培训学校北师大版季九年级数学教案

1、戴氏教育中考名校冲刺教育中心数学思维训练一元二次方程考点热点全攻略【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！】一. 考点，难点，热点；1、一元二次方程的定义一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式：，为二次项系数，为一次项系数，为常数项2、一元二次方程的判别式与公式法：设一元二次方程为，其根的判别式为：，是方程的两根，则： 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根若、为有理数，且为完全平方式，则方程的

2、解为有理根；若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根3、可化为一元二次方程的特殊方程：解方程的基本思想：化分式方程为整式方程；化高次方程为一次或二次方程；化多元为一元；化无理方程为有理方程。总之：最后转化为一元一次方程或一元二次方程解方程的基本方法：解整式方程：一般采用消元(加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等)，降次(换元降次、因式分解降次、辅助式降次等)等方法解分式方程：一般采用去分母、换元法、重组法、两边夹等方法解无理方程：一般采用两边平方、根式的定义、性质、换元、构造、三角函数等方法一元二次方程的认识 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 一元二

3、次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式 一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数 一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是 任何一个关于的一元二次方程经过整理都可以化为一般式要特别注意对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程 关于的一元二次方程式的项与各项的系数为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 ，显然只有当时，才能直接开平方得：也就是说，一元二次方程只有当系数、满足条件时才有实数根这里叫做一元二次方程根的判别式判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程

4、的根由其系数、确定，它的根的情况(是否有实数根)由确定判别式：设一元二次方程为，其根的判别式为：则方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根若，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，;有两个相等的实数根时，;没有实数根时， (2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)当时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程

5、只有一个根 当时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当时抛物线开口向下顶点为其最高点一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：(1)运用判别式，判定方程实数根的个数； (2)利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；(3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题；(4)借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题如果一元二次方程（）的两根为那么，就有比较等式两边对应项的系数，得式与式也可以运用求根公式得到人们把公式与称之为韦达定理，即根与系数的关系因此，给定一元二次方程就一定有与式成立反过来，如果有两数满足与，那么这两数

6、必是一个一元二次方程的根利用这一基本知识常可以简捷地处理问题利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性在的条件下，我们有如下结论：当时，方程的两根必一正一负若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值当时，方程的两根同正或同负若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根 韦达定理：如果的两根是，则，(隐含的条件：) 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ， 且， 且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是： 其他： 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有

7、理数) 若，则方程必有实数根 若，方程不一定有实数根 若，则必有一根 若，则必有一根 韦达定理主要应用于以下几个方面： 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 已知方程的两根，求作方程； 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的一些考试中，往往利用这一点设置陷阱二. 典型例题讲解及思维拓展一、知识结构：一元二次方程二、考点精析考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数

8、，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式： 难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）a b c d 变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。针对练习：1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。2、若方程是关于x的一元一次方程，求m的值；写出关于x的一元一次方程。3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。4、若方程nxm+xn-2

9、x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）a.m=n=2 b.m=2,n=1 c.n=2,m=1 d.m=n=1考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题：例1、已知的值为2，则的值为 。例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为 。例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为 。针对练习：1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。求k的值； 方程的另一个解。3、已知m是方程的一个根，则代数式 。4、

10、已知是的根，则 。5、方程的一个根为（ ）a b 1 c d 6、若 。考点三、解法方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：对于，等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程： =0; 例2、若，则x的值为 。针对练习：下列方程无解的是（ ）a. b. c. d.类型二、因式分解法:方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”。 方程形式：如， ，典型例题：例1、的根为（ ）a b c d 例2、若，则4x+y的值为 。变式1： 。变式2：若，则x+y的值为 。变式3：若，则x+y的值为 。例3、方程的解为（ ）a. b. c. d.例4、解方程：

11、 例5、已知,则的值为 。变式：已知,且,则的值为 。针对练习：1、下列说法中：方程的二根为，则 . 方程可变形为正确的有（ ）a.1个 b.2个 c.3个 d.4个2、以与为根的一元二次方程是（）a bc d3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）a、-1或-2 b、-1或2 c、1或-2 d、1或25、方程：的解是 。6、已知，且，求的值。7、方程的较大根为r，方程的较小根为s，则s-r的值为 。类型三、配方法在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数

12、式的值或极值之类的问题。典型例题：例1、 试用配方法说明的值恒大于0。例2、 已知x、y为实数，求代数式的最小值。例3、 已知为实数，求的值。例4、 分解因式：针对练习：1、试用配方法说明的值恒小于0。2、已知，则 .3、若，则t的最大值为 ，最小值为 。4、如果,那么的值为 。类型四、公式法条件：公式： ,典型例题：例1、选择适当方法解下列方程： 例2、在实数范围内分解因式：（1）； （2）. 说明：对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成=.分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “

13、降次思想”的应用求代数式的值； 解二元二次方程组。典型例题：例1、 已知，求代数式的值。例2、如果，那么代数式的值。例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。例4、用两种不同的方法解方程组说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )a. b. c. d.例3、已知关于x的方程(1)求证：无论k取何值

14、时，方程总有实数根；(2)若等腰abc的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求abc的周长。例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？针对练习：1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .4、为何值时，方程组（1）有两组相等的实数解，并求此解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解. 5、当取何值时，方程的根与均为有理数？考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1、关于x的方程有两个实数根，则m为 ,

15、只有一个根，则m为 。 例2、 不解方程，判断关于x的方程根的情况。例3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减

16、少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，）4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。（1）要使这两个正方形的面积之和等

17、于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、a、b两地间的路程为36千米.甲从a地，乙从b地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达b地，乙再走1小时36分到达a地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提：对于而言，当满足、时，才能用韦达定理。主要内容：应用：整体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ） a. b.3 c.6 d.例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，（1）求k

18、的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例4、已知，求 变式：若，则的值为 。例5、已知是方程的两个根，那么 .针对练习：1、解方程组2已知，求的值。3、已知是方程的两实数根，求的值。戴氏教育中考名校冲刺教育中心数学思维训练二次函数考点热点全攻略【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的

19、不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！】一.考点，难点，热点；一、 函数定义与表达式1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 交点式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化二、 函数图像的性质抛物线（1）开口方向二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值

20、越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小越大开口就越小,|a|越小开口就越大. （2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 一般式： 对称轴 顶点式：x=h 两根式：x=一般式：顶点式：（h、k） 顶点坐标（3）对称轴位置一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。（“左同右异”） a与b同号（即ab0） 对称轴在y轴左侧 a与b异号（即ab0） 对称轴在y轴右侧 （4）增减性，最大或最小值当a0时，在对称轴左侧（当时），y随着x的增大而减少；在对称轴右侧（当时），y随着x的增大而增大；当a0时，函数有最小值，并且当x=，；当a0时在x轴上

21、方；c0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的点对应的横坐标的范围，即 ；一元二次不等式ax2+bx+c0双曲线，位于第一、三象限象限；在每个象限内，值随的增大而减小，与x轴，y轴无交点k0,由结论及已知条件得 k=4（2）（2008甘肃省兰州市）如图，已知双曲线（）经过矩形的边的中点，且四边形的面积为2，则 分析：连结ob，e、f分别为ab、bc的中点 而 由四边形oebf的面积为2得 解得 k=2评注：第小题中由图形所在象限可确定k0，应用结论可直接求k值。第小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。例2（2008贵州省黔南州）如图，

22、矩形abod的顶点a是函数与函数在第二象限的交点，轴于b，轴于d，且矩形abod的面积为3（1）求两函数的解析式（2）求两函数的交点a、c的坐标（3）若点p是y轴上一动点，且，求点p的坐标解：（1）由图象知k0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是 （用含的代数式表示）分析：x,y为正整数，x=1,2,4,8,16即a、b、c、d、e五个点的坐标为(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)，因五个橄榄形关于y=x对称，

23、故有s=13-26例7（2009年济宁市）如图，a和b都与x轴和y轴相切，圆心a和圆心b都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 . 分析：因为圆心a中的非阴影部分与圆b中的阴影部分为对称图形，圆a中的阴影部分与圆b中的非阴影部分也关于原点对称，故两阴影部分面积的和等于圆的面积。设圆a的圆心a的坐标为(x,y)，由图可知，x=y a点在反比例函数图象上， 解得x=1从而所求面积为评注：对于较复杂的图形面积计算问题，先应观察图形的特征，若具有对称特征，则应用对称关系可以简化解题过程。三、 讨论与面积有关的综合问题四、 例8（2008山东省）五、 （1）探究新知：如图1，已知abc与abd

24、的面积相等， 试判断ab与cd的位置关系，并说明理由 （2）结论应用： 如图2，点m，n在反比例函数（k0）的图象上，过点m作mey轴，过点n作nfx轴，垂足分别为e，f 试证明：mnef 若中的其他条件不变，只改变点m，n 的位置如图3所示，请判断 mn与ef是否平行。解：（1）证明：分别过点c，d，作cgab，dhab， 垂足为g，h，则cgadhb90 cgdh abc与abd的面积相等， cgdh 四边形cghd为平行四边形 abcd （2）证明：连结mf，ne利用同底等高的三角形面积相等，可知sefm sef n由（1）中的结论可知：mnef如图所示， mnef评注：本题综合性较强，

25、难度较大。既考查分析问题的能力，又考查转化能力，知识与能力的考查融合的恰当。例9（2009年济南）已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由分析：（1）由点a（3，2）在两函数图象上，可求得 k=6,a=，正比例函数为,反比例函数为(2)0x2 （b）m1 （c）2m1 （d）m0时，y随x的增大而 7如果直线

26、y2xm不经过第二象限，那么实数m的取值范围是 8若双曲线y（m1）x1在第二、四象限，则m的取值范围是 9已知直线y被两坐标轴截取的线段长为5，求此直线函数解析式。10已知一次函数yx23的图象经过点（1，3），是方程2310的一个根，且y随的增大而增大，求这个一次函数解析式。考点训练：1 y= x 的图象是一条过原点及点(-3,3)的直线2一次函数y=kx+b 的图象经过p(1,0) 和q(0,1)两点，则k= ,b= . 3正比例函数的图象与直线y= -x+4平行，则该正比例函数的解析式为 ，该正比例函数y 随x的增大而 .4已知y-2与x成正比例,且x=2时,y=4,则y与x之间的函数关系是 ,若点(m,2m+7), 在这个函数的图象上,则m = 5 函数y=(m-4)xm