6-2 定积分在几何学上的应用

1、四、四、 旋转体的侧面积旋转体的侧面积 (补充补充)三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长 第二节第二节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 体积体积定积分在几何学上的应用 第六六章 教学目的与要求：掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积）。 重点：重点： 平面图形的面积、旋转体的体积平面图形的面积、旋转体的体积 。 难点：难点：平面图形的面积（极坐标情况）、平面图形的面积（极坐标情况）、 旋转体的体积。旋转体的体积。 一、一、 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy a

2、b曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12(一一)、直角坐标系情形、直角坐标系情形xxxx x 例例 1 1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线xy 2和和2xy 所围成的所围成的图形的面积图形的面积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9

3、 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？x例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2,

4、 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy 切切线线所所围围成成图图形形的的面面积积 和和点点( (3 3, ,0 0) )处处的的 与与其其在在点点 求求抛抛物物线线)(0, xxy。例4xyo3 3 xy 由由得两切线的斜率为得两切线的斜率为 , k故两切线为故两切线为 , : xyl其交点的横坐标为其交点的横坐标为 x d)(xxxx 。 k xyl : d)34(342230 xxxx。S =l1l2如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()

5、(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx 具有连续导数，具有连续导数，)(ty 连续连续.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 例6. 求由摆线求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos

6、1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Axyoa2 设由曲线设由曲线)( r及射线及射线 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( 在在, 上连续，且上连续，且0)( (二二)、极坐标系情形、极坐标系情形 ( )d o +d r = ( )1 1 取极角取极角 为积分变量，为积分变量， 其变化区间为其变化区间为 , , d)(d S以圆扇形面积近似小以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到曲边扇形面积，得到面积元素：面积元素： , . d)(S. dSS3 作定积分作定积分.r

7、 xo d d )( r面积元素面积元素ddS2)(21曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212dSxy 2cos22a 1A即即0 xya2P,2 aFF )0 ,( aF )0 ,(aF FF 与到)(2a r cos2222raar cos2222raar 42222222cos4)()(aarar 2cos222ar 02cos )2 ,47()45,43()4, 0( . .)(2)( 222222yxayx 曲线在极点自己相交，与此对应的角度为曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =,4 ,43 ,45 47 . . . . .距离之积为距离之积为a2的点的轨迹的点的轨迹直角系方程

8、直角系方程 双线0 xya2 2cos222ar .所围面积所围面积4 . )d( rS22a . .由对称性由对称性 dcos a. 例6.xyoaa一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。 心形线 (圆外旋轮线圆外旋轮线) 心形线xyoa来看动点的慢动作来看动点的慢动作一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。. 心形线 (圆外旋轮线圆外旋轮线)axyoaa2a来看动点的慢动作来看动点的慢动作一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无

9、滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。. (圆外旋轮线圆外旋轮线) 心形线xyo2ar = a (1+cos )0 2 0 r 2aP r一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。. (圆外旋轮线圆外旋轮线) 心形线解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下

10、、极坐标系下平面图形的面积. .（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）( (三三) )、小结、小结xa圆上任一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。1.1 旋轮线一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，x来看动点的慢动作来看动点的慢动作圆上任一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。.一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，1.2 旋轮线2a2 a0yx ax = a (t sint)y = a (1 cost)t t 的几何意义如图示的几何意义如图示ta当当 t 从从 0 2 ，x从从 0 2 a即曲线走了一拱即曲线走了一拱

11、a圆上任一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。1.3 旋轮线.一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，x=a (t sint)y=a (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板2.1 旋轮线也叫摆线x=a (t sint)y=a (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板.2.2 旋轮线也叫摆线.2.3 旋轮线也叫摆线x=a (t sint)y=a (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板两个旋轮线形状的挡板两个旋轮线形状的挡板, , 使摆动周

12、期与摆幅完全无关。使摆动周期与摆幅完全无关。在在1717世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线摆线。.2.4 旋轮线也叫摆线x=a (t sint)y=a (1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板x=a (t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题: : 质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 c

13、ost)3.1 旋轮线是最速降线生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？x=a (t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题: : 质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 cost).生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？3.2 旋轮线是最速降线x=a (t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题: : 质点在重

14、力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 cost)生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？3.3 旋轮线是最速降线.x=a (t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题: : 质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a (1 cost)生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗

15、？滑板的轨道就是这条曲线滑板的轨道就是这条曲线3.4 旋轮线是最速降线.xyoa4a a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。4.1 星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)xyoa a来看动点的慢动作来看动点的慢动作一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.4.2 星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)xyoa a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。来看动点的慢动作来

16、看动点的慢动作.4.3 星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)xyo323232ayx 33sincosayaxa a0 2 或或.P .一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.4.4 星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线) )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动） 直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹5.1 圆的渐伸线a )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动） 直线上直线上一个定

17、点一个定点的的轨迹轨迹.a5.2 圆的渐伸线再看一遍再看一遍 )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy.a一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动） 直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹5.3 圆的渐伸线a0 xMttaat(x,y) )cos(sin)sin(costttaytttax0 xy试由这些关系推出曲线的方程试由这些关系推出曲线的方程.一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动） 直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹5.4 圆的渐伸线1. 曲线关于曲线关于 y= x 对称对称2. 曲线有渐进线曲线有渐进线 x+y+a = 0分析分析3.

18、 令令 y = t x, 得参数式得参数式 1313323 tatytatx-1) ,(- tt , t 当当, 0 t 当当故在原点，曲线自身相交故在原点，曲线自身相交.,t 由由 当当 ),-(0,0) 动动点点由由,t 由由 当当 (0,0),( 动动点点由由,t 由由 当当(0,0)(0,0) 动动点点由由线线. .依依逆逆时时针针方方向向画画出出叶叶形形)( 00333 aaxyyx6.1 卡儿形线)0 , 0(),( yx)0 , 0(),( yx也也有有4.0 xyx+y+a = 0)( 00333 aaxyyx曲线关于曲线关于 y= x 对称对称 1313323 tatytat

19、x曲线有渐近线曲线有渐近线 x+y+a=0.6.2 卡儿形线0rr =a 曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线 7.1 阿基米德螺线0r曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线.7.2 阿基米德螺线r =a 0r曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动

20、同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线再看一遍再看一遍请问：动点的轨迹什么样？请问：动点的轨迹什么样？.7.3 阿基米德螺线r =a 0r.7.4 阿基米德螺线r =a 0rr =a .7.5 阿基米德螺线0rr =a .7.6 阿基米德螺线0r8当当 从从 0 r =a .7.7 阿基米德螺线对应 从 0 变 例.计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解: :)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停 到 2 所围图形面积 . ar r0.这里这里 从从 0

21、+8a0lim r 极极点点是是曲曲线线的的渐渐近近点点 sinry sin aay 0lim是是曲曲线线的的渐渐近近线线ay .8.1 双曲螺线 ar r0.当当 从从 0 8a.8.2 双曲螺线xyo1.2d)cos1(21230 .S = =1+cos 3r =3cos 部部分分的的面面积积 共共 分分别别所所围围成成的的图图形形的的公公 及及 求求曲曲线线rr coscos 由由 3cos =1+cos 得交点的坐标得交点的坐标 232dcos29 23.2.1 部部分分的的面面积积 共共 分分别别所所围围成成的的图图形形的的公公 及及 求求曲曲线线rr cossin2 0 xy令令

22、cos2 = 0, k由由 sin 0, 联立后得交点坐标联立后得交点坐标, dcos22146 . . .dsin221260 S = 26 .4 的的面面积积。部部分分分分割割为为两两部部分分，求求这这两两 被被心心形形线线圆圆 cos11 xyo3.1 d)cos( s1s2ss ss .sS = =1+cos 求由求由双纽线双纽线0 xyar cos.212 2a . .由对称性由对称性.4.a a6 )()(2 2 所所围围而而且且在在圆圆周周 2 2ayxyxayx 内部的面积。内部的面积。双纽线化成极坐标双纽线化成极坐标 a)(令令 r = 0, k k, ar令令 dcos22

23、1246a S = 4+.4 思考题一思考题一 设设曲曲线线)(xfy 过过原原点点及及点点)3 , 2(，且且)(xf为为单单调调函函数数，并并具具有有连连续续导导数数，今今在在曲曲线线上上任任取取一一点点作作两两坐坐标标轴轴的的平平行行线线，其其中中一一条条平平行行线线与与x轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积是是另另一一条条平平行行线线与与y轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积的的两两倍倍，求求曲曲线线方方程程.思考题一解答思考题一解答1S2Sx xy yo o)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00

24、 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 两边同时对两边同时对 求求导导xyxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 , 2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为所以所求曲线为.223xy 二、体二、体 积积 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台(一一)、旋转体的体积、旋转体的体积一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直

25、直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy y例例 1 1 连接坐标原点连接坐标原点O及点及点),(rhP的直线、直线的直线、直线hx 及及x轴围成一个直角三角形将它绕轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋轴旋转构成一个底

26、半径为转构成一个底半径为r、高为、高为h的圆锥体，计算的圆锥体，计算圆锥体的体积圆锥体的体积r解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上上任任取取小小区区间间,dxxx ，xo直线直线 方程为方程为OP以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为dxxhrdV2 圆锥体的体积圆锥体的体积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoa aoyx例例 2 2 求求星星形形线线323232ayx )0( a绕绕x轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.解解,323232xay 332322 xay,

27、aax 旋旋转转体体的的体体积积dxxaVaa33232 .105323a 类类似似地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(yx 、直直线线cy 、dy 及及y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为xyo)(yx cddyy2)( dcV例例 3 3 求求摆摆线线)sin(ttax ，)cos1(tay 的的一一拱拱与与0 y所所围围成成的的图图形形分分别别绕绕x轴轴、y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dt

28、tata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积可可看看作作平平面面图图OABC与与OBC分分别别绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积之之差差.dyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta注意上下限 !2320(sin ) sinatttdt .633a 分部积分对称关于2注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令u

29、uusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226a2柱壳体积说明: xxxdy也可按柱壳法求出yVyx2柱面面积xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02偶函数yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函数336a补充补充 如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线

30、线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为dxxfxVbay| )(|2 柱壳法利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a ayxb例4. 计算由椭圆计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xx

31、aab0a234aboaV02xy d2x方法2 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程tbytaxsincos则xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343a解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM轴所围图及表示xtxxfytV)0(, )()(例6. 设设)(xfy 在 x0 时为连续的非负函数, 且 ,0)0(f形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:. )(2)(tf

32、tV 证证:x)(xfxoytxxd利用柱壳法xxfxtVd)()(2d则xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故xoab(二二)、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，

33、)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积则对应于小区间d,xxx的体积元素为xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为已知平行截面面积为 A(x)的立体的立体 baxxAVd)(.aV 平行截面面积为已知的立体的体积bxyoabxyoab)(xfy 特别特别 , 当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdyRR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方

34、程为底圆方程为222Ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA )(RxR立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R oRxy思考: 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角角形形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积

35、dxxRhVRR 22.212hR abzxyco垂直 x 轴的截面是椭圆1)1 ()1 (22222222axaxczby例9. 计算由曲面计算由曲面1222222czbyax所围立体(椭球体)解解:它的面积为)1 ()(22axbcxA因此椭球体体积为xbcaxd)1 (22bc20abca34特别当 a = b = c 时就是球体体积 .)(axaaV02x233axx的体积.ox1 2yBC3A例10. 求曲线求曲线132xy与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解解: 利用对称性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋转体体积为V432xxd)2(

36、321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(322122旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周(三三)、小结、小结思考题二思考题二 求求曲曲线线4 xy，1 y，0 x所所围围成成的的图图形形绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.思考题二解答思考题二解答xyo 14yxy交点交点),1 , 4(立体体积立体体积dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y

37、三、三、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长(一一)、平面曲线弧长的概念、平面曲线弧长的概念定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims则称( (二二) )、直角坐标情形、直角坐标情形sdyxabo曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(12(P1

38、68)22)(d)(ddyxs解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例 2 2 计计算算曲曲线线 dnynx 0sin的的弧弧长长)0( nx.解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n )ch(cxccxccsh1例3. 两根电线杆之间的电线两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成悬链线 .求这一段弧长 . 解

39、解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy下垂悬链线方程为曲线弧为曲线弧为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数.(三三)、参数方程情形、参数方程情形弧长元素(弧微分) :22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧长弧长.)()(22dttts 解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224

40、dttta 20cossin34.6a 例5. 计算摆线计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2证证设设正正弦弦线线的的弧弧长长等等于于1sdxys 20211dxxa 2022cos1设椭圆的周长为设椭圆的周长为2s,cos12022dxxa ,20222dtyxs 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,

41、1s 故原结论成立故原结论成立.dtta 022cos12曲线弧为曲线弧为)( )( rr 其其中中)( 在在, 上上具具有有连连续续导导数数. sin)(cos)(ryrx)( (四四)、极坐标情形、极坐标情形弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) :22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧长弧长.)()(22 drrs )0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 解解,ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa22

42、2 20a d12 平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式 (五五)、小结、小结思考题三思考题三 闭闭区区间间,ba上上的的连连续续曲曲线线)(xfy 是是否否一一定定可可求求长长？思考题三解答思考题三解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积 (补充补充)xyoab设平面光滑曲线, ,)(1baCxfy求上的圆台的侧面积位于d,xxxsySd2d积分后得旋转体的侧面积xxfx

43、fSbad)(1)(22,0)(xf且它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abxxyo)(xfy abxsySd2d侧面积元素xyd2sdxdxyd2因为的线性主部 .若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 )(2ttttd)()(22S注意:侧面积为xRyo例11. 计算圆计算圆上绕在,21222RRxxxRyxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解解: 对曲线弧,2122xxxxRy应用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxx

44、R)(212xxR当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式24RS1x2xozyx例12. 求由星形线求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S .解解: 利用对称性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32绕 x 轴旋转 taytax33sin,cos第六章 内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须

45、上大下小21d)()(tttttAd)(212A3. 已知平行截面面面积函数的立体体积已知平行截面面面积函数的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴 :4. 旋转体的侧面积sySd2d侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)yxxA2)(绕 y 轴 :(柱壳法)(xyy ,)(轴旋转绕xxyy 思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示提示: 交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(41553

46、73s以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 2. 试用定积分求圆试用定积分求圆)()(222bRRbyx绕 x 轴oxyRbR上上半圆为22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求体积 :提示提示:方法方法1 利用对称性旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .方法2 用柱壳法用柱壳法RbRVdy2x2ydRbRbV4oxyybyRyd)(22ybR222说明说明: 上式可变形为2RVb2d2bR 20上上半圆为,22xRby下下 y22xRx此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). dd2bRV备用题解解：1. 求曲线所

47、围图形的面积.1lnlnyx显然1ln,1lnyxyoxe1e1e11eeyeexe11,xln,ln x,ln xex 111xeyln,ln y,ln yey 111ye11xe11ye,1exy 中曲线为面积为同理其它.eyx1exy exy exy S11dex)1(exexex1d)(exxe2121ee又故在区域分析曲线特点2. ) 1( xxyoyx解解:41)(221 x1A) 1( xxy与 x 轴所围面积1101d) 1(xxxA61,0时2A12d) 1(xxxA,21AA 由61213123,0)2131(2得0,2321由图形的对称性 ,211,2143也合于所求.

48、为何值才能使) 1( xxy.) 1(轴围成的面积及与于xxxxy与 x 轴围成的面积等故,0)(2r令3. 求曲线cos1ar 图形的公共部分的面积 .解解：与)sin(cos2 ar所围成)sin(cos2 ar得所围区域的面积为S0422d)(21r2221a0422d)sin(cos2a28a)22cos(22a4028a4) 1(2a4cos1ar o设平面图形 A 由xyx222与xy 所确定 , 求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示提示： 选 x 为积分变量.旋转体的体积为V102d)2)(2(2xxxxx32212yox2114.若选 y 为积分变量,

49、则 V1022d)11 (2yy102d)2(yyxy一、一、 填空题：填空题：1 1、 由曲线由曲线eyeyx ,及及y轴所围成平面区域的面积轴所围成平面区域的面积是是_ . .2 2、 由曲线由曲线23xy 及直线及直线xy2 所围成平面区域的所围成平面区域的面积是面积是_ ._ .3 3、 由曲线由曲线 1,1,1,12 xxyxxy所围成所围成平面区域的面积是平面区域的面积是_ ._ .4 4、 计计算算xy22 与与4 xy所所围围的的区区域域面面积积时时，选选用用_ _ _ _ _作作变变量量较较为为简简捷捷 . .5 5、 由由曲曲线线xxeyey ,与与直直线线1 x所所围围成

50、成平平面面区区域域的的面面积积是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .练练 习习 题题 一一6 6 曲曲线线2xy 与与它它两两条条相相互互垂垂直直的的切切线线所所围围成成平平面面图图 形形的的面面积积S，其其中中一一条条切切线线与与曲曲线线相相切切于于点点 ),(2aaA，0 a，则则当当 a_ _ _时时，面面积积S最最小小 . .二二、 求求由由下下列列各各曲曲线线所所围围成成的的图图形形的的面面积积：1 1、xy1 与与直直线线xy 及及2 x；2 2、 y2x与与直直线线xy 及及xy2 ；3 3、 )cos2(2 ar；4 4、摆线、摆线)cos1(,)sin(taytt

51、ax )20( t及及x轴；轴；5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡尔叶形线、笛卡尔叶形线axyyx333 . .三、三、 求抛物线求抛物线342 xxy及其在点及其在点)3,0( 和和)0,3(处的切线所围成的图形的面积处的切线所围成的图形的面积 . .四、四、 求位于曲线求位于曲线xey 下方，该曲线过原点的切线的下方，该曲线过原点的切线的左方以左方以轴轴及及 x上方之间的图形的面积上方之间的图形的面积 . .五、五、 求由抛物线求由抛物线axy42 与过焦点的弦所围成的图形与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值面积的最小值 . .一、一、1 1、1 1； 2 2、332； 3 3、2 2； 4 4、y； 5 5、21 ee； 6 6、21. .二、