理学二重积分PPT学习教案

1、会计学1理学二重积分理学二重积分在直角坐标系二重积分 的计算把二重积分化为二次积分的关键：把二重积分化为二次积分的关键：（1）选择积分次序（2）确定定积分的上、下限 Ddxdyyxf),( 根据根据积分区域积分区域D的图形的图形和和被积函数被积函数f(x,y)f(x,y)的特点的特点第1页/共33页 从左端点a值到右端点b值.累次累次积分中积分限的确定方法积分中积分限的确定方法yxab )(2xyy )(1xyy yx )(2yxx )(1yxx dc区域区域D为为X-型区域型区域区域区域D为为Y-型区域型区域 从穿入的边界从穿入的边界方程方程 作为下限，穿出的作为下限，穿出的边界方程边界方程

2、 作为上限作为上限. .)(1xy)(2xy第二次积分:第一次积分: 从左端点c值到右端点d值. 从穿入的边界从穿入的边界方程方程 作为下限，穿出的作为下限，穿出的边界方程边界方程 作为上限作为上限. .)(1yx)(2yx第二次积分:第一次积分: )()(21d),(dxyxybayyxfx baxS(x)dy-(x)y12 )()(21)d),(d(yxyxdcxyxfy dcS(y)dyx-(y)x12X-型积分Y-型积分第2页/共33页 在计算二重积分时在计算二重积分时，甚至是积分区域D造成的困难是主要的。有时而且还在于积分区域D,求积分的困难不仅在于),(yxfy ),(yxfy 例

3、 计算其中其中,dd)(22 Dyxyxe.:222ayxD xyo dxex2 dyey2或或 dxxex2因此,针对不同形状的积分区域D以及被积函数的特点,选择不同的坐标系来计算二重积分是一个很重要的问题. dyyey2或或被积函数第3页/共33页 一般地一般地,当二重积分的积分区域当二重积分的积分区域D的边界的边界通常采用极坐标变换,就可使二重积分的计算或被积函数用极坐标表示更加方便扇形等）),(22yxf （如被积函数为 等时，大大得以简化。),(xyf)(yxf曲线用极坐标表示更加简单 （如D为圆形、环形、第4页/共33页极轴极轴X极点极点O r),( r极极坐坐标标xy 变变换换公

4、公式式与与直直角角坐坐标标极极坐坐标标),(),(yxr 如果选取以直角坐标系的原点O为极点，以x轴为极轴，之之间间与与直直角角坐坐标标坐坐标标则则平平面面上上任任意意一一点点的的极极),(),(yxr 的的变变换换公公式式为为原点原点Ox轴轴 cosrxrysin 第5页/共33页用以极点用以极点O为中心的为中心的一族同心圆一族同心圆,1.利用极坐标系计算二重积分AoD 设过极点设过极点O的射线与积分区域的射线与积分区域D的边界曲线的交点的边界曲线的交点不多于两点，不多于两点，.),(上连续上连续在在函数函数Dyxf把区域把区域D分成分成n个小区域，个小区域，在极坐标系下，在极坐标系下，以及

5、从极点出发的一族射线,在直角坐标系下 Ddyxf ),( Ddxdyyxf),(在极坐标系下在极坐标系下 Ddyxf ),(如何表示？如何表示？极坐标系下的面积微元极坐标系下的面积微元?如如何何表表示示d第6页/共33页AoD rr rrr 2221)(21rrr 2)(21rrr域域为其中一个典型小闭区为其中一个典型小闭区设设 同同时时也也表表示示该该 (),小小闭闭区区域域的的面面积积的的同同心心圆圆和和它它由由半半径径分分别别为为rrr 的的射射线线所所确确定定，和和和和极极角角分分别别为为 则则,充充分分小小时时当当 r ,)(212 r略去高阶无穷小量 rr得得面积微元为面积微元为,

6、 rdrdd 所以，第7页/共33页 Ddyxf),( 于是得到直角坐标系下与极坐标系下二于是得到直角坐标系下与极坐标系下二重积分的重积分的转换公式转换公式 如何计算极坐标系下的二重积分？如何计算极坐标系下的二重积分？化为二次积分或累次积分来计算 Drrf)sin,cos( rdrd Ddxdyyxf),(.)sin,cos(rdrdrrfD 这样二重积分在极坐标系下的表达式为这样二重积分在极坐标系下的表达式为第8页/共33页 在极坐标系下化二重积分为二次积分或累次在极坐标系下化二重积分为二次积分或累次积分，积分， 同样要解决下面两个问题：同样要解决下面两个问题：（2）确定积分的上、下限（1）

7、选择积分次序化为二次积分或累次积分来计算第9页/共33页2.2.极坐标系下化二重积分为二次积分极坐标系下化二重积分为二次积分(1)(1)若极点若极点O在区域在区域 D 之外之外 ),()(,:21rrrD 则有则有 Drrrrfdd)sin,cos( (2) (2) 极点极点O在区域在区域D的边界线上的边界线上),(0 rr ，D:则有则有 Drrrrfdd)sin,cos(xo)(2r)(1rxo)(rr .d)sin,cos(d)()(21 rrrrrrf.d)sin,cos(d)(0 rrrrrfDD（只研究先对r后对的积分次序）下面根据极点下面根据极点O与区域与区域D的位置分三种情况讨

8、论的位置分三种情况讨论第10页/共33页(3) (3) 若极点若极点O在区域在区域D的内部的内部 Drrrrfdd)sin,cos(则有则有).(0 ,20rr D:或被积函数为或被积函数为f (x2+y2)、利用极坐标计算二重积分积分特征利用极坐标计算二重积分积分特征)( rr xo.d)sin,cos(d)(020 rrrrrf利用极坐标常能简化计算.如果积分区域 D为圆、半圆、圆环、扇形域等，D等形式，),(xyf)(yxf第11页/共33页3.3.极坐标下二重积分计算的基本步骤极坐标下二重积分计算的基本步骤 (1)(1)将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下将直角坐标系下的二重积分转

9、化为极坐标系下的二重积分的二重积分. . 将将 代入被积函数代入被积函数, ,sin,cosryrx 将区域D 的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限. 将面积元素将面积元素 dxdy 换为换为 .,dd rr2.2.将极坐标系下的将极坐标系下的二重积分二重积分转化为转化为二次积分二次积分. . Dyxyxfdd),(.dd)sin,cos( Drrrrf3.3.计算计算二次积分二次积分. .则则第12页/共33页例1 计算其中其中解解,200: arD故故,dd)(22 Dyxyxe.:222ayxD Drrredd2 Dyxyxedd)(22).1(2ae 注注：由于：由于 的

10、原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , ,故本题故本题无法用直角坐标计算无法用直角坐标计算. .2xe xyo 2 0 0 dd2arrred210202are 在极坐标系下第13页/共33页 例例2 2 计算二重积分计算二重积分 其中区域其中区域D为为由由x=0及及 x2+y2=2y 围成的第一象限内的区域围成的第一象限内的区域. .， Dyxyxdd22解解 D的边界曲线为的边界曲线为x2+y2=2y，此时此时D可以表示为可以表示为,sin2 r，sin20 ,20 rDyxyxdd22所以 20sin203d31r 203dsin38 202cosd)cos1 (38203cosco

11、s3138 xyo其极坐标表达式 rrsin20220dd.916 Drdrdr Dyxyxdd22 2020222yydxyxdy第14页/共33页例例3 3 计算积分计算积分.ddsin2222422 yxyxyx积分域是圆环，积分域是圆环，.2,20 r 2222422ddsinyxyxyxdcoscos222 rrrrxyo 220dsindrrr解D：.62 22224drdsinyxrr第15页/共33页解解32 61 sin4 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 03 yx03 xyrsin2 yyx222 故故第16页/共33

12、页 例例5 5 计算计算 , 其中其中D是由不等式是由不等式 所确定的区域所确定的区域. . Dy d0, 0222 xyxyx及及, 422 yx解解 极点在区域极点在区域 D的边界曲线的边界曲线上上. 曲线曲线 的极坐标方程为的极坐标方程为xyx222 ,cos2 r曲线 的极坐标方程为422 yx，2cos2 r因此因此,20 又又202cos22dsinddrryD所以. 2 d)cos1(sin38203 xyocos2 rr =2.2 r第17页/共33页解解因为被积函数为偶函数因为被积函数为偶函数,例例6 6 求广义积分求广义积分所以，不能直接用一元函数的广义积分计算。所以，不能

13、直接用一元函数的广义积分计算。( (泊松积分泊松积分）.202dxeIx 所所以以又因为被积函数又因为被积函数 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,2xe .2dxeIx 第18页/共33页22xyDHedxdy 令令( , )|0,0Dx yxy 其其中中2xIedx 2200rderdr 22xyDHedxdy 220012red 20124d 利用极坐标计算利用极坐标计算H，( , )|0,02Drr 所以所以D正态分布正态分布 222 dxexdxex 022dxex 02dyey 0242I 20)(2dxex 42I dxeIx 2. 第19页/共33页 当积分区域由直线和除

14、圆以外的其它曲线围成时， 一般说来，当积分区域为圆形、扇形、环形区域， 选取选取适当适当的坐标系的坐标系对计算二重积分的计算是至关重要的对计算二重积分的计算是至关重要的. . 而被积函数中含有 项时,yxxyyx,22 选择坐标系选择积分次序二重积分计算过程通常选择在直角坐标系下计算. 下的计算方法往往比较简便.二重积分计算方法总结：化为累次积分计算累次积分二重积分可在两种坐标系中的计算.采用极坐标系第20页/共33页四、二重积分的几何应用四、二重积分的几何应用1.1.平面图形的面积平面图形的面积 由二重积分的几何意义可由二重积分的几何意义可知，知， DdxyD 利用二重积分的几何意义可以求解

15、利用二重积分的几何意义可以求解平面图平面图形的面积形的面积( 为平面图形的面积值）为平面图形的面积值）表示成二重积分 可成的平面区域D的面积值，xOy平面上封闭曲线所围和空间几何体的体积.第21页/共33页 例例 求由曲线求由曲线 所围成的区域所围成的区域的面积的面积. . 44,22 xyxy Dd 2 6 2d412yyy263241222 yyyy 解解xy2-6442 xyxy 2作出区域的图形，所求面积为 -yyxy2 44 2 6 2dd.364 解解2 2利用定积分求面积， 2 6 2d412yyy.364 第22页/共33页2.2.几何体的体积几何体的体积 (1)(1)以连续曲

16、面以连续曲面 为顶，有界闭区为顶，有界闭区域域D D为底的曲顶柱体体积为为底的曲顶柱体体积为 0),( yxfz ( (2)2)由连续曲面由连续曲面所围成的几何体的体积为所围成的几何体的体积为 Dyxyxgzyxfz ),(),(),(.d),( DyxfV .d),(),( DyxgyxfV zxyD),(yxfz ),(yxfz zxy),(yxgz D第23页/共33页 例例 用二重积分计算由平面用二重积分计算由平面 和三和三个坐标平面所围成的四面体的体积个坐标平面所围成的四面体的体积. .解解 Dyxd)326( 30)31(202d23)26(xyyxx 3022d3163112xx

17、x. 6 xzy由二重积分几何意义知所求四面体体积为 )31(2030d)326(dxyyxx 302d316xx632 yxyx23DD2x+3y+z=6第24页/共33页 例例 求椭圆抛物面求椭圆抛物面 与平面与平面 所所围成的立体体积围成的立体体积. .224yxz 0 z 考虑到图形的对称考虑到图形的对称性性，20 ,40:2 xxyDyxyxVDdd )4(422 yyxxxd )4(d42040222 xyyxyxd31442402032 xxd)4(3220232 xyz解只需计算第一卦限部分即可，画出曲面所围立体的图形,.8 xy2224xy 第25页/共33页,20 , 20

18、: rDyxyxVDdd )4(422 在极坐标系下计算在极坐标系下计算dd)4(42rrrD 2022/0)4(4rdrrd.84242/02042 drrxy222r显然，该题利用显然，该题利用极坐标系极坐标系来计算要简便。来计算要简便。第26页/共33页 例例 求由锥面求由锥面 与椭圆抛物面与椭圆抛物面 所围立体的体积所围立体的体积. .224yxz 222yxz 解解yxyxyxVDdd)(21)4(2222 Drrrrdd242 222224yxzyxz消去消去z z得投影区域边界为得投影区域边界为, 422 yx, 4:22 yxD204328322 rrr 203220d24dr

19、rrrxyz由.320 , 2 r即即xyo第27页/共33页.0, 1,.11222所所围围成成立立体体的的体体积积求求由由曲曲面面 zyxyz, 10 ,20 r 因因 dyVD 2练习：解解 故所求的立体的体积为故所求的立体的体积为xyodrrd 201023sindrrd 201032sin 2010422cos1)4(dr 20)2sin21(2141 .4 第28页/共33页22yxz ,222围围成成与与yxz 12. 因曲面是由得两曲面的公共面为 有则 解解故曲面方程为由由因曲面是由因曲面是由.2.122222所围成立体的体积所围成立体的体积与与求由曲面求由曲面yxzyxz 22222),(yxyxyxf 22222yx .D