离散状态空间设计研究PPT学习教案

1、会计学1离散状态空间设计研究离散状态空间设计研究2021-10-172 状态空间设计法是建立在矩阵理论基础上、采状态空间设计法是建立在矩阵理论基础上、采用状态空间模型对多输入多输出系统进行描述、分用状态空间模型对多输入多输出系统进行描述、分析和设计的方法。用状态空间模型能够分析和设计析和设计的方法。用状态空间模型能够分析和设计多输入多输出系统、非线性、时变和随机系统等复多输入多输出系统、非线性、时变和随机系统等复杂系统，可以了解到系统内部的变化情况。并且这杂系统，可以了解到系统内部的变化情况。并且这种分析方法便于计算机求解。种分析方法便于计算机求解。 第1页/共63页2021-10-1737

2、71 1 状态空间描述的状态空间描述的基本概念基本概念1 . 1 . 离散时间系统的状态空间描述离散时间系统的状态空间描述 设连续的被控对象的状态空间表达式设连续的被控对象的状态空间表达式 )()()(| )( )()()(00tCxtytxtx tButAxtxtt在在 作用下，系统的状态响应为作用下，系统的状态响应为其中其中 为系统的状态转移矩阵。为系统的状态转移矩阵。取取 ， ，考虑到零阶保持器的作用，有，考虑到零阶保持器的作用，有则则（5 51 11 1） （5 51 1） （5 51 13 3） （5 51 1） 第2页/共63页2021-10-174 TkTt作变量置换，令：作变量

3、置换，令： 由此可得系统连续部分的离散化状态空间表达式由此可得系统连续部分的离散化状态空间表达式其中：其中：式中：式中： 为为 维状态向量，维状态向量， 为为 维控制向量，维控制向量， 为为 维输出向量，维输出向量， 为为 维状态转移矩阵，维状态转移矩阵， 为为 维输入矩阵，维输入矩阵， 为为 维输出矩阵。维输出矩阵。（5 51 1） （5 51 1） （5 51 1） 第3页/共63页2021-10-175可用迭代法求得，可用迭代法求得， 即：即：以以k k0 0，1 1， 代入式（代入式（5 51 16 6）离散时间系统状态方程的解离散时间系统状态方程的解第4页/共63页2021-10-1

4、76离散时间系统的能控性离散时间系统的能控性 描述的系统，描述的系统，如果存在有限个控制信号，如果存在有限个控制信号，能使系统从任意初始状态转，能使系统从任意初始状态转移到终态，则系统是状态完全能控的。移到终态，则系统是状态完全能控的。 、 写成矩阵形式写成矩阵形式 能控性定义：能控性定义：对于式对于式根据状态方程的解，有根据状态方程的解，有第5页/共63页2021-10-177则则 、 、 有解的充分必要条件，有解的充分必要条件，也即系统的能控性判据为也即系统的能控性判据为 式中式中: :n n为系统状态向量的维数。为系统状态向量的维数。得到输出的能控性条件为得到输出的能控性条件为 式中式中

5、: : r r 为输出向量的维数。为输出向量的维数。第6页/共63页2021-10-178描述的系统，描述的系统，如果如果能根据有限个采样信号能根据有限个采样信号，确定出系统的初始状态确定出系统的初始状态 ，则系，则系统是状态完全能观的统是状态完全能观的 。 离散时间系统的能观性离散时间系统的能观性 、能观性定义：能观性定义：对于式对于式根据状态方程的解，从根据状态方程的解，从0到到 时刻，各采样时刻，各采样瞬时的观测值为：瞬时的观测值为：第7页/共63页2021-10-179写成矩阵形式写成矩阵形式 则则 有解的充分必要条件，即系统的能观性判据为有解的充分必要条件，即系统的能观性判据为 式中

6、式中n n为系统状态向量的维数为系统状态向量的维数 。第8页/共63页2021-10-17107 72 2 采用状态空间模型的极点配置设采用状态空间模型的极点配置设计计 图图5 52 2 按极点配置设计的控制器按极点配置设计的控制器状态空间模型按极点配置状态空间模型按极点配置设计的控制器由两部分组设计的控制器由两部分组成：一部分是状态观测器，成：一部分是状态观测器，它根据所量测到的输出它根据所量测到的输出 重构出状态重构出状态 ；另一部；另一部分是控制规律，它直接反分是控制规律，它直接反馈重构的状态馈重构的状态 ，构成，构成状态反馈控制。状态反馈控制。 根据分离性原理，控制器的根据分离性原理，

7、控制器的设计可以分为两个独立的部设计可以分为两个独立的部分：一是假设全部状态可用分：一是假设全部状态可用于反馈，按极点配置设计控于反馈，按极点配置设计控制规律；二是按极点配置设制规律；二是按极点配置设计观测器。计观测器。 第9页/共63页2021-10-17111 1 按极点配置设计控制规律按极点配置设计控制规律 设被控对象的离散状态空间表达式为设被控对象的离散状态空间表达式为 控制规律为线性状态反馈控制规律为线性状态反馈 假设反馈的是假设反馈的是被控对象实际的全部状态被控对象实际的全部状态x x( (k k) )得闭环系统的状态方程为得闭环系统的状态方程为 作作Z Z变换变换 显然，闭环系统

8、的特征方程为显然，闭环系统的特征方程为 图图5-3 5-3 状态反馈系统结构图状态反馈系统结构图 第10页/共63页2021-10-1712如何设计反馈控制规律，如何设计反馈控制规律， 以使闭环系统具有所期望的极点配置以使闭环系统具有所期望的极点配置 ？ 首先根据对系统的性能要求，找出所期望的闭环系统控制首先根据对系统的性能要求，找出所期望的闭环系统控制极点极点 ，再根据极点的期望值，再根据极点的期望值 ，求得闭环，求得闭环系统的特征方程为系统的特征方程为 反馈控制规律应满足如下的方程反馈控制规律应满足如下的方程 如果被控对象的状态为如果被控对象的状态为 维，控制作用为维，控制作用为 维，则反

9、馈维，则反馈控制规律为控制规律为 维，即维，即 中包含中包含 个元素。个元素。 第11页/共63页2021-10-1713例例7-17-1 对于单输入系统，给定二阶系统的状态方程对于单输入系统，给定二阶系统的状态方程设计状态反馈控制规律设计状态反馈控制规律 ，使闭环极点为，使闭环极点为解解 根据能控性判据，因根据能控性判据，因 所以系统是能控的。期望的闭环特征方程为所以系统是能控的。期望的闭环特征方程为 设状态反馈控制规律设状态反馈控制规律 第12页/共63页2021-10-1714取取 ，比较两边同次幂的系数，有，比较两边同次幂的系数，有可得可得：即状态反馈控制规律即状态反馈控制规律为为 闭

10、环系统的特征方程为闭环系统的特征方程为 第13页/共63页2021-10-17152 2 按极点配置设计状态观测器按极点配置设计状态观测器 在实际工程中，采用全状态反馈通常是不现实在实际工程中，采用全状态反馈通常是不现实的。常用的方法是设计状态观测器，由测量的输出的。常用的方法是设计状态观测器，由测量的输出值值 重构全部状态，实际反馈的只是重构状态重构全部状态，实际反馈的只是重构状态 。即。即 常用的状态观测器有三种。常用的状态观测器有三种。 图图5-4 5-4 状态观测器结构图状态观测器结构图第14页/共63页2021-10-1716状态重构误差的动态性能取决于特征方程根的分布。若状态重构误

11、差的动态性能取决于特征方程根的分布。若状态重构误差为：状态重构误差为： 得状态重构误差方程为：得状态重构误差方程为： 预报观测器的特征方程预报观测器的特征方程： 的特性是快速收敛的，则对于任何初始误差的特性是快速收敛的，则对于任何初始误差 ， 都将快都将快速收敛到零。因此，只要适当地选择增益矩阵速收敛到零。因此，只要适当地选择增益矩阵 ，便可获得，便可获得要求的状态重构性能。要求的状态重构性能。 预报观测器预报观测器观测器方观测器方程程第15页/共63页2021-10-1717如果给出观测器的极点，可求得观测器的特征方程如果给出观测器的极点，可求得观测器的特征方程 为了获得所需要的状态重构性能

12、，应有为了获得所需要的状态重构性能，应有 通过比较两边通过比较两边z z的同次幂的系数，可求得的同次幂的系数，可求得 中的中的n n个未知数。个未知数。 对于任意的极点配置，对于任意的极点配置， 具有唯一解的充分必要条具有唯一解的充分必要条件是对象是完全能观的。件是对象是完全能观的。 第16页/共63页2021-10-1718现时观测器现时观测器观测器方程观测器方程 状态重构误差为状态重构误差为 状态重构误差方程：状态重构误差方程： 第17页/共63页2021-10-1719现时观测器特征方程：现时观测器特征方程： 为使现时观测器具有期望的极点配置，应有为使现时观测器具有期望的极点配置，应有

13、同理，通过比较两边同理，通过比较两边z z的同次幂的系数，可的同次幂的系数，可求得求得K K 中的中的n n个未知数。个未知数。降阶观测器降阶观测器 将原状态向量分成两部分，一部分是可以直将原状态向量分成两部分，一部分是可以直接测量的接测量的 ，一部分是需要重构的，一部分是需要重构的 。第18页/共63页2021-10-1720被控对象的离散状态方程可以分块表示为被控对象的离散状态方程可以分块表示为 )()()()1()1()1(bababbbaabaabakuGGkxkxFFFFkxkxkx 即即比较比较得：得：第19页/共63页2021-10-1721观测器方程观测器方程: :状态重构误差

14、方程：状态重构误差方程： 降阶观测器特征方程：降阶观测器特征方程： 同理，使同理，使 ，通过比较两，通过比较两边边z z的同次幂的系数，可求得的同次幂的系数，可求得K K 中的中的n n个未知数。个未知数。第20页/共63页2021-10-17223 3 按极点配置设计控制器按极点配置设计控制器 1 1）控制器组成）控制器组成 设被控对象的离散状态空间描述为设被控对象的离散状态空间描述为控制器由预报观测器和状态反馈控制律组成，即控制器由预报观测器和状态反馈控制律组成，即2 2）分离性原理）分离性原理闭环系统的状态方程为闭环系统的状态方程为 矩阵形式：矩阵形式： 第21页/共63页2021-10

15、-1723闭环系统的特征方程为闭环系统的特征方程为 可见，闭环系统的可见，闭环系统的2 2n n个极点由两部分组成，一部分是按极个极点由两部分组成，一部分是按极点配置设计的控制规律给定的点配置设计的控制规律给定的n n个极点，称为控制极点，另个极点，称为控制极点，另一部分是按极点配置设计的状态观测器给定的一部分是按极点配置设计的状态观测器给定的n n个极点，称个极点，称为观测器极点。两部分相互独立，可分别设计为观测器极点。两部分相互独立，可分别设计 。 第22页/共63页2021-10-17243 3）数字控制器实现）数字控制器实现设状态反馈控制规律为设状态反馈控制规律为代入预报观测器方程代入

16、预报观测器方程观测器与控制规律的关观测器与控制规律的关系系 得控制器的脉冲传递函数为得控制器的脉冲传递函数为 将脉冲传递函数转将脉冲传递函数转换为差分方程，就换为差分方程，就可以在计算机上实可以在计算机上实现数字控制器。现数字控制器。第23页/共63页2021-10-1725 ，无阻尼自然频率，无阻尼自然频率 ； 观测器极点所对应的衰减速度比控制极点所对应观测器极点所对应的衰减速度比控制极点所对应的衰减速度快约的衰减速度快约3 3倍。倍。例例7 73 3 设被控对象的传递函数为设被控对象的传递函数为 ，采样，采样周期周期 ，采用零阶保持器，试设计状态反馈控制器，采用零阶保持器，试设计状态反馈控

17、制器，要求：要求： 闭环系统的性能相应于二阶连续系统的阻尼比闭环系统的性能相应于二阶连续系统的阻尼比解解 被控对象的等效微分方程为被控对象的等效微分方程为 定义两个状态变量定义两个状态变量 第24页/共63页2021-10-1726则被控对象的连续状态空间表达式则被控对象的连续状态空间表达式离散状态空间表达式离散状态空间表达式其中：其中：第25页/共63页2021-10-1727判断被控对象的能控性和能观性判断被控对象的能控性和能观性 因此，被控对象是能控且能观的。因此，被控对象是能控且能观的。根据能控性判据和能观性判据根据能控性判据和能观性判据 设计状态反馈控制规律设计状态反馈控制规律 设状

18、态反馈控制规律为设状态反馈控制规律为 ，对应的特征方程为，对应的特征方程为 第26页/共63页2021-10-1728根据对闭环极点的要求，对应的极点和特征方程为根据对闭环极点的要求，对应的极点和特征方程为由由 ，可得，可得解得解得L L1 12 2，L L2 20.3170.317，即，即第27页/共63页2021-10-1729 设计状态观测器设计状态观测器 选用现时观测器，设观测器增益矩阵为选用现时观测器，设观测器增益矩阵为 现时观测器的特征方程为现时观测器的特征方程为 依题意：依题意：对应的特征方程为对应的特征方程为第28页/共63页2021-10-1730解得解得 ， ，即，即 由由

19、 ，可得，可得 组成控制器组成控制器 其中其中 ，。第29页/共63页2021-10-17317 73 3 采用状态空间模型的最优化设计采用状态空间模型的最优化设计针对随机系统按最优化方法设计控制器。针对随机系统按最优化方法设计控制器。 假定被控对象是线性的，系统性能指标是状假定被控对象是线性的，系统性能指标是状态和控制的二次型函数，则系统的综合问题就是态和控制的二次型函数，则系统的综合问题就是寻求允许的控制信号序列，使性能指标函数最小，寻求允许的控制信号序列，使性能指标函数最小，这类问题称为线性二次型（这类问题称为线性二次型（Linear QuadraticLinear Quadratic）

20、控）控制问题。如果考虑系统中随机的过程干扰和量测制问题。如果考虑系统中随机的过程干扰和量测噪声，且过程干扰和量测噪声均是具有正态分布噪声，且过程干扰和量测噪声均是具有正态分布的白噪声，这类问题称为线性二次型高斯（的白噪声，这类问题称为线性二次型高斯（Linear Linear Quadratic GaussianQuadratic Gaussian）控制问题。）控制问题。第30页/共63页2021-10-1732 最优控制器也是由两部分组成，一部分是最优控制器也是由两部分组成，一部分是状态最优估计器；另一部分是最优控制规律。状态最优估计器；另一部分是最优控制规律。 图图55 最优调节器结构图最优调节器结构图 其设计也可分为两个独立的部分：一是将系统其设计也可分为两个独立的部分：一是将系统看作确定性系统；二是考虑随机的过程干扰看作确定性系统；二是考虑随机的过程干扰 v 和量和量测噪声测噪声w，设计状态最优估计器。，设计状态最优估计器。第31页/共63页2021-10-17331 1 最优控制规律设计最优控制规律设计 有限时间最优调节器设计有限时间最优调节