6 高斯投影及其计算

1、第六章第六章 高斯投影高斯投影及其计算及其计算第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学1.1.地图投影地图投影就是将椭球面上的各元素（包括坐标、方向和长度）按照一定的数学就是将椭球面上的各元素（包括坐标、方向和长度）按照一定的数学法则投影到平面上。法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。所谓数学法则就是下面的两个方程式：所谓数学法则就是下面的两个方程式： x=Fx=F1 1（B B、L L） y=F y=F2 2（B B、L L）可见地图投影问题就是建立椭球面大地坐标（可见地图投影问题就是

2、建立椭球面大地坐标（B B、L L）与投影平面上对）与投影平面上对应的坐标（应的坐标（x x、y y）之间的函数关系。）之间的函数关系。给定不同的具体条件，得出不同种类的投影公式。给定不同的具体条件，得出不同种类的投影公式。第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学垂直投影垂直投影第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学中心投影中心投影圆柱投影圆柱投影第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学2.2.投影变形投影变形 角度变形、长度

3、变形和面积变形三种。等角、等距、等积投影角度变形、长度变形和面积变形三种。等角、等距、等积投影3.3.投影长度比与长度变形投影长度比与长度变形 投影长度比投影长度比投影面上无限小线段投影面上无限小线段 dsds与椭球面上该线段实际与椭球面上该线段实际长度长度 dSdS之比，以之比，以m m表示表示 就一般地图投影而言，长度比是一个变量，它不仅与点位有关，就一般地图投影而言，长度比是一个变量，它不仅与点位有关，而且也随该点上线段方向的不同而不同。也就是说，不同点上的长度而且也随该点上线段方向的不同而不同。也就是说，不同点上的长度比不同，同一个点上不同方向的长度比也不相同。比不同，同一个点上不同方

4、向的长度比也不相同。 长度比与长度比与1 1之差，称为投影长度相对变形，简称长度变形之差，称为投影长度相对变形，简称长度变形 当当m-10m-10时，投影后长度将增加；当时，投影后长度将增加；当m-10m-10时，投影后长度将缩短。时，投影后长度将缩短。dSdSdsmv1dSdsm 4.4.主方向、变形椭圆与变形指标主方向、变形椭圆与变形指标 若将地球椭球面上过一点的两个互为正交的方向投影到平面上，一若将地球椭球面上过一点的两个互为正交的方向投影到平面上，一般不能再保持正交，但其中总有一组在椭球面上正交的方向投影后仍般不能再保持正交，但其中总有一组在椭球面上正交的方向投影后仍然保持正交，则称这

5、两个方向为主方向。主方向还有另外一个性质，然保持正交，则称这两个方向为主方向。主方向还有另外一个性质，即它们投影后具有最大和最小长度比。即长度比极值所在的方向为主即它们投影后具有最大和最小长度比。即长度比极值所在的方向为主方向。方向。 第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学变形椭圆变形椭圆第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学 变形指标：主方向上投影长度比变形指标：主方向上投影长度比a

6、 a和和b b叫变形指标。叫变形指标。 若若a=ba=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。 若若ab=1ab=1，则为等面积投影。，则为等面积投影。椭球面上微分圆：椭球面上微分圆：投影平面上对应为微分椭圆：变形椭圆投影平面上对应为微分椭圆：变形椭圆 第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学5.5.地图投影的分类地图投影的分类按投影变形的性质：等角投影、等面积投影、等距离投影；按投影变形的性质：等角投影、等面积投影、等距离投影；按投影面：平面投影、圆柱面投影、圆锥面投影；按投影面：平

7、面投影、圆柱面投影、圆锥面投影；按投影面的中心轴向：正轴投影、横轴投影、斜轴投影按投影面的中心轴向：正轴投影、横轴投影、斜轴投影等角投影（正形投影）等角投影（正形投影）投影后角度不变，保持小范围内图形相似，投影后角度不变，保持小范围内图形相似， a=ba=b。等面积投影等面积投影用于某些专题地图，投影后面积不变。用于某些专题地图，投影后面积不变。 ab=1ab=1等距离投影等距离投影保持某一方向上的投影变形为保持某一方向上的投影变形为0.0.如如a=1a=1或或b=1b=1第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学平面投影平面投影投影平面与

8、椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数投影平面与椭球面在某一点相切，按数学投影建立函数关系。关系。圆锥面投影圆锥面投影圆锥面与椭球体在某一纬圈相切或某两纬圈相割，按圆锥面与椭球体在某一纬圈相切或某两纬圈相割，按数学投影，然后将圆锥面展开成平面。数学投影，然后将圆锥面展开成平面。圆柱面投影圆柱面投影圆柱面或椭圆柱面与椭球面在赤道或某一子午线上相圆柱面或椭圆柱面与椭球面在赤道或某一子午线上相切，按数字投影，然后将圆柱面展开。切，按数字投影，然后将圆柱面展开。正轴投影正轴投影圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。圆柱面中心轴与椭球短轴重合，圆柱面与赤道相切。横轴投影横轴投影圆柱面中心轴与椭球

9、长轴重合，圆柱面与某一子午圈相圆柱面中心轴与椭球长轴重合，圆柱面与某一子午圈相切。切。斜轴投影斜轴投影圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。圆柱面中心轴与椭球长、短轴都不重合，位于两者之间。 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量

10、学应用大地测量学第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学第一节第

11、一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学两个基本要求：两个基本要求：1 1、任一点上，投影长度比、任一点上，投影长度比m m为一常数，不随方向而变，为一常数，不随方向而变，仅与点位置有关。仅与点位置有关。2 2、投影后角度不变形。又叫保角映射。条件是在微小范、投影后角度不变形。又叫保角映射。条件是在微小范围内成立。围内成立。所以，正形投影的特性是：投影长度比所以，正形投影的特性是：投影长度比m m仅与点的位置有仅与点的位置有关，而与方向无关。关，而与方向无关。第一节第一节 地图投影

12、概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学222222cosdydxdsBdlNMdBdS22222222222coscoscosdlBNMdBBNdydxBdlNMdBdydxdSdsm引入符号：引入符号：BNMdBdqcos222222()dxdymrdqdlBBNMdBq0cos等量纬度等量纬度LBFyLBFx,21lqyylqxx,相当于相当于dllydqqydydllxdqqxdx于是有222dydxds代入代入2222222222 2xxxxdsdqdqd

13、ldlqqllyyyydqdqdldlqqll第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学 22222222xyxxyyxydsdqdqdldlqqqlqlll令令2222lylxGlyqylxqxFqyqxE则有则有 2222dlGdldqFdqEds第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学2222222()E dqF dqdlG dlmrdqdl于是于是长度比的通用公式即为此式长度比的通用

14、公式即为此式dldqBdlNBdqNrdlMdBPPPPAcoscos90tan3132由图可知由图可知Adqdltan即即222222222tan(tantan2dqAdqrdqAGdqAFdqEm于是于是第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学22222tantansecEFAGAmrA2222cos2 sincossinEAFAA GAmr要使上式中的要使上式中的m m与与A A脱离关系，必须满足：脱离关系，必须满足：GEF , 00lyqylxqx2222lylxqyqxlyqxqylx从椭球面到平面投影的柯西从椭球面到平面投影的

15、柯西- -黎曼条件黎曼条件第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学其推证步骤为：其推证步骤为：1 1、从长度比表达式出发、从长度比表达式出发 ，求出，求出m m2 2与与dxdx2 2，dydy2 2和和dBdB2 2，dldl2 2关关系式；系式；2 2、引入等量纬度、引入等量纬度q q，将，将x x、y y表为表为q q、l l的函数；的函数；3 3、对、对 x=f1x=f1（q q，l l），），y=f2y=f2（q q，l l）取全微分，引入符号）取全微分，引入符号E E、F F、G G；4 4、根据长度比、根据长度比m m与方向

16、与方向A A无关，得无关，得F=0F=0，E=GE=G；5 5、由、由E=GE=G、F=0F=0得主要条件。得主要条件。第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质 应用大地测量学应用大地测量学 根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西根据复变函数理论，下列复变函数满足柯西(Cauchy)(Cauchy)黎曼黎曼(Riemann)(Riemann)条件，式中，条件，式中，f f代表任意解析函数。代表任意解析函数。证明：证明：()xiyf qilxiyfxyiqqqqxiyfxyillll (6-13)第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质qilf

17、ffqqilqqilqilfffilqillqilffilq由由得得第一节第一节 地图投影概念和正形投影性质地图投影概念和正形投影性质xyxyiillqq将（将（6-136-13）代入上式求得）代入上式求得将式中的实部与虚部分开得：将式中的实部与虚部分开得：,xyxylqql 该式就是从椭球面到平面的柯西黎曼方程，所以下式为正形投影该式就是从椭球面到平面的柯西黎曼方程，所以下式为正形投影的一般公式，使用该公式可以导出高斯投影正反算公式。的一般公式，使用该公式可以导出高斯投影正反算公式。()xiyf qil第二节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系 应用大地测量学应用

18、大地测量学 SONyxSON第二节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系 应用大地测量学应用大地测量学（1 1）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求；）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求；（2 2）中央子午线投影后是一条直线；）中央子午线投影后是一条直线；（3 3）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于1 1。 高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，不在中央子午高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，不在中央子午线上的各点，其长度比都大于线上的各点，其长度比都大于1 1，且离开中央子午线愈远，长度变，且离

19、开中央子午线愈远，长度变形愈大。形愈大。第二节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系 应用大地测量学应用大地测量学前面已经导出了从椭球面到高斯平面投影的长度比公式为：前面已经导出了从椭球面到高斯平面投影的长度比公式为：2222cos2 sincossinEAFAA GAmr在满足在满足F=0F=0，E=GE=G时，时，22222()()xyEqqmrr或或22222()()xyGllmrr因为我们总是将因为我们总是将x x和和y y展开为展开为l l的幂级数，因此用后面的式子比较方的幂级数，因此用后面的式子比较方便，为此将后面的式子写成：便，为此将后面的式子写成：第二

20、节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系 应用大地测量学应用大地测量学222221()() cosxymNBll在后面的内容中我们会推出：在后面的内容中我们会推出：24322465243322552422 2sincossincos594224 sincos61 58720coscos16 cos5 181458120llxXNBBNBBtlNBBttlylNBNBtlNBttt第二节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系 应用大地测量学应用大地测量学将上式对将上式对l l求偏导数，得：求偏导数，得：332224222524sincossin

21、cos596coscos1cos5 18224xllNBBNBBtlyllNBNBtNBttl将上式代入长度比公式中，得：将上式代入长度比公式中，得：2221cos211Blm上式就是用大地坐标表示的长度比计算公式。但是该公式不实用，上式就是用大地坐标表示的长度比计算公式。但是该公式不实用，下面推导用平面坐标表示的长度比计算公式。下面推导用平面坐标表示的长度比计算公式。第二节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系 应用大地测量学应用大地测量学3322coscos16lylNBNBtBNylcos取其主项取其主项代入到长度比公式中，得代入到长度比公式中，得222121N

22、ymMN21因为因为MNR 2212ymR 所以所以24241224yymRR 或或第二节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系 应用大地测量学应用大地测量学y/（km） 1020304050100150200250300长度变长度变形形m-1m-11/8100001/2020001/900001/500001/320001/80001/35001/20001/13001/90020304050501002003003501.000 0311.000 1241.000 4941.001 1121.001 5141.000 0311.000 1231.000 4931.

23、011 1001.000 0311.000 1231.000 4921.000 0311.000 1231.000 491By/km第二节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系 应用大地测量学应用大地测量学为限制长度投影变形，投影分带有为限制长度投影变形，投影分带有6 6度分带和度分带和3 3度分带两种方法。度分带两种方法。 321L0NLn454341393735333129272523222120191817161514132113813212612011410810296908478721260135129123117111105999387817593第二节第

24、二节 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系 应用大地测量学应用大地测量学 6 6带带号带带号N N和中央子午线经度和中央子午线经度 L LN N的关系式：的关系式： L LN N=6N-3=6N-3 3 3带带号带带号n n和中央子午线经度和中央子午线经度 LnLn的关系式：的关系式： Ln=3nLn=3n 6 6带与带与3 3带带号之间的关系为带带号之间的关系为21nN第二节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系 应用大地测量学应用大地测量学计算高斯平面坐标的两种方法：计算高斯平面坐标的两种方法：1 1、由椭球面上各点大地坐标（、由椭球面上各点大

25、地坐标（B B，L L）求解各点高斯平面）求解各点高斯平面坐标（坐标（x x，y y）：先在椭球面上解算球面三角形，推算各边）：先在椭球面上解算球面三角形，推算各边大地方位角，解算各点大地坐标，然后求解各点的高斯平大地方位角，解算各点大地坐标，然后求解各点的高斯平面坐标。（计算工作量大）面坐标。（计算工作量大） 2 2、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投影平面，、将椭球面上起算元素和观测元素归算至高斯投影平面，然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角，在平面上进然后解算平面三角形，推算各边坐标方位角，在平面上进行平差计算，求解各点的平面直角坐标。行平差计算，求解各点的平面直角坐标。第二节第

26、二节 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系 应用大地测量学应用大地测量学第二种方法的具体推算内容如下（以下图的三角网为例）第二种方法的具体推算内容如下（以下图的三角网为例）: :1 1、将起算点的大地坐标（、将起算点的大地坐标（B B1 1，L L1 1）换算为高斯平面坐标（）换算为高斯平面坐标（x x1 1，y y1 1）2 2、将起算边的大地方位角、将起算边的大地方位角A A1212改换为平面坐标方位角改换为平面坐标方位角T T1212；T T1212=A=A1212-+-+1212 式中，式中，为子午线收敛角，为子午线收敛角，1212为方向改正。为方向改正。3 3、将

27、起算边的大地线长度、将起算边的大地线长度S S1212归算为高斯平面上的直线长度归算为高斯平面上的直线长度D D1212：D D1212=S=S1212+ +S S 式中式中S S为距离改正。为距离改正。4 4、对于椭球面上三角网的各观测方向和观测边长分别进行方向改正和、对于椭球面上三角网的各观测方向和观测边长分别进行方向改正和距离改正，归算为高斯平面上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，距离改正，归算为高斯平面上的直线方向和直线距离。组成平面三角网，平差计算，推求各控制点的平面直角坐标。平差计算，推求各控制点的平面直角坐标。 高斯投影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计算、距离高斯投

28、影坐标计算、平面子午线收敛角计算、方向改正计算、距离改正计算，统称为高斯投影计算。改正计算，统称为高斯投影计算。第二节第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系高斯投影与国家平面直角坐标系 应用大地测量学应用大地测量学第三节第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算由（由（B B，L L）求（）求（x x，y y）高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算由（由（x x，y y）求（）求（B B，L L）第三节第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学因为因为l l是个小量，可将上式展开为是个小量，可将上式展开为l l的幂

29、级数的幂级数2340123423401234xmmlm lm lm lynnln ln ln l式中的式中的m m、n n是待定系数，是等量纬度是待定系数，是等量纬度q q的函数的函数12,xfq lyfq l确定待定系数分三步进行：确定待定系数分三步进行：第一步：引入正形投影的柯西黎曼条件，导出待定系数方程第一步：引入正形投影的柯西黎曼条件，导出待定系数方程第三节第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学2340312423412345234031242341234523452345dmdmdmdmdmxllllqdqdqdqdqdqxmm lm lm lm ll

30、dndndndndnyllllqdqdqdqdqdqynn ln ln ln ll xyxylqql 2342340312412345234234031241234523452345dmdmdmdmdmllllnn ln ln ln ldqdqdqdqdqdndndndndnmm lm lm lm llllldqdqdqdqdq 031241234503124123451111, , ,23451111, 2345dmdmdmdmdmnnnnndqdqdqdqdqdndndndndnmmmmmdqdqdqdqdq 若使上式成立，若使上式成立，l的同次幂的系数必须相等，于是有下面的待定系数方的同

31、次幂的系数必须相等，于是有下面的待定系数方程：程： 应用大地测量学应用大地测量学第三节第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算第二步：引入中央子午线投影后为纵坐标轴的条件第二步：引入中央子午线投影后为纵坐标轴的条件 应用大地测量学应用大地测量学第三节第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算2340123423401234xmmlm lm lm lynnln ln ln l0,0ly00n 031241234503124123451111, , ,23451111, 2345dmdmdmdmdmnnnnndqdqdqdqdqdndndndndnmmmmmdqdqdqdqdq 123450mnmn

32、m5533144220lnlnlnylmlmmx 应用大地测量学应用大地测量学第三节第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算2340123423401234xmmlm lm lm lynnln ln ln l简化为简化为第三步：引入中央子午线投影后长度不变的条件第三步：引入中央子午线投影后长度不变的条件00,lxmX01coscosdmdX dBNBnMNBdqdB dqM11211sincos222dndn dBNmBBdqdB dq 第三节第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学5533144220lnlnlnylmlmmx即得正算公式即得正算公式2313dm

33、ndq3414dnmdq 4515dmndq投影方程高斯投影必须满足以下三个条件：24322465243322552422 2sincossincos594224 sincos61 58720coscos16 cos5 181458120llxXNBBNBBtlNBBttlylNBNBtlNBttt第三节第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学x x的主项是的主项是X X，y y的主项是的主项是lNcosBlNcosByxlyxB,21（1 1）x x坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；（2 2）x x轴上的长度投影保持

34、不变；轴上的长度投影保持不变；（3 3）正形投影条件）正形投影条件第三节第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学投影方程投影方程必须满足的条件必须满足的条件由第一个条件可知由第一个条件可知B是是y的偶函数，的偶函数，l是是y的奇函数，因此的奇函数，因此5532144220ynynynlynynnB第三个条件是柯西第三个条件是柯西- -黎曼条件，为黎曼条件，为yqxlylxqxlMBNyBylMBNxBcoscosBNMdBdqcos由此可写出：由此可写出：第三节第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学55331342452314422

35、0cos4253cosydxdnydxdnydxdnMBNynynynynnMBNydxdnydxdndxdn第三节第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学让对应的项分别相等得让对应的项分别相等得dxdnBNMndxdnMBNndxdnBNMndxdnMBNndxdnBNMn4534231201cos54coscos3cos21cos显然，问题的关键是求：显然，问题的关键是求：dxdn0根据（2 2）x x轴上的长度投影保持不变；轴上的长度投影保持不变；即当即当0y时，有：时，有：fBnB0fB为为x=Xx=X对应的纬度，叫做底点纬度对应的纬度，叫做底点纬度因此因

36、此dXdBdxdnf0顾及顾及ffdBMdX 第三节第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学第三节第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学最后可以求得最后可以求得,5432nnnn代入到上面的公式中，经整理得反算公式代入到上面的公式中，经整理得反算公式于是：于是：fffffffffffffBNMBNMdXdBBNMdXdnBNMncos11coscoscos01则有：则有：ffMdXdB152224253222642542222328624285cos120121cos61cos145906172093524cos2ytttBNytB

37、NyBNlyttNMtyttNMtyBNMtBBffffffffffffffffffffffffffffff第三节第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学 高斯投影的坐标反算公式的几何解释高斯投影的坐标反算公式的几何解释第三节第三节 高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算 应用大地测量学应用大地测量学第四节第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面 应用大地测量学应用大地测量学tandxdytanxlyl332224222524sincossincos596coscos1cos5 18224xllNBBNBBtlyllNBNBt

38、NBttl 应用大地测量学应用大地测量学第四节第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面12311xxxx 12422252411cos1cos5 18cos224yllNBtNBttlNB242224424tansin1cos132cos242315lllBBtBtt25442322cossin151231cossin31sintBlBBlBlB 应用大地测量学应用大地测量学第四节第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面35arctan35xxxx3511tantantan35l 子午线收敛角为奇函数，以东

39、时为正，以西时为负子午线收敛角为奇函数，以东时为正，以西时为负l 随随l l的增大而增大的增大而增大l 当当l l相同时，随相同时，随B B的增大而增大，在极点处达到最大，在赤道上为的增大而增大，在极点处达到最大，在赤道上为0 0第四节第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面 应用大地测量学应用大地测量学tancosecMdBdqdeNBdldl ,qldqdy dldyyytanqlyy 3524352tan12315ffffffffyyytttNNN352242435212253315fffffffffffyyyttttttNNN第四节第四节 椭

40、球面上的方向和长度归算至高斯投影平面椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面 应用大地测量学应用大地测量学第四节第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面 应用大地测量学应用大地测量学方向改正方向改正正形投影后，椭球面上大地线投影到平面上仍为曲线，正形投影后，椭球面上大地线投影到平面上仍为曲线，化为直线方向所加的改正化为直线方向所加的改正。baab360360baabbaab2221baab 2RPP P是球面图形的面积是球面图形的面积DEBEADP2babaedyBEyADxxxxDEbambabaxxyRyyxxR 222适用于三、四等三角测量的方向

41、改正计算公式，上式的计算精度为适用于三、四等三角测量的方向改正计算公式，上式的计算精度为0.1。第四节第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面 应用大地测量学应用大地测量学考虑到正负号考虑到正负号bambabamabxxyRxxyR 222,2 121221 , 2211222, 12626yyxxRyyxxRmm更精确的计算公式是更精确的计算公式是04812162024283236401002003000.00.00.01.02.03.02.04.16.13.06.19.14.08.112.25.110.115.26.112.218.27.114.

42、221.38.116.224.39.118.327.410.120.330.4kmxx/12kmym/第四节第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面 应用大地测量学应用大地测量学概略数值概略数值可见，对于各等三角测量计算，方向改正都不能忽视第四节第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面 应用大地测量学应用大地测量学距离改正距离改正椭球面上大地线长椭球面上大地线长S S改换为平面上投影曲线两端点间的改换为平面上投影曲线两端点间的弦长弦长D D，要加距离改正，要加距离改正S S。242222(1)22424mm

43、yyyDSRRR 上式即为大地线长度上式即为大地线长度S S归算到高斯平面上直线距离归算到高斯平面上直线距离D D的计算公式，的计算公式，对于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去对于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去 项，对于三四等边长的归算又可再略去项，对于三四等边长的归算又可再略去 项。项。 4my2y第五节第五节 高斯投影坐标换带计算高斯投影坐标换带计算 应用大地测量学应用大地测量学（1 1）当控制网位于两个相邻投影带的边缘地区并横跨两个投影带，）当控制网位于两个相邻投影带的边缘地区并横跨两个投影带，为了能在同一带内进行平差计算，必须把控制网起算点的

44、坐标换算到为了能在同一带内进行平差计算，必须把控制网起算点的坐标换算到同一个投影带内。同一个投影带内。（2 2）在分带子午线附近地区测图或进行测量工程时，往往需要用到）在分带子午线附近地区测图或进行测量工程时，往往需要用到另一带内的控制成果，因此，也需要将这些点的坐标换算到同一带内。另一带内的控制成果，因此，也需要将这些点的坐标换算到同一带内。（3 3）当大比例尺测图时，特别是在工程测量中，为了限制投影变形，）当大比例尺测图时，特别是在工程测量中，为了限制投影变形，常要求采用常要求采用3 3带、带、1.51.5带或任意带投影，而国家控制点成果通常只带或任意带投影，而国家控制点成果通常只有有6

45、6带坐标，这时就产生了带坐标，这时就产生了6 6带与带与3 3带（或带（或1.51.5带、任意带）之带、任意带）之间的相互坐标换算问题。间的相互坐标换算问题。第五节第五节 高斯投影坐标换带计算高斯投影坐标换带计算 应用大地测量学应用大地测量学6 6带坐标带坐标相邻相邻6 6带坐标；带坐标；6 6带坐标带坐标33带坐标；带坐标；3 3带坐标带坐标相邻相邻3 3带坐标；带坐标；6 6带或带或3 3带坐标带坐标任意带坐标；任意带坐标；第五节第五节 高斯投影坐标换带计算高斯投影坐标换带计算 应用大地测量学应用大地测量学 首先将某投影带内已知点的平面坐标（首先将某投影带内已知点的平面坐标（x1, y1x

46、1, y1），按），按高斯投影坐标反算公式求得其在椭球面上的大地坐标（高斯投影坐标反算公式求得其在椭球面上的大地坐标（B, B, L L）；然后根据纬度和所需换算的投影带的中央子午线经）；然后根据纬度和所需换算的投影带的中央子午线经度度L0L0，计算该点在新投影带内的经差，计算该点在新投影带内的经差l l，再按高斯投影坐，再按高斯投影坐标正算公式计算该点在新投影带内的高斯平面坐标（标正算公式计算该点在新投影带内的高斯平面坐标（x2, x2, y2y2）。至此，就完成了高斯投影坐标的换带计算问题。）。至此，就完成了高斯投影坐标的换带计算问题。 第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用

47、横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学应用大地测量学一、通用横轴墨卡托投影的概念一、通用横轴墨卡托投影的概念 等角正圆柱投影等角正圆柱投影 荷兰制图学家荷兰制图学家 编制海图编制海图 等角正割圆柱投影等角正割圆柱投影 赤道上的长度比最小赤道上的长度比最小 两极的长度比最大两极的长度比最大 等角航线：各点的大地方位角均相同，投影后为直线等角航线：各点的大地方位角均相同，投影后为直线第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学应用大地测量学一、通用横轴墨卡托投影的概念一、通用横轴墨卡托投影的概念Universal Transverse

48、Mercator ProjectionUniversal Transverse Mercator Projection（UTMUTM投影）投影）横轴等角割椭圆柱投影，割线距中央子午线横轴等角割椭圆柱投影，割线距中央子午线1.41.4与高斯投影类似，只是中央子午线投影长度比为与高斯投影类似，只是中央子午线投影长度比为0.99960.9996投影后两条割线上没有变形投影后两条割线上没有变形它的平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个它的平面直角系与高斯投影相同，且和高斯投影坐标有一个简单的比例关系简单的比例关系由美国军事测绘局由美国军事测绘局19381938年提出，年提出，19451945

49、年开始采用年开始采用第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学应用大地测量学一、通用横轴墨卡托投影的概念一、通用横轴墨卡托投影的概念第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学应用大地测量学经线中央1E1pp6E一、通用横轴墨卡托投影的概念一、通用横轴墨卡托投影的概念第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学应用大地测量学 425552233422342185cos1201cos6cos9996. 0495cossin24coss

50、in29996. 0ttBNltBNlBlNytBBNlBBNlSx一、通用横轴墨卡托投影的概念一、通用横轴墨卡托投影的概念坐标正算公式坐标正算公式长度比公式长度比公式4424222cos812cos611cos2119996. 0lBtBlBm22331cossin3sinBBlBl子午线收敛角公式子午线收敛角公式01.5360504030200（0.000 40）0（0.000 40）0（0.000 40）0（0.000 40）0（0.000 40）0.00009（-0.000 31）0.00014（-0.000 26）0.00020（-0.000 20）0.00026（-0.000 14

51、）0.00030（-0.000 10）0.00034（-0.000 06）0.00057（+0.000 17）0.00081（+0.000 41）0.00103（+0.000 63）0.00122（+0.000 81）第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学应用大地测量学高斯投影与高斯投影与UTMUTM投影的长度变形比较表投影的长度变形比较表Bl一、通用横轴墨卡托投影的概念一、通用横轴墨卡托投影的概念第六节第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介 应用大地测量学应用大地测量学 兰勃脱投影是正形正轴圆锥投影。设想用一个圆锥套兰勃脱投影是正形正轴圆锥投影。设想用一个圆锥套在地