5615013329立体几何问题平面化初探.doc

1、立体几何问题平面化初探 摘要：把空间几何问题平面化，由简单问题深入，研究综合问题（实际问题）所存在的一般规律，从 而培养学生的转化问题和归纳的思维能力。 关键词：平面化；转化；能力 高中数学中的立体几何问题，常常需要转化为平面几何问题，有时可以起到化繁为简的 作用。下面，笔者就一个简单问题，谈谈自己的思考。 问题1：如图，在直三棱柱中，点d是ab的中点。 （1）求证：cd面abb1a1；（2）求证ac1面cdb1； （3）线段ab上是否存在点m，使得面cdb1。 分析：（1）一般地，线面垂直的证明问题都可转化成线线垂直或面面垂直，本题有题设易知，故只需证明即可。 （2）线面平行的问题常常转化为

2、线线平行或面面平行，本 题思路一：考虑到点d为ab的中点，可以考虑连接，交于点f，连df，只需证明。思路二：可以取的中点，连，问题转化为证明面面即可。 （3）本题属于探索性问题，可以假设存在点m， 由（1）知cd面abb1a1，故只需am db1，从而问题 转化为平面几何问题，简化了问题。 解析：（1）、（2）证明略. （3）由分析可知，问题转化为在矩形的边ab 上找一点m，使得成立， 设ac=a，则ab=，要使的，由平几知识可知，故点m与点b重合。 总结1：线面垂直的探索性问题通过转化，成为一道平面几何问题，从而把问题简化。 问题2：在棱长为的正方体中， 求面和面的距离。 分析：考虑到面和面

3、的位置关系为平行，且 同时和直线垂直，从而可以把问题转化为：求夹在两 平行平面间的线段长度问题。 解析：连结，设线段与面和面的交点分别为点e、f，由于e、f都在平面中，如右 图，由平几知识可知，而，所以 。 总结2：立体几何问题平面化，从而把平行平面所夹线段长度问题转化为点与点之间的距离，突出了问题的本质，简化了解题过程。 问题3：将一个半径为5的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆pa、pb、pc组成，它们两两成角。则水晶球的球心到支架p的距离是 . 分析：设球心为o，球与pa、pb、pc的交点分别为 a、b、c，则，由 于pa、pb、pc两两成角，所以，pa=pb=pc=ab

4、=ac=bc，从而，三棱锥pabc为正四面体，故点 p在面abc上的射影为正三角形abc的中心，又oa=ob=oc，所以球心o在面abc上的射影也是正三角形abc的中心，设三角形abc的中心为点q，则三点p、q、o共线。这样就可以把一个实际问题抽象为立体几何问题，即 在空间组合体中，为正三棱锥，为正四面体，且 ，如图1，已知oa=5，求op 考虑到，且点q为三角形abc的中心，问题可转化为： 平面中，三角形opa为直角三角形，角a为直角，aq为po 边上的高，其中，ao=5，求op的长。 通过这样的转化，使得很复杂的实际空间几何问题转化为简 单的数学平面几何问题，使得问题的难度大大的降低，简解如下： 解析：设ap=a，op=x，由于q为三角形abc的中心，所以 ，再由等面积法可知 所以，球心到支架点p的距离为 总结3：一道复杂的立体几何问题，通过两次等价转化，变成一道简单的平面几何问题，这就是转化的魅力。 空间几何问题转化为平面几何问题是解决立体几何问题的常用方法，有利于激发学生对数学的学习兴趣，培养学生的空间想象能力、运算能力和问题的转化能力。如：问题3，经过这样的分析和转化，学生可以很快地掌握这一类问题的解法。当然，还可以把这个问题引申为更一般的