理学概率统计随机向量PPT学习教案

1、会计学1理学概率统计随机向量理学概率统计随机向量上一页下一页返回从几何图形上看,二维随机变量可看作是平面上的随机点(X,Y).它的分布函数F(x,y)表示随机点(X,Y)落入以(x,y)为顶点的无穷矩形区域的概率.二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)的性质:(1).单调性:F(x,y)是x的不减函数,同时也是y的不减函数.事实上,固定y,当12,xx时 有12,(,)Xx YyXx Yy12,F x yF xy即.xyO(, )X Y( , )x y12,(,)P Xx YyP Xx Yyy2x1xxyO2(, )xy1( , )x y第1页/共74页上一页下一页返回(2).有界性:0

2、,1F x y,lim,1xyFF x y ,lim,0 xyFF x y -,lim,0 xFyF x y,lim,0yF xF x y -(3).右连续性:,F x yxy对 或 都是右连续的 即0,F xyF x y,0,F x yF x yOyx( , )x y(,)X Y第2页/共74页上一页下一页返回(4).对任意的ab,cd,有,0F b dF a dF b cF a c事实上:,F b dF a dF b cF a c,P aXb cYd0注:一个二元函数F(x,y)若同时具有上述四条性质, 它必为某一二维随机变量的分布函数.xydcabo( , )a c( , )a d( ,

3、 )b c( , )b d第3页/共74页上一页下一页返回2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2, ，且(X,Y)取各对可能值的概率为 PX=xi，Y=yj=pij， i,j=1,2, (*)称(*)式为(X,Y)的(联合)概率分布或(联合)分布律， (X,Y)的分布律也可用表格形式表示第4页/共74页上一页下一页返回1y2ymy1x2xnx11p12p1mp21p22p2mp1np2npnmpXY第5页/共74页上一页下一页返回分布律的性质:(1

4、).非负性:0ijp (2).规范性:,1ijiji jijpp( , ),jiF x yP Xx Yypijxx yy , )X Y离离散散型型随随机机变变量量( (的的分分布布函函数数第6页/共74页上一页下一页返回例1 设二维离散型随机变量（X，Y）的分布律如下表： X 1 2 3 1 2 3 40.1 0.3 0 0 0 0.20.1 0.1 0 0 0.2 0Y求PX1,Y3及PX=1.解: PX1,Y3=PX=2,Y=3+PX=2,Y=4 +PX=3,Y=3+PX=3,Y=4 =0.3； PX=1=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3+PX=1,Y=4=0.2.第7

5、页/共74页上一页下一页返回例2.一整数X随机地在1,2,3三个整数中取一个值,另一个整数Y随机地在1X中取一个值,试求(X,Y)的分布律及P(X=Y).解:,.X Yi j的可能取值为1,2,3.1,.,iji1,1P XY 11|1P XP YX113132,1P XY 21|2P XP YX1 13 2162,2P XY3,1P XY1 13 3193,2P XY3,3P XY第8页/共74页上一页下一页返回,X Y 的分布律为:P XY1,12,2P XYP XY3,3P XY1118XY112233130016160191919第9页/共74页3 、二维连续型随机变量.,),(),(

6、简称为概率密度简称为概率密度联合概率密度函数联合概率密度函数的的称为称为非负二元函数非负二元函数YXyxf定义4：设(X,Y)为二维随机变量,(X,Y)的分布函数为F(x,y).若存在非负二元函数f(x,y),对于任意实数x,y，有( , )( , )yxF x yf u v dudv- ?=蝌(, ).X Y则称为二维连续型随机变量上一页下一页返回z=f(x,y)的图形称为分布曲面.第10页/共74页上一页下一页返回(1).联合密度函数f(x,y)的性质1)非负性:f(x,y)0,即分布曲面在xoy平面的上方.2)规范性:,1f x y dxdy (2).设G是平面上的一个区域,则,GPX

7、YGf x y dxdy几何意义:,PX YG,G表示以区域 为底分布,zf x y曲面为顶的.曲顶柱体的体积Gzyxo第11页/共74页上一页下一页返回2( , )F x yx y抖=f(x,y)；（3） 若f（x，y）在点（x，y）处连续，则有常用多维分布 设G是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)的概率密度为 其它其它0),(1),(GyxAyxf二维均匀分布则称(X,Y)在区域G上服从均匀分布.(, )( )X YU G记作第12页/共74页上一页下一页返回二维正态分布若(X,Y)的密度函数为:221122221122()2 ()()()xxyy 221211( ,

8、)exp2(1)21f x y 1212, 其中都是常数120,0,1且,X Y则称()服从参数为221212, 的二维正态分布.记作221212,(, )X YN ()第13页/共74页上一页下一页返回二维正态分布的分布曲面形状像个山岗,在点 处达到最高峰.12(,) xzy12(,)m mo第14页/共74页上一页下一页返回二维正态分布图第15页/共74页上一页下一页返回例3 .设（X，Y）在圆域x2+y24上服从均匀分布，求（1）（X，Y）的概率密度； （2） P0X1，0Y1. 解 （1）圆域x2+y24的面积A=4，故（X，Y）的概率 密度为f（x，y）=., 0, 4,4122其他

9、yx（2） G为不等式0 x1，0y1所确定的区域， 所以P0X1，0Y1=110011( , )d ddd.44Gf x yx yxy第16页/共74页上一页下一页返回例4 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为., 0, 0, 0,)32(其他yxkyxe (1) 确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数；f（x，y）=（3）求PX= 蝌其它 (3) PXY=( ,)d dxyfx yx y.52)1 (362300)32(yyxyyyyxdeedde0=第18页/共74页上一页下一页返回例5 设（X,Y）N（0,0,2,2,0）,求PXY.解 f（x，y）=2222221yx e（x，y+

10、），所以PXY=.2122222yxyxyxdde令x=rcos, y=rsin，PXY=.212122245402 dderrr则第19页/共74页4、n维随机变量 设E是一个随机试验,它的样本空间是= , 设随机变量 是定义在同一样本空间 上的n个随机变量，则称向量 为n维随机向量或n维随机变量.简记为 12( ),( ),( )nXXXwwwL12( ),( ),( )nXXXwwwL),(21nXXX 设 是n维随机变量，对于任意实数 ,称n元函数为n维随机变量 的联合分布函数。),(21nXXXnxxx,21,),.,(221121nnnxXxXxXPxxxF ),(21nXXX上一

11、页下一页返回第20页/共74页 X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数，分别记为FX(x), FY(y)。当已知(X,Y)的联合分布函数F(x,y)时，可通过),(),(lim,lim,)(yFyxFyYxXPyYXPyYPyFxxY 求得两个边缘分布函数.第二节 边缘分布 ),(),(limlim, xFyxFyx，YXPYxXPxXPxFyyX上一页下一页返回第21页/共74页例1:设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为上一页下一页返回( , )(arctan)(arctan)23yxF x yA BC=+(1), ,;(2);(3)02,032A B

12、 CXYPXYP X试确定的值求 和 的边缘分布函数求及:(1),解由分布函数的性质 知21,.22ABCppp=由此可解得(,)()()122FA BC (, )()(arctan)023yFyA BC( ,)(arctan)()022xF xA BC 第22页/共74页3arctan121)3arctan2(1),()(2arctan121)2arctan2(1),()()2(22yyyFyFxxxFxFYX 由由定定义义可可得得上一页下一页返回,X由 的边缘分布函数 得12121(2)4XP XP XF=-=-=(3) 02,03PXY(2,3)(2,0)(0,3)(0,0)FFFF=-

13、+933111688416=-+=第23页/共74页上一页下一页返回1、二维离散型随机变量的边缘分布设二维离散随机变量(X,Y)的分布律为:XY1x2xnx.1y2y.my.11p12p1mp21p22p2mp2npnmp1np.第24页/共74页上一页下一页返回X则 的分布律为：()iP Xx(,)iP Xx(,)ijjP Xx Yy(1,2,.)ijjp i此为概率分布表中第i行的概率之和Y的分布律为:)jP Yy（( ,)jPYy(),ijiPXxYy(,)ijiPXx Yy,)ijiP Xx Yy（(1,2,.)ijipj此为概率分布表中第j列的概率之和,()ijjP XxYy(,)i

14、jjPXx Yy第25页/共74页上一页下一页返回 X和自身的分布律分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律.XY1x2xnx.1y2y.my.11p12p1mp21p22p2mp2npnmp1np.1jjp2 jjpnjjp1 iip2iipimip.()jP Yy()iP Xx1第26页/共74页上一页下一页返回例2.袋内装2个白球3个黑球,采用放回摸球和不放回摸球两种方式.定义下列随机变量1,0,X第一次摸出白球第一次摸出黑球1,Y第二次摸出白球0,第二次摸出黑球求两种摸球方式下,(X,Y)的联合分布及边缘分布.解:(X,Y)的分布律及边际分布律如下表:XY11100()jP Yy()i

15、P Xx3 35 53 25 52 35 52 25 535252535XY0101()jP Yy()iP Xx3525135253 25 42 35 43 25 42 15 4放回摸球不放回摸球第27页/共74页上一页下一页返回该例说明:联合分布可唯一确定边缘分布,反之,边缘分布,一般不能确定联合分布.2、二维连续型随机变量的边缘分布 设(X,Y)为二维连续型随机向量，具有概率密度f(x,y)则( )() =()xXFx= F x,f x, y dy dx 从而知，X为连续型随机变量且概率密度为 dyyxfdxxdFxfXX),()()(同理，Y也是连续型随机变量，其概率密度为 dxyxfd

16、yydFyfYY),()()(第28页/共74页上一页下一页返回.),()(),(的的边边缘缘概概率率密密度度和和关关于于关关于于为为分分别别称称YXYXyfxfYX例3 设随机变量X和Y具有联合概率密度f（x，y）=., 0., 62其他xyx求边缘概率密度fX（x），fY（y）.fX（x）=., 0, 10),( 66),(22其他xxxxxdyyyxfd解 fY（y）=-dd., 0, 10),( 66),(其他yyyyyxxyxf第29页/共74页上一页下一页返回例4.212(, )X YN221设(, ),XY求 和 的边缘密度函数.解:( )( , )Xfxf x y dy2221

17、12()11exp2(1)21x 122121222 ()()()xyydy 22112,xyuv2令211212221exp22(1)uuvvdv第30页/共74页上一页下一页返回2222111expexp22(1)21uvudv211exp22u22221()exp212( 1)vudv211exp22u21211()1exp22x同理,22222()1( )exp22Yyfy第31页/共74页上一页下一页返回这说明221122(,),(,).XNYN 注:X与Y的边缘分布,一般不能确定联合分布.分布的两个边缘分布都是一维正态分布.即,二维正态第32页/共74页., 2 , 1,|, 0,

18、., 2 , 1,|, 0,),( 的条件分布律的条件分布律条件下条件下为在为在则称则称若若对于固定的对于固定的同样同样的条件分布律的条件分布律条件下随机变量条件下随机变量为在为在则称则称若若对于固定的对于固定的是二维离散型随机向量是二维离散型随机向量设设YxXjxXPyYxXPxXyYPxXPiXyYiyYPyYxXPyYxXPyYPjYXiijiijijjiijij 第三节 条件分布1.二维离散型随机变量的条件分布律定义1:上一页下一页返回第33页/共74页上一页下一页返回例1 已知（X,Y）的联合分布律如下表所示XY1/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0

19、0 1/12 2/161231 2 3 4求:（1） 在Y=1的条件下，X的条件分布律；（2） 在X=2的条件下，Y的条件分布律.第34页/共74页上一页下一页返回解 (1) 由联合分布律表可知边缘分布律.XY 1/4 1/4 1/4 1/4PX=xi25/4813/4810/481/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 2/16123PY=yj1 2 3 4于是第35页/共74页上一页下一页返回PX=1Y=1= =12/25；4825/41PX=2Y=1= =6/25；4825/81PX=3Y=1= =4/25；4825/121PX=4Y=1= =

20、3/25.4825/161第36页/共74页上一页下一页返回即，在Y=1的条件下X的条件分布律为 X 1 2 3 4 P 12/25 6/25 4/25 3/25(2) 同理可求得在X=2的条件下Y的条件分布律为 Y 1 2 3 P 1/2 1/2 0第37页/共74页上一页下一页返回例2： 一射手进行射击,每次射击击中目标的概率均为p(0p1)且假设各次击中目标与否相互独立,射击到击中目标两次为止.记X表示首次击中目标所需要的射击次数, Y表示总共进行的射击次数.试求(X,Y)的联合分布律和条件分布律.pqiijiqpjYiXPj 1, 2, 1, 2 , 1,22解: 由题意,X=i表示首

21、次击中目标射击了i次,Y=j表示第二次击中目标共射击了j 次,因而ij, X=i, Y=j表示第i次和第j次击中目标而其余j-2次均未击中目标.于是(X,Y)的联合分布律为：第38页/共74页上一页下一页返回, 3 , 2)1(, 2 , 12211221122 jqpjqpjYPipqqpiXPYXjjijijij的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为和关于和关于关于关于由这一联合分布律可得由这一联合分布律可得第39页/共74页上一页下一页返回jjjYjXp qP Xi Yjijjjp q22222,3,1|1,2,11(1) 对对于于固固定定的的 在在条条件件下下 的的条条件件分分布布律律为

22、为, 2, 1|, 2 , 11122iijpqpqqpiXjYPYiXiijij的条件分布律为下在条件对于固定的第40页/共74页上一页下一页返回2.二维连续型随机变量的条件分布定义2： 对固定的实数y，设对于任意给定的正数，Py-0,且若对于任意实数x，极限lim0yYyxXP,lim0yYyPyYyxXP存在，则称此极限为在Y=y的条件下X的条件分布函数，记作P 或记为 .yYxX )(yxFYX同样,在X=x条件下随机变量Y的条件分布函数为lim)(0 xXxyYPxyFXY第41页/共74页上一页下一页返回设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为f(x,y)。若在点(x,y)

23、处f(x,y)连续，边缘概率密度fY(y)连续，且fY(y)0，则有：)(),(2/)()(2/),(),(lim)()(),(),(lim,lim)(000yFdydyyxFyFyFyxFyxFyFyFyxFyxFyYyPyYyxXPyxFYYYYYYX 亦即 xYYxYXduyfyufyfduyufyxF)(),()(),()(第42页/共74页上一页下一页返回类似地在相应条件下可得在X=x条件下Y的条件分布密度为 )(),()(xfyxfxyfXXY )(),()(yfyxfyxfYYX 若记 为条件Y=y下X的条件分布密度，则由上式知：)(yxfYX第43页/共74页上一页下一页返回

24、其它其它011),(22yxyxf 且有边缘概率密度 其其它它01112121122yydxyy 当1y1时有： 其其它它01112112/1)(),()(2222yxyyyyfyxfyxfYYX 解： (X,Y)的概率密度为 dxyxfyfY),()(例3： 设随机变量(X,Y)在区域D=(x,y) x2+y21上服从均匀分布，求条件概率密度 。)(yxfYX第44页/共74页上一页下一页返回特别y=0和y= 时条件概率密度分别为21 其它其它01121)0(xyxfYX 其它其它0232331)21(xyxfYX类似于条件概率的乘法公式，也有 )()()()(),(yfyxfxfxyfyx

25、fYYXXXY 第45页/共74页上一页下一页返回例4 设(X,Y)N(0,0,1,1,),求fXY(xy)与fYX(yx).解 易知f(x,y)= （-x，y+）， )1(222222121yxyxefXY（xy）= 22()2(1)2( , )1e( )2(1)xyYf x yfyfYX（yx）= 22()2(1)2( , )1e( )2(1)yxXf x yfx第46页/共74页上一页下一页返回例5 设随机变量XU(0,1),当观察到X=x（0 x1）时,YU(x,1),求Y的概率密度fY（y）.解 按题意,X具有概率密度fX（x）= ., 010, 1其他x类似地,对于任意给定的值x(

26、0 x1)， 在X=x的条件下， Y的条件概率密度fYX（yx）= ., 0, 1,11其他yxx第47页/共74页上一页下一页返回因此,X和Y的联合概率密度为f(x,y)=fYX(yx)fX(x)= ., 0, 10,11其他yxx于是,得关于Y的边缘概率密度为fY(y)= ., 0, 10),1ln(11),(0其他yyyxxxyxfdd第48页/共74页上一页下一页返回定义:设X,Y是两个随机变量,若对任意的实数x,y,事件(Xx)与(Yy)相互独立,即P(Xx, Yy)=P (Xx) P(Yy) *则称X与Y相互独立.* 式即为:,XYx y， 与 相互独立对 实数因此，有( , )(

27、 )( )XYF x yFxFy( , )( )( )XYF x yFxFy第四节 随机变量的独立性第49页/共74页上一页下一页返回(1)XYX在离散场合， 与 相互独立对 的任一ijxYy可能取值 ， 的任一可能取值 ，都有(,)ijP Xx Yy()()ijP XxP Yy(2),XYx y在连续场合， 与 相互独立对 实数，( , )( )( )XYf x yfx fy有n类似地可定义 个随机变量的相互独立例1.一整数X随机地在1,2,3三个整数中取一个值,另一个整数Y随机地在1X中取一个值,求得(X,Y)的联合分布律及边际分布律如下表:第50页/共74页上一页下一页返回XY11223

28、31()jP Yy()iP Xx1/31/31/31/31/6 1/61/91/91/91/911/185/18000(1,1)1/3,P XY(1)1/3,P X (1)11/18P Y 显然(1,1)(1) (1)P XYP XP Y.XY与 不独立第51页/共74页上一页下一页返回例2 设（X，Y）在圆域x2+y21上服从均匀分布，问X和Y是否相互独立？解 （X，Y）的联合分布密度为f（x，y）=., 0, 1,122其他yx由此可得fX（x）=221,11,( , )0,.xxf x y dy 其他fY（y）=., 0, 11,12),(2其他yyxyxfd在圆域x2+y21上，f（x

29、，y）fX(x)fY(y),故X和Y不相互独立.第52页/共74页上一页下一页返回例3. 设X和Y分别表示两个元件的寿命（单位：小时），又设X与Y相互独立，且它们的概率密度分别为fX（x）=., 0, 0,其他xxe fY（y）=., 0, 0,其他yye求X和Y的联合概率密度f（x，y）.解 由X和Y相互独立可知f（x，y）=fX（x）fY（y） =., 0, 0, 0,)(其他yxyxe 于是 11( , )x yP XYf x y dxdy 2642. 02111010)( edyedxxyx第53页/共74页上一页下一页返回第五节 两个随机变量函数的分布 设(X,Y)是二维随机变量,则

30、Z=g(X,Y)是一维随机变量,本节问题:如何由(X,Y)的分布,求出Z=g(X,Y)的分布.1.二维离散随机变量函数的分布 Y 1 2 1 0 1/3 2 1/3 1/3例1 设（X,Y）的分布律为求 XY, XY ,XY及X/Y的分布.X第54页/共74页上一页下一页返回解：先列出下表P01/31/31/3(X,Y)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)X Y2334X Y0 110XY1224X/Y11/221于是X+Y的分布律为X+Y234P02/31/3第55页/共74页上一页下一页返回同理X-Y的分布律为X Y 101P1/31/31/3X/Y1/212P1/31/31/3XY及

31、X/Y的分布律分别为XY124P02/31/3第56页/共74页上一页下一页返回例2.12(),(),XPYPXY设且 与 独立.ZXY求的分布律解:依题意得:11()(0,1,2,.)!iP Xieii22()(0,1,2,.)!jP Yjejj0,1,2,.k 显然Z的可能取值为:Z的分布律为()P Zk()P XYk0(,)kiP Xi Yki0() ()kiP Xi P Yki第57页/共74页12120!()!ik ikieeiki12()120!()!kik iiekki ki 12()12()!kek12()12()!kek(0,1,2,.)k 12()ZP即:结论12(),()

32、,XPYPXY若且 与 独立12()XYP则12, ( , ), (, ),Xb n p Yb npXY同理 若且 与 独立12 (, ).XYb nnp则将“同一类分布的独立随机变量之和的分布仍为这类分布”的这种性质称为分布具有可加性.因此,泊松分布和二项分布都具有可加性.上一页下一页返回第58页/共74页设(X,Y)为二维连续型随机变量，具有概率密度f(x,y)，若Z=g(X,Y)为连续随机变量,求Z的概率密度),()(zYXgPzZPzFZ dxdyyxfzyxg),(),( 为求Z的概率密度，可先求出Z的分布函数2、二维连续型随机变量函数的分布上一页下一页返回( ).Zfz求解过程中，

33、关键在于将事件Zz等价地转化为用(X,Y)表示的事件g(X,Y) z=(X,Y) ,其中 。zD ),(),(zyxgyxDz 第59页/共74页即首先找出上式右端的积分区域Dz。如果求得了FZ(z) ,那么可通过 求出Z的概率密度 。dzzdFzfZZ)()( )(zfZ上一页下一页返回例3：设 且X与Y相互独立，求 的概率密度。), 0(), 0(22 NYNX22YXZ 22222221)(,21)( yYxXeyfexf 由于X与Y相互独立，于是(X,Y)的概率密度为 2222221)()(),( yxYXeyfxfyxf 解 :X和Y的概率密度分别为第60页/共74页先求Z的分布函数

34、FZ(z) 22( )ZFzP ZzPXYz当z0时 , FZ(z)=022( )ZFzPXYz当z0时,上一页下一页返回222222212xyxyzedxdydrredzr 022022221 2221 ze 所以 0010)(222 zzezFzZ 第61页/共74页于是可得 22YXZ 000)(2222zzezzfzZ 上一页下一页返回的概率密度为如果一随机变量的概率密度为上式，称该随机变量服从参数为的瑞利分布。由题可知，若X,Y独立服从同一分布 则 服从参数为的瑞利分布。), 0(2 N22YXZ 第62页/共74页设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，求Z=X+Y的概率密度.)

35、,(zyxyxDz )(zYXPzZPzFZ zDdxdyyxf),( yzdydxyxf),(1)和的分布上一页下一页返回令，则Z的分布函数为 固定z和y对积分 作换元法，令x+y=u得 yzdxyxf),( zyzduyyufdxyxf),(),(于是： zzZdudyyyufdudyyyufzF),(),()(yxOzyx z第63页/共74页由概率密度定义，即得Z的概率密度为 dyyyzfzfZ),()(由X与Y的对称性，又可得 dxxzxfzfZ),()(当X与Y相互独立时，有 dxxzfxfdyyfyzfzfYXYXZ)()()()()(其中 分别是X和Y的密度函数。 )(),(y

36、fxfYX上一页下一页返回卷积公式第64页/共74页上一页下一页返回例4 设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们都服从N(0,1）,求Z=X+Y的概率分布密度.解 由题设知X，Y的分布密度分别为fX（x）=2221xe, -x+，fY（y）=2221ye, -y+.由卷积公式知fZ(z)= ( )()dXYfx fzx x22()221eed2xz xx22()421eed2zzxx第65页/共74页上一页下一页返回设t=2zx ，得fZ(z)44422222121zztztee21dee 即Z服从N（0，2）分布.一般,设X,Y相互独立,且XN(1,12),YN（2,22),则Z=X+YN（

37、1+2,12+22）.这个结论还能推广到n个独立正态随机变量之和的情况，即若XiN（i,i2)(i=1,2,n),且它们相互独立,则它们的和Z=X1+X2+Xn211,nniiii）.N（更一般地，可以证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布.第66页/共74页上一页下一页返回例5 设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x）=1,01,0,x其它 fY（y）=e,0,0,yy其它 求随机变量Z=X+Y的分布密度.解 X，Y相互独立，所以由卷积公式知fZ（z）=.)()(xxzfxfYXd.由题设可知fX(x)fY(z-x)只有当0 x1， z-x0时才不等于零.现在所求的积分变量为x，z当作参数，当积分变量满足x的不等式组0 x1 被积函数fX(x)fY(z-x)0. ,xz时，第67页/共74页上一页下一页返回当z0时，上述