建筑力学—— 轴向拉伸和压缩

1、2-6 2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩2-1 2-1 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念2-2 2-2 内力内力截面法截面法及轴力图及轴力图2-3 2-3 应力应力拉拉( (压压) )杆内的应力杆内的应力2-4 2-4 拉拉( (压压) )杆的变形杆的变形胡克定律胡克定律 2-5 2-5 拉拉( (压压) )杆内的应变能杆内的应变能 2-7 2-7 强度条件强度条件安全因数安全因数许用应力许用应力2-8 2-8 应力集中的概念应力集中的概念建筑力学建筑力学2- -1 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念 工

2、程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。屋架结构简图建筑力学建筑力学桁架的示意图受轴向外力作用的等截面直杆拉杆和压杆建筑力学建筑力学2- -2 内力内力截面法截面法及轴力图及轴力图 内力由外力引起的物体内部各质点间相互作用的力。一、 内力根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合成)。建筑力学建筑力学（2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；（3）根据分离体的平衡求出内力值。二、 截面

3、法轴力及轴力图N=F（1）假想地截开指定截面；步骤：NN建筑力学建筑力学 横截面mm上的内力N 其作用线与杆的轴线重合(垂直于横截面并通过其形心)轴力。无论取横截面mm的左边或右边为分离体均可。 轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定: 当轴力背离截面产生伸长变形（拉力）为正；反之，当轴力指向截面产生缩短变形（压力）为负。轴力背离截面 N =+FNN建筑力学建筑力学 用截面法求内力的过程中，在截取分离体前，作用于物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力系替代。轴力指向截面 N = -FNN建筑力学建筑力学 轴力图(N图)显示横截面上轴力与横截面位置的关系。N图(c)N图(f)

4、NNNN建筑力学建筑力学例题例题2- -1 试作此杆的轴力图。等直杆的受力示意图(a)建筑力学建筑力学为方便，取横截面11左边为分离体，假设轴力为拉力，得N1=10 kN(拉力)为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN解：解：N1建筑力学建筑力学为方便取截面33右边为分离体，假设轴力为拉力。N2=50 kN(拉力)N3=-5 kN （压力），同理，N4=20 kN (拉力)N2N3建筑力学建筑力学轴力图(N图)显示了各段杆横截面上的轴力。kN502NmaxN, FF思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？NNmax =

5、 N2建筑力学建筑力学例题2-2：试作此杆的轴力图。FFFqFR112233FFFFRF=2qlFF =RFFFl2lllFq 解：建筑力学建筑力学2FFFq11233FF =RxFF =RFF=N1FFF=3NqFFF =RFx1N2FFlFxF1N2FFF =RFx1lFxF1 2NF0-201RN2lFxFFFFxN1N2N3N2N2N2建筑力学建筑力学FFq=F/ll2llFN图FFF+-+建筑力学建筑力学2- -3 应力应力拉拉( (压压) )杆内的应力杆内的应力一、应力的概念 受力构件某一截面的M点附近微面积A上分布内力的平均集度称为应力， ，其方向和大小一般而言，随所取A的大小而

6、不同。AFpm建筑力学建筑力学 该截面上M点处分布内力的集度为 ，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。AFAFpAddlim0建筑力学建筑力学总应力 p法向分量正应力s某一截面上法向分布内力在某一点处的集度切向分量切应力t某一截面上切向分布内力在某一点处的集度应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。建筑力学建筑力学二、拉(压)杆横截面上的应力 (1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关； (2) s在横截面上的变化规律横截面上各点处s 相等时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力轴力N；横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组

7、成轴力N。AAFdNsN建筑力学建筑力学为此： 1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。 2. 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平截面假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，对于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。建筑力学建筑力学4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 。AFNs 3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截面上各点处的正应力s 都相等。NNN建筑力学建筑力学注意： 1.

8、 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。 2. 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。 3. 圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。建筑力学建筑力学 例题2-3 试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F = 50 kN（不计砖柱自重）。 建筑力学建筑力学所以，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力） 段柱横截面上的正

9、应力12ss解：段柱横截面上的正应力 MPa87. 0Pa1087. 0 )m24. 0()m24. 0(N10506311N1AFs(压应力)MPa1 . 1Pa101 . 1 m37. 0m37. 0N101506322N2AFs(压应力)N1N2建筑力学建筑力学2-4 2-4 拉拉( (压压) )杆的变形杆的变形 胡克定律胡克定律 拉(压)杆的纵向变形 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)： 纵向总变形l = l1-l （反映绝对变形量） 纵向线应变 （反映变形程度） ll建筑力学建筑力学横向变形与杆轴垂直方向的变形 dd在基本情况下 ddd-1横向变形较小。建筑力学建筑力学式中：E 称为

10、弹性模量，由实验测定，其单位为Pa；EA 杆的拉伸(压缩)刚度。AFll 引进比例常数E，且注意到F = N，有 EAlFlN胡克定律,适用于拉(压)杆。 胡克定律 工程中常用材料制成的拉(压)杆，当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时，在两端受力的情况下：N N建筑力学建筑力学胡克定律的另一表达形式： AFEllN1Es单轴应力状态下的胡克定律 。（在材料弹性状态下应力与应变成正比）ss低碳钢(Q235)： GPa210GPa200Pa1010. 2Pa1000. 21111EN建筑力学建筑力学低碳钢(Q235)：n = 0.240.28。 亦即 n -横向变形因数(泊松比) 单轴应

11、力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，某一方向的线应变 与和该方向垂直的方向(横向)的线应变的绝对值之比为一常数，此比值称为横向变形因数或泊松比：建筑力学建筑力学 例题2-4 如图所示杆系，荷载 P = 100 kN，试求结点A的位移A。已知：a = 30 ，l = 2 m，d = 25 mm，杆的材料(钢)的弹性模量为E = 210 GPa。 建筑力学建筑力学其中 24dA 解：结点A的位移A系由两杆的伸长变形引起，故需先求两杆的伸长。 由胡克定律得 acos22N1N21EAPlEAlFEAlFll1. 求杆的轴力及伸长acos22N1NPFF2N1NFF0- coscos2N1NPFF

12、aa由结点 A 的平衡(如图)有 N1N2N1N2N1N2N1N2N1N2建筑力学建筑力学2. 由杆的总变形求结点 A 的位移 根据杆系的布置、约束、杆的材料以及受力情况均与通过结点 A 的铅垂线对称可知，结点A只有竖向位移(如图)。建筑力学建筑力学亦即 aaa221cos2coscosEAPlllA 画杆系的变形图，确定结点A的位移 aacoscos21AAAAAA由几何关系得建筑力学建筑力学)(1.293mmm10293. 130cos)m1025(4)Pa10210(2)m2)(N10100(322393A从而得 建筑力学建筑力学2-5 2-5 拉拉( (压压) )杆内的应变能杆内的应变

13、能 应变能弹性体受力而变形时所积蓄的能量。 弹性变形时认为，积蓄在弹性体内的应变能V在数值上等于外力所作功W，V = W。 应变能的单位为 J（1J=1Nm）。 建筑力学建筑力学建筑力学建筑力学拉杆(压杆)在线弹性范围内的应变能 或 EAlFEAlFFlFV221212NNNNEAlFEAFlFlFV221212外力F所作功： lFW21WV 杆内应变能：lFV21NNNN2-6 2-6 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 一、 材料的拉伸和压缩试验 拉伸试样 圆截面试样：l = 10d 或 l = 5d(工作段长度称为标距)。 矩形截面试样： 或 。 Al3 .11Al

14、65. 5建筑力学建筑力学试验设备 ：(1) 万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。 (2) 变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。 压缩试样 圆截面短柱(用于测试金属材料的力学性能) 31dl正方形截面短柱(用于测试非金属材料的力学性能) 31bl建筑力学建筑力学实验装置（万能试验机）建筑力学建筑力学二、 低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能 拉伸图 纵坐标试样的抗力F(通常称为荷载) 横坐标试样工作段的伸长量 建筑力学建筑力学低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段： (1) 阶段弹性阶段 变形完全是弹性的，且l与F成线性关系，即此时材料的 力学行为符合胡克定律。建筑力学建筑力学

15、(2) 阶段屈服阶段 在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。 此阶段产生的变形是不可恢复的塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45的滑移线( ，当=45时a 的绝对值最大)。asta2sin20建筑力学建筑力学(3) 阶段强化阶段 建筑力学建筑力学卸载及再加载规律 若在强化阶段卸载，则卸载过程中Fl关系为直线。可见在强化阶段中，l=le+lp。 卸载后立即再加载时，Fl关系起初基本上仍为直线(cb)，直至当初卸载的荷载冷作硬化现象。试样重新受拉时其断裂前所能产生的塑性变形则减小。 建筑力学建筑力学 (4) 阶段局部变形阶段 试样上出现局部收缩颈缩，并导致断裂。 建筑力学建

16、筑力学低碳钢的应力应变曲线(s 曲线) 为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力s和应变，即 ， 其中：A试样横截面的原面积， l试样工作段的原长。 AFsll建筑力学建筑力学低碳钢 s曲线上的特征点： 比例极限sp弹性极限se屈服极限ss (屈服的低限) 强度极限sb(拉伸强度)Q235钢的主要强度指标：ss = 240 MPa，sb = 390 MPa建筑力学建筑力学低碳钢拉伸破坏低碳钢拉伸试件 建筑力学建筑力学低碳钢拉伸破坏断口建筑力学建筑力学 低碳钢的塑性指标： 伸长率 %1001lll断面收缩率：%1001AAAA1断口处最小横截面面积。 Q235钢：60

17、%1 lQ235钢： %30%20(通常 5%的材料称为塑性材料)建筑力学建筑力学三、 其他金属材料在拉伸时的力学性能 建筑力学建筑力学由s曲线可见： 材料锰钢强铝退火球墨铸铁弹性阶段屈服阶段强化阶段局部变形阶段伸长率%5%5%5建筑力学建筑力学sp0.2(规定非比例伸长应力，屈服强度)用于无屈服阶段的塑性材料 建筑力学建筑力学割线弹性模量 用于基本上无线弹性阶段的脆性材料 脆性材料拉伸时的唯一强度指标： sb基本上就是试样拉断时横截面上的真实应力。 铸铁拉伸时的应力应变曲线建筑力学建筑力学铸铁拉伸破坏断口建筑力学建筑力学四、 金属材料在压缩时的力学性能 低碳钢拉、压时的ss基本相同。 低碳钢

18、压缩时s的曲线 建筑力学建筑力学低碳钢材料轴向压缩时的试验现象:建筑力学建筑力学受压面积增大.铸铁压缩时的sb和 均比拉伸时大得多；不论拉伸和压缩时在较低应力下其力学性能也只近似符合胡克定律。铸铁压缩时的s曲线建筑力学建筑力学 试样沿着与横截面大致成5055的斜截面发生错动而破坏。 材料按在常温(室温)、静荷载(徐加荷载)下由拉伸试验所得伸长率区分为塑性材料和脆性材料。 建筑力学建筑力学铸铁压缩破坏断口：铸铁压缩破坏建筑力学建筑力学 木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以认为木材是正交各向异性材料。 松木在

19、顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的s 曲线如图。(1) 木材拉伸和压缩时的力学性能 木材的横纹拉伸强度很低(图中未示)，工程中也避免木材横纹受拉。木材的顺纹拉伸强度受木节等缺陷的影响大。建筑力学建筑力学五、 几种非金属材料的力学性能 (2) 玻璃钢（玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料） 纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的s 曲线如图中(c)，纤维增强复合材料所用的纤维尚有碳纤维等。建筑力学建筑力学2-7 强度条件安全因数许用应力一、 拉(压)杆的强度条件 强度条件保证拉(压)杆在使用寿命内不发生强度破坏的条件： 其中：smax拉(压)杆的最大工作正应力，s材料拉伸(压缩)时的许用应力。max

20、ss建筑力学建筑力学二、 材料的拉、压许用应力塑性材料： ,s2 . 0pssnnssss或脆性材料：许用拉应力 ，许用压应力bbccbbtnnssss其中，ns对应于屈服极限的安全因数其中，nb对应于拉、压强度的安全因数建筑力学建筑力学拉压应力相同三、 关于安全因数的考虑 (1) 考虑强度条件中一些量的变异。如极限应力(ss，sp0.2，sb，sbc)的变异，构件横截面尺寸的变异，荷载的变异，以及计算简图与实际结构的差异。 (2) 考虑强度储备。计及使用寿命内可能遇到意外事故或其它不利情况，也计及构件的重要性及破坏的后果。安全因数的大致范围：静荷载(徐加荷载)下，0 . 35 . 25 .

21、225. 1bsnn，建筑力学建筑力学四、 强度计算的三种类型 (2) 截面选择 已知拉(压)杆材料及所受荷载，按强度条件求杆件横截面面积或尺寸。 (3) 计算许可荷载 已知拉(压)杆材料和横截面尺寸，按强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而计算许可荷载。FN,max=As ，由FN,max计算相应的荷载。max,NmaxssAFmax,NsFA (1) 强度校核 已知拉(压)杆材料、横截面尺寸及所受荷载，检验能否满足强度条件 对于等截面直杆即为;maxssNmaxNmaxNmaxNmax建筑力学建筑力学 例题2-5 试选择计算简图如图中(a)所示桁架的钢拉杆DI的直径d。已知：F =16 k

22、N，s=120 MPa。N建筑力学建筑力学由于圆钢的最小直径为10 mm，故钢拉杆DI采用f10圆钢。2. 求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径mm2 . 9m102 . 9)m107 .66(44m107 .66Pa10120N1083262693NAdFAs解:1. 由图中(b)所示分离体的平衡方程得kN82NFFNNN建筑力学建筑力学 例题2-6 图中(a)所示三角架(计算简图)，杆AC由两根80 mm 80 mm7 mm等边角钢组成，杆AB由两根10号工字钢组成。两种型钢的材料均为Q235钢，s=170 MPa。试求许可荷载F。建筑力学建筑力学解 : 1. 根据结点 A 的受力图(图b)，得平衡方程：030sin 0030cos 0N1N1N2FFFFFFyxFF21N(拉)（压）FF732. 12N解得N N1N N2N N1N1N2N N1N N2建筑力学建筑力学 先由型钢表查出相应等边角钢和工字钢的横截面面积，再乘以2得2. 计算各杆的许可轴力由强度条件 得各杆的许可轴力：NssAFkN20.486N1020.486)mm2860()MPa170(k