题型五立体几何中的空间角问题

1、题型五 立体几何中的空间角问题1. 如图所示，已知 AB平面 ACD，DE平面 ACD， ACD为等边三角形， AD=DE=2AB，F 为 CD的中点(1) 求证： AF平面 BCE；(2) 求证：平面 BCE平面 CDE；(3) 求直线 BF和平面 BCE所成角的正弦值2(2011湖南 ) 如图，在圆锥 PO中，已知 PO 2， O的直径 AB2，C是AB的中点， D为 AC的中点(1) 证明：平面 POD平面 PAC；(2) 求二面角 B PAC的余弦值答案1 （1） 证明设 ADDE2AB2a，以 A为原点， AC为 x轴，AB为 z轴，建立如图所示的直角坐标系A xyz，则 A（0,0

2、,0） ， C（2 a, 0,0） ，B（0,0 ，a），D（a， 3a, 0） ， E（ a， 3a, 2a） 因为 F为 CD的中点，所以 F32a， 23a，0 .AF 23a， 23a，0 ，BE （ a， 3a，a） ， BC （2 a, 0， a） 因为 AF21（BEBC） ，AF?平面 BCE，所以 AF平面 BCE.（2）证明 因为AF 23a， 23a，0，CD（a， 3a,0），ED （0,0 ，2a） ，故AF CD0，AF ED 0，所以 AFCD，AFED.所以 AF平面 CDE.又 AF平面 BCE，所以平面 BCE平面 CDE.（3）解 设平面 BCE的法向量为

3、 n（x，y，z） 由 n BE0， n BC 0，可得 x 3yz0,2xz0，取 n （1 ， 3，2）又BF 23a， 23a，a ，设BF和平面 BCE所成的角为 ，则 sin | BF| n| BF n|所以直线 BF和平面 BCE所成角的正弦值为 42.2方法一 （1） 证明 如图，连接 OC，因为 OAOC，D是 AC的中点，所以 AC OD.又 PO底面 O， AC? 底面 O，所以 AC PO.因为 OD， PO是平面 POD内的两条相交直线，所以 AC平面 POD， 而 AC? 平面 PAC， 所以平面 POD平面 PAC.(2) 解 在平面 POD中，过 O作 OHPD于

4、 H，由(1) 知，平面 POD平面 PAC， 所以 OH平面 PAC.又 PA? 平面 PAC，所以 PA OH.在平面 PAO中，过 O作 OGPA于 G，连结 HG， 则有 PA平面 OGH，从而 PA HG， 故 OGH为二面角 BPA C的平面角在 Rt ODA中，在 Rt POD中，在 Rt POA中，在 Rt OHG中，OD OA sin 45 22.2 2POOD2 10OH22PO2 OD221 5POOA21 6OG22 .PO2OA2 2 1 310OH 5 15sin OGHOOGH 6 5 .315 10 1 25 5 .故二面角 B PA C的余弦值为 10所以 c

5、os OGH 1sin 2OGH方法(1) 证明 如图，以 O为坐标原点， OB，OC，OP所在直线分别为 x轴，y 轴，z 轴建 立空间直角坐标系，则 O(0,0,0) ，A( 1,0,0) ，B(1,0,0) ，C(0,1,0) ，P(0,0 ， 2)，11D 12，12，0 .设 n1(x1，y1，z1) 是平面 POD的一个法向量， 则由 n1OD 0， nOP0，2z10.所以 z10，x1 y1. 取 y1 1，得 n1 (1,1,0) 设 n2(x2，y2，z2) 是平面 PAC的一个法向量，则由 n2PA 0， n2PC0，得 x2 2z2 0，y2 2z2 0.所以 x2 2z2， y2 2z2. 取 z2 1，得 n2( 2， 2，1) 因为 n1n2(1,1, 0)( 2， 2， 1) 0，所以 n1n2. 从而平面 POD平面 PAC.(2) 解 因为 y 轴平面 PAB，所以平面 PAB的一个法向量为 n3 (0,1,0) 由(1) 知，平面 PAC的一个法向量为 n2( 2，