线实长投影轴，并反映直线实长TLTL第22页/共132页4.2.2 投影面平行线u 水平线水平线/H，V、Wu 正平线正平线/V，H、W u 侧平线侧平线/W，H、V 平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面 第23页/共132页4.2.2 投影面平行线水平线水平线 TL OVWHZYXBAb b ba aa OYWXZYHa aa bb b 投影特性投影特性 H H 反映实长反映实长, ,反映反映、倾倾角角V V、W W 长度小于实长长度小于实长, ,OZOZ第24页/共132页4

11、.2.2 投影面平行线正平线正平线OVWHZYXc c cd dd 投影特性投影特性 V V 反映实长反映实长, ,反映反映、倾角倾角H H、W W 长度小于实长长度小于实长, ,OYOYOYWXZYHd dd cc c TL第25页/共132页4.2.2 投影面平行线侧平线侧平线OVWHZYXFEf f e OYWXZYHe ee ff f TL 投影特性投影特性 W W 反映实长反映实长, ,反映反映、倾角倾角V V、H H 长度小于实长长度小于实长, ,OXOX第26页/共132页投影面平行线的投影特性：投影面平行线的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实长，在所平行的投影面上的投影反

12、映实长，反映直线与另两个相关的投影面的倾角反映直线与另两个相关的投影面的倾角另外两个投影垂直于相关的投影轴，投另外两个投影垂直于相关的投影轴，投影长度小于实长影长度小于实长4.2.2 投影面平行线侧平线侧平线OVWHZYXFEf f e OYWXZYHe ee ff f TL 第27页/共132页4.2.3 一般位置直线与三个投影面均倾斜与三个投影面均倾斜OYWXZYHa aa bb b OVWHZYXBAb b ba aa 第28页/共132页4.2.3 一般位置直线OYWXZYHb bb aa a OVWHZYXABa a ab bb 投影特性：投影特性：三个投影均倾斜于投影轴三个投影均倾

13、斜于投影轴投影长度小于实长投影长度小于实长第29页/共132页bab a ZZTLZBAbab a A1TLOVHZYXOX4.2.3 一般位置直线直角三角形法求实长和直角三角形法求实长和第30页/共132页4.2.3 一般位置直线直角三角形法求实长和直角三角形法求实长和BAbaa B1YTLOVHZYXb bab a YYTLOX第31页/共132页2005-10-2aXa bAOBb0bb0bb0b b 第32页/共132页OVHXaABa b bZY4.2.4 直线上的点Cc cc W从属性从属性 若点在直线上，若点在直线上，则点的投影必在该直则点的投影必在该直线的同面投影上。线的同面投

14、影上。YWOXZYHb bb aa a a b c cc 定比性定比性 若点将直线分为两段，则两段的实长若点将直线分为两段，则两段的实长之比等于其投影长度之比。之比等于其投影长度之比。AC:CB = ac:cb = a c : c b = a c : c b 第33页/共132页【例例4-2】已知直线段已知直线段AB的两面投影的两面投影ab和和a b ， 在直线在直线AB上求作一点上求作一点K,使使AK:KB=2:3。kkXbaOab12345第34页/共132页【例例4-3】已知侧平线已知侧平线AB和和M、N两点的两点的H面和面和V面投影，面投影， 判断判断M点和点和N点是否在点是否在AB上

15、上。b a a b abm mm 从属性从属性n nn OXYWZYH第35页/共132页【例例4-3】已知侧平线已知侧平线AB和和M、N两点的两点的H面和面和V面投影，面投影， 判断判断M点和点和N点是否在点是否在AB上上。b a abm m定比性定比性n nOX312第36页/共132页4.3 两直线的相对位置 .3. 两直线平行 .3. 两直线相交 .3. 两直线交叉 .3. 两直线垂直第37页/共132页4.3.1 两直线平行WacZVCaOAdDbcdbYcbBdaHXZcdbadbccdabXYWaOYH投影特性投影特性两直线的同面投影相互平行；两直线的同面投影相互平行；两直线的长

16、度之比和同面的投影长度之比相等。两直线的长度之比和同面的投影长度之比相等。第38页/共132页4.3.1 两直线平行WacZVCaOAdDbcdbYcbBdaHXZcdbadbccdabXYWaOYH已知已知AB/CD，则则ab/cd , a b / c d , a b / c d AB:CD = ab:cd = a b : c d = a b : c d 第39页/共132页4.3.1 两直线平行判断两直线是否平行判断两直线是否平行对于两一般位置直线，若有两个同面投影均互相平行对于两一般位置直线，若有两个同面投影均互相平行，则空间两直线平行；，则空间两直线平行；对于平行于同一投影面的两直线，

17、若两个同面投影均对于平行于同一投影面的两直线，若两个同面投影均互相平行，并且其中一投影反映直线实长，则两直线平互相平行，并且其中一投影反映直线实长，则两直线平行。行。b a abdc d cXObcb da c a OXd 第40页/共132页b a c d abd c dca b 【例例4-4】（a）已知两侧平线）已知两侧平线AB和和CD,判断判断AB和和CD是否平行是否平行。【解一解一】作出第三投影作出第三投影【解二解二】字母顺序一样字母顺序一样,投影长度成比例投影长度成比例ZXYWOYH第41页/共132页f e g h efh g ghe f 【例例4-4】（b）已知两侧平线）已知两侧

18、平线EF和和GH,判断判断EF和和GH是否平行是否平行。ZXYWOYH【解一解一】作出第三投影作出第三投影【解二解二】 EF和和GH的的V、H投投影字母顺序不一样，影字母顺序不一样，EF和和GH的指向不一的指向不一致致第42页/共132页4.3.2 两直线相交空间两直线相交空间两直线相交 三个同面投影均相交，三个同面投影均相交， 并且交点符合点的投影特性并且交点符合点的投影特性。XdbcacbadabdckkkYWYHOZVHAZYBDCdacbWcdbadcabkkkKOX第43页/共132页c d d c dcb a baa b k kk ZXYWOYH【例例】已知两直线已知两直线AB和和

19、CD,判断判断AB和和CD是否相交是否相交。【解一解一】作出第三投影作出第三投影【解二解二】a k : k b ak: kb第44页/共132页4.3.3 两直线交叉两直线既不平行又不相交，称为交叉二直线两直线既不平行又不相交，称为交叉二直线VHDBCAdd cc a abb OXYZb a bacdc d XO第45页/共132页4.3.3 两直线交叉n 可能存在一个或两个同面投影相互平行，但可能存在一个或两个同面投影相互平行，但不存在三个同面投影都平行。不存在三个同面投影都平行。 和平行的区别和平行的区别n 可能有一个、两个或三个同面投影相交，但可能有一个、两个或三个同面投影相交，但交点不

20、符合点的投影特性。交点不符合点的投影特性。 和相交的区别和相交的区别两直线交叉的投影特性：第46页/共132页4.3.3 两直线交叉VH3 4 ( )DBCAdd cc a abb 1 2341 2 ( )d c dcaba b 3 4 341 2 1 2( )( )OXYZ判断重影点的可见性判断重影点的可见性第47页/共132页4.3.4 两直线垂直直角投影定理：直角投影定理： 若空间两直线若空间两直线垂直，且有一条垂直，且有一条平行于平行于某某一投影面，一投影面，那么在那么在该该投影面上的投影仍然反映直角。投影面上的投影仍然反映直角。 AB BC AB Bb AB 平面平面 BbcC有有

21、AB bc又又 AB ab故故 ab bcHACBacb第48页/共132页4.3.4 两直线垂直直角投影定理的逆定理：直角投影定理的逆定理： 若相交两直线的同面投影反映直角，且有一条直线平若相交两直线的同面投影反映直角，且有一条直线平行于行于该该投影面，则两直线必垂直。投影面，则两直线必垂直。HACBacb cO a b c a b X第49页/共132页【例例4-5】已知直线已知直线AB和点和点C的两面投影的两面投影, ,求求C点到点到AB的距离。的距离。XOaabbccdd距离距离第50页/共132页【例例4-6】求交叉直线求交叉直线AB和和CD的距离的距离MN实长及其投影。实长及其投影

22、。XOababccddnnmm距离距离第51页/共132页 解：解： 按对边平行关系画全abdc; 按邻边垂直关系画出ac;按对边平行关系画全abdc。单击开始自动演播已知 作图第52页/共132页2005-10-2例例 作三角形作三角形ABC， ABC为直角，使为直角，使BC在在MN上，且上，且BC AB=2 3。bbcABab|yA-yB|bc=BCcnmaaXmnO第53页/共132页4.4 平面的投影 .4. 平面的表示法 .4. 各种位置平面 .4. 平面内的点和直线第54页/共132页4.4.1 平面的表示法用几何元素表示平面有五种形式：用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的

23、三个点；不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；一直线和直线外一点；相交两直线；相交两直线；平行两直线；平行两直线；任意平面图形。任意平面图形。cab ba c a b bc aca b bc acb ba c ac几何元素表示法a b c abcd d第55页/共132页4.4.1 平面的表示法迹线表示法迹线：迹线：平面和投影面的交线。平面和投影面的交线。VWHZYOXPPWPHPVXZYWYHOPWPVPH第56页/共132页4.4.1 平面的表示法迹线表示法迹线：迹线：平面和投影面的交线。平面和投影面的交线。VWHZYOXQWQHQVXZYWYHOQQVQWQH第57页/共132页4.

24、4.2 各种位置平面平面平面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面投影面垂直面投影面垂直面投影面平行面投影面平行面第58页/共132页4.4.2 各种位置平面u 水平面水平面/H，V、Wu 正平面正平面/V， H、W u 侧平面侧平面/W， H、V 平行于某一投影面，并与另两个投影面垂直平行于某一投影面，并与另两个投影面垂直 投影面平行面第59页/共132页投影特性投影特性 H 反映实形反映实形V、W 积聚成一直线，积聚成一直线，OZ倾角倾角0 090904.4.2 各种位置平面投影面平行面水平面VWHZYOXp p pPXZYWYHOp p p（TS）第60页/共132页投影特性投

25、影特性 V 反映实形反映实形H、W 积聚成一直线，积聚成一直线，OY倾角倾角0904.4.2 各种位置平面投影面平行面正平面VWHZYOXqQq q XZYWYHOqq q （TS）第61页/共132页投影特性投影特性 W 反映实形反映实形H、V 积聚成一直线，积聚成一直线，OX倾角倾角0904.4.2 各种位置平面投影面平行面侧平面VWHZYOXrr XZYWYHOrr r （TS）r R第62页/共132页4.4.2 各种位置平面投影面平行面侧平面VWHZYOXrr XZYWYHOrr r （TS）r R投影面平行面的投影特性：投影面平行面的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实形在所平

26、行的投影面上的投影反映实形在另外两个投影面上积聚成直线，且垂在另外两个投影面上积聚成直线，且垂直于相关的投影轴直于相关的投影轴第63页/共132页4.4.2 各种位置平面u 铅垂面铅垂面H，V、Wu 正垂面正垂面V，H、W u 侧垂面侧垂面W，H、V 垂直于某一投影面，并倾斜于另外两个投影面垂直于某一投影面，并倾斜于另外两个投影面投影面垂直面第64页/共132页p p 投影特性投影特性 H积聚成一直线，积聚成一直线，反映反映、倾角倾角V、W反映类似形反映类似形4.4.2 各种位置平面投影面垂直面铅垂面VWHZYOX XZYWYHOpp c p PpP第65页/共132页4.4.2 各种位置平面

27、投影面垂直面正垂面投影特性投影特性 V积聚成一直线，积聚成一直线，反映反映、倾角倾角H、W反映类似形反映类似形 VWHZYX q XZYWYHOqq q OQqq 第66页/共132页rr 4.4.2 各种位置平面投影面垂直面侧垂面投影特性投影特性 W积聚成一直线，积聚成一直线，反映反映、倾角倾角H、V反映类似形反映类似形VWHZYOXRXZYWYHOrr r r 第67页/共132页rr 4.4.2 各种位置平面投影面垂直面侧垂面VWHZYOXRXZYWYHOrr r r 投影面垂直面的投影特性：投影面垂直面的投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，该直线在所垂直的投影面上的投影积聚成

28、直线，该直线与投影轴的夹角反映平面与相关的投影面的倾角与投影轴的夹角反映平面与相关的投影面的倾角在另两个投影面上的投影是类似图形在另两个投影面上的投影是类似图形第68页/共132页4.4.2 各种位置平面一般位置平面VWHZYOX一般位置平面一般位置平面 对三个投影面都倾斜的平面对三个投影面都倾斜的平面b a aca c b bc XZYWYHObb b aca c a c ABC第69页/共132页4.4.2 各种位置平面一般位置平面VWHZYOXb a aca c b bc XZYWYHObb b aca c a c ABC一般位置平面的投影特性：一般位置平面的投影特性：三个投影均与平面是

29、类似图形，且面积小于实形面积三个投影均与平面是类似图形，且面积小于实形面积不反映平面对投影面的倾角不反映平面对投影面的倾角第70页/共132页平面内的点平面内的点点在平面内的某一条直线上点在平面内的某一条直线上平面内的直线平面内的直线u通过平面内两个点通过平面内两个点u过平面内一点，且平行于平面内的某一条直线过平面内一点，且平行于平面内的某一条直线4.4.3 平面内的点和直线AbcHaCBMNmnAbcHaCBMmEe存在条件存在条件第71页/共132页【例例4-7】判断点判断点D是否在平面是否在平面ABC内内。XcabbacOeedd第72页/共132页2005-10-2已知已知 ABC A

30、BC 给定一平面，（给定一平面，（1 1）判断点）判断点K K是否属于该平面。是否属于该平面。（2 2）已知平面上一点）已知平面上一点E E的正面投影的正面投影e e作出水平投影。作出水平投影。k kabcabcddee11XO第73页/共132页2005-10-2已知点已知点E E 在在 ABCABC平面上，且点平面上，且点E E距离距离H H面面1515，距离，距离V V 面面1010，试求点，试求点E E的投影。的投影。Xabcbacmnmnrsrs1015ee第74页/共132页4.4.3 平面内的点和直线VWHZYOXPPWPHPVCD正平线正平线AB水平线水平线EF侧平线侧平线平面

31、内的投影面平行线平面内的投影面平行线平面上的水平线平面上的水平线（ H ）平面上的正平线平面上的正平线（ V ）平面上的侧平线平面上的侧平线（ W）第75页/共132页【例例】过过A、B、C分别作平面分别作平面ABC内的水平线、正平线和侧平线。内的水平线、正平线和侧平线。a b cabd dXOc 第76页/共132页【例例】过过A、B、C分别作平面分别作平面ABC内的水平线、正平线和侧平线。内的水平线、正平线和侧平线。a b cabe eXOc 第77页/共132页【例例】过过A、B、C分别作平面分别作平面ABC内的水平线、正平线和侧平线。内的水平线、正平线和侧平线。a b cabf fXO

32、c 第78页/共132页2005-10-2 (1)平面平面对投影面的最大斜度线必定垂直于平面上对该投影对投影面的最大斜度线必定垂直于平面上对该投影面的平行线；最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直于平面面的平行线；最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直于平面上该投影面平行线的同面投影。上该投影面平行线的同面投影。 (2) 最大斜度线对投影面的角度最大。最大斜度线的几何意最大斜度线对投影面的角度最大。最大斜度线的几何意义义: :用来测定平面对投影面的角度用来测定平面对投影面的角度HPCDaSAE第79页/共132页2005-10-2求求 ABC平面与水平投影面的夹角平面与水平投影面的夹角 。be B

33、Eddeeabcabc第80页/共132页4.5 换面法 .5. 基本概念 .5. 六个基本问题第81页/共132页 换面法指空间几何元素位置不变，对投影面进行更换，换面法指空间几何元素位置不变，对投影面进行更换，使空间几何元素对更换的新投影面处于有利于解题的特殊位置。使空间几何元素对更换的新投影面处于有利于解题的特殊位置。4.5.1 基本概念一般位置直线变换为投影面平行线一般位置直线变换为投影面平行线投影面垂直面变换为投影面平行面投影面垂直面变换为投影面平行面第82页/共132页4.5.1 基本概念一般位置直线变换为投影面平行线一般位置直线变换为投影面平行线投影面垂直面变换为投影面平行面投影

34、面垂直面变换为投影面平行面进行投影变换时，新投影面的位置必须符合下列两个条件：进行投影变换时，新投影面的位置必须符合下列两个条件：新投影面必须垂直于一个原有投影面，即新的投影体系仍是直角投影体系新投影面必须垂直于一个原有投影面，即新的投影体系仍是直角投影体系新投影面必须和空间几何元素处于便于解题的特殊位置新投影面必须和空间几何元素处于便于解题的特殊位置第83页/共132页4.5.1 基本概念点的一次变换点的一次变换a aa1aX1a1a X1XVHVH1VHAaaXX1H1新的投影连线垂直于新的投影轴，新的投影连线垂直于新的投影轴，a1a O1X1新投影到新投影轴的距离，等于被替换的旧投新投影

35、到新投影轴的距离，等于被替换的旧投影到旧投影轴的距离，影到旧投影轴的距离，a1aX1=aaX不变旧新旧投影面旧投影面新投影新投影面面不变投影不变投影面面【例例4-8】已知点已知点A的两个投影的两个投影a和和a ，旧投影轴，旧投影轴OX和新投影轴和新投影轴O1X1, 求点求点A的新投影的新投影a1 。O1O1OX第84页/共132页XH2AHa Vaa1 X1ax1axX2a2V1ax2OO1O24.5.1 基本概念点的二次变换点的二次变换XVHX1HV1V1H2X2a aa1 a2旧旧不变不变新新旧旧不变不变新新旧投影旧投影面面新投影新投影面面不变投影不变投影面面不变投影不变投影面面新投影新投

36、影面面旧投影旧投影面面每次只能变换一个投影面，而且每次只能变换一个投影面，而且新投新投影面影面和和不变投影面不变投影面构成直角投影体系构成直角投影体系多次换面时，多次换面时，V和和H应交替更换应交替更换OO1O2第85页/共132页4.5.2 六个基本问题1）一般位置直线变换成投影面平行线）一般位置直线变换成投影面平行线b1 a1 a b abX1X实长实长一般位置线一般位置线换换V面面“正平线正平线 ”（实长实长，）一一般位置线般位置线换换H面面“水平线水平线 ”（实长实长，）OO1VHHV1第86页/共132页4.5.2 六个基本问题2）投影面平行线变换成投影面垂直线）投影面平行线变换成投

37、影面垂直线XVX1aa Hbb ABa1(b1)a b aba1(b1)XX1水平线水平线“正垂线正垂线”换换V面面正平正平线线“铅垂线铅垂线”换换H面面H1OO1VHVH1OO1第87页/共132页4.5.2 六个基本问题3）一般位置直线变换成投影面垂直线）一般位置直线变换成投影面垂直线a1 a2 b2AH2Ha VaX1XX2V1Bbb1 b XVHHV1V1H2X2X1b bb1 b2(a2)a aa1 OOO1O2O1O2第88页/共132页4.5.2 六个基本问题3）一般位置直线变换成投影面垂直线）一般位置直线变换成投影面垂直线XVHHV1V1H2X2X1b bb1 b2(a2)a

38、aa1 OO1O2一般位置线一般位置线“正平线正平线”（实长实长，）换换V面面换换H面面“铅垂线铅垂线”一般位置线一般位置线“水平线水平线”（实长实长，）换换H面面换换V面面“正垂线正垂线”第89页/共132页2005-10-2X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c1112121babdcaXVHdc211222 例例 求两直线求两直线AB与与CD的公垂线的公垂线 。 H2第90页/共132页4.5.2 六个基本问题4）一般位置平面变换成投影面垂直面）一般位置平面变换成投影面垂直面a ab e becc XX1b1 c1 一般位置面一般位置面取水平线取水平线“正垂面正垂面”（）换

39、换V面面一般位置面一般位置面“铅垂面铅垂面”（）取正平线取正平线换换H面面OVHa1 (e1 )O1HV1第91页/共132页2005-10-2a c b bac enken ddX1VH1b1a1c1d1k1ke1 例例 已知已知E到平面到平面ABC的距离为的距离为N，求，求E点的正面投影点的正面投影e 。第92页/共132页4.5.2 六个基本问题5）投影面垂直面变换成投影面平行面）投影面垂直面变换成投影面平行面b1 a1 XX1a ab bcc c1 TSTS正垂面正垂面“水平面水平面”（实形实形）换换H面面铅垂面铅垂面“正平面正平面”（实形实形）换换V面面OVHO1HV1第93页/共1

40、32页4.5.2 六个基本问题6）一般位置平面变换成投影面平行面）一般位置平面变换成投影面平行面Xa a1 a2b bb1 c1 c2b2c cTSTSa一般位置面一般位置面“正垂面正垂面”（）取水平线取水平线换换V面面“水平面水平面”（实形实形）换换H面面X1X2 OO1VHHV1O2V1H2一般位置面一般位置面“铅垂面铅垂面”（）取正平线取正平线换换H面面“正平面正平面”（实形实形）换换V面面第94页/共132页2005-10-2 例 已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。a cXVHbbac d db1 a1c1d1X1H1Va2c2b2d2X2V2H11515eee1

41、e2第95页/共132页4.6 直线与平面、平面与平面的相对位置 .6. 平行问题 .6. 相交问题 .6. 垂直问题第96页/共132页4.6.1 平行问题直线和平面平行 若平面外一直线平行于平面内任一直线若平面外一直线平行于平面内任一直线，则该直线和平面互相平行。，则该直线和平面互相平行。PCDAB第97页/共132页【例例4-9】已知已知ABC和和M点，作过点，作过M点的水平线点的水平线MN/ ABC。n nm mabcda b c d XO第98页/共132页【例例4-10】判断直线判断直线MN与平面与平面ABCD是否平行。是否平行。efefOnmXmadbccdabn第99页/共13

42、2页2005-10-2解：正平线abcmmabc ABC为正为正垂面，垂面，直线直线MN的正面投影的正面投影mn必定平行于必定平行于abc。又。又MN为正平线，为正平线，mn平行于平行于OX轴。轴。nn有唯一解有多少解？第100页/共132页4.6.1 平行问题直线和平面平行ObbXappa 当平面的某一投当平面的某一投影具有积聚性时，则影具有积聚性时，则该投影可反映平面和该投影可反映平面和直线的平行关系。直线的平行关系。第101页/共132页4.6.1 平行问题平面和平面平行 若两平面内分别有一对若两平面内分别有一对相交相交直线直线对应对应平行，平行，则两平面互相平行。则两平面互相平行。BC

43、APQEDF第102页/共132页【例例4-11】已知已知ABC和和M点点，过过M点作平面平行于点作平面平行于ABC 。abca b c mm e ef fXO第103页/共132页【例例4-12】判断判断ABC和平面和平面DEFG是否平行。是否平行。XOcbaabcdgffedemnnmg第104页/共132页2005-10-2em n mnf e fsr s rd dc a acb bk kXO第105页/共132页4.6.1 平行问题平面和平面平行pqqpXO 当两平面均垂直当两平面均垂直于某投影面时，它们于某投影面时，它们有积聚性的投影可直有积聚性的投影可直接反映平行关系。接反映平行关

44、系。第106页/共132页4.6.2 相交问题PABKABCMN交交 点点 直线和平面的直线和平面的共有点共有点交交 线线 两平面的两平面的共有线共有线（两个共有点）（两个共有点）P直线和平面相交直线和平面相交平面和平面相交平面和平面相交第107页/共132页4.6.2 相交问题直线和平面相交（1 1）一般位置直线和特殊位置平面相交）一般位置直线和特殊位置平面相交 若平面处于特殊位置，其某若平面处于特殊位置，其某一投影具有积聚性，则直线与平一投影具有积聚性，则直线与平面的交点可利用直线与平面的积面的交点可利用直线与平面的积聚性投影相交而直接求得。聚性投影相交而直接求得。ABKPHabk第108

45、页/共132页abpa b p kk 【例例4-13】一般位置直线一般位置直线AB与铅垂面与铅垂面P相交，求作交点相交，求作交点K。直观判别法可见性判别可见性判别OX第109页/共132页4.6.2 相交问题直线和平面相交（2 2）投影面垂直线和一般位置平面相交）投影面垂直线和一般位置平面相交 直线与平面相交，当直线直线与平面相交，当直线的投影有积聚性时，交点的一的投影有积聚性时，交点的一个投影已知，另一投影用个投影已知，另一投影用面上面上取点取点的方法求出。的方法求出。Kkdm(n)bABHaCcDMN第110页/共132页m(n)bacdm a b c n d kk 121 2 ( )ee

46、 【例例4-14】铅垂线铅垂线MN与平面与平面ABCD相交，求作交点相交，求作交点K。可见性判别可见性判别重影点判别法XO第111页/共132页4.6.2 相交问题直线和平面相交（3 3）一般位置直线和一般位置平面相交）一般位置直线和一般位置平面相交HMNPACBEFK辅助平面法辅助平面法包含一般位置直线作一辅助平面，包含一般位置直线作一辅助平面，通常作投影面的垂直面通常作投影面的垂直面作辅助平面和一般位置平面的交线作辅助平面和一般位置平面的交线求作此交线和一般位置直线的交点求作此交线和一般位置直线的交点第112页/共132页k【例例4-15】一般位置直线一般位置直线MN和一般位置平面和一般位

47、置平面ABC相交，相交，求交点求交点K，并判别可见性。，并判别可见性。12eff e nmHMNPABCEFKcam n c a b bPHk 1 2 ( )3 3 4( )4 【解一解一】【解二解二】换面法换面法将将ABC变换成投影面垂直面变换成投影面垂直面OX第113页/共132页4.6.2 相交问题平面和平面相交（1 1）两特殊位置平面相交）两特殊位置平面相交 两平面相交，且均垂直于某一投影面，其交线必垂直两平面相交，且均垂直于某一投影面，其交线必垂直于该投影面。则两平面的交线可利用平面的积聚性投影求于该投影面。则两平面的交线可利用平面的积聚性投影求得。得。第114页/共132页【例例4-16】铅垂面铅垂面P和和Q相交，求作交线相交，求作交线KL，并判别可见性，并判别可见性。OXpp qq klk l 第115页/共132页4.6.2 相交问题平面和平面相交（2 2）一般位置平面与特殊位置平面相交）一般位置平面与特殊位置平面相交bABPHaCcMNmn 两平面的交线可利用特殊两平面的交线可利用特殊位置平面的积聚性投影求得。位置平面的积聚性投影求得。第116页/共132页【例例4-17】求一般位置平面求一般位置平面ABC与与铅垂面铅垂面Q的交线的交线K