1460.从“绊脚石”到“金钥匙”——集合语言的教学反思

1、从“绊脚石”到“金钥匙”集合语言的教学反思内容摘要：本文就集合教学中的若干具体例子，分析学生出现学习困难的内在心理机制，探讨如何加强集合语言教学，帮助学生克服这方面的障碍，并希望通过加强集合这种特定的数学语言的训练，进而可以培养学生的数学语言能力。关键词：集合语言 数学语言 识别障碍 转换障碍集合作为高中数学教材中的第一个重要内容，是研究高中数学问题的基础和工具。新课程标准也指出：“将集合作为一种语言来学习，经过学习，学生应学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力”。因集合元素的任意性，使得集合语言有着广泛的应用性：使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词

2、，使用集合工具来表示各种数量关系，运用集合的观点研究、处理数学问题等等，涉及面广，形式多样。另一方面，在教学实践中，我们却发现，学生对集合语言的表述与转化存在很大的障碍，对集合语言中特有的表达式和这些表达式所指称的关系缺乏对应的、统一的理解。一个稍微综合的问题若采用集合的语言表述，许多学生表现为理解不透彻、思维受阻、甚至题目读不懂，这种现象在不仅在高一、高二学生中比较普遍，甚至在高三学生中也很突出。特别是职业高中的学生，集合这一特定的数学语言学习的困难，成为学生远离高中数学的重要原因之一。面对这样的现象，不由令人深思。作为第一线的教师，我们应该如何帮助学生克服这方面的障碍，这是一个值得探讨的问

3、题。本文就集合教学中的若干具体例子，尝试从学生在集合语言的学习中出现困难的成因入手，谈谈自己在教学中的一些心得和体会。一、集合语言学习困难的内在心理机制分析1、集合语言识别障碍集合这部分知识中共定义（或描述了）十几个新名词，引入了十个新记号和新关系，这些都是组成集合语言的主要成分，由于学生刚接触这种新的语言，对集合这一概念在应用时内涵模糊，邻近概念辨别不清，导致对集合语言的识别障碍。下面例子就说明了这个问题：例1：对于下面4个集合, =, = , =我要求学生说出集合里的元素分别是什么，并说明它们的联系和区别。结果发现学生对这几个集合辨别困难，出现下列这样几种典型的错误：（1）这4个集合里的元

4、素都是二次函数，其中集合和是相同的，集合和也是相同的。（2）集合与集合表示不同的函数关系式，所以集合与集合，集合与集合明显不同。（3）集合和集合的元素都是一个“单独数”，集合和集合的元素是“数对”，所以集合与集合可能是不同的，但和没什么特别的关系。持观点一的学生仅仅看到两集合中的函数式相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，集合是函数值域集合，集合是点的集合，代表元素根本不是同一类事物。持观点二、三的学生显然不能准确识别集合的等价关系。从上面的里例子看出，学生对集合语言的识别障碍主要表现为两个层次：（）不能识别集合语言的基本属性及其所表示的数学对象；（）不能识别符号语言的暗示功能。学生出

5、现以上的各种错误，其症结很大程度上是由于学生在刚接触这些知识时，不能适应集合语言的表达形式，不理解集合语言的含义，容易出现集合语言知识表面化，导致在接受或运用集合这种特定的数学语言信息时不能顺利进行识别。2、集合语言理解障碍集合语言是现代数学一种常用的抽象数学语言，集合语言与一切数学语言一样，具有明显的简洁性，它尽可能用最少的语言符号去表达最复杂的形式关系，使叙述、计算和推理更清晰、明确。但作为书面语言，其抽象性又给学生在理解与表述造成极大的障碍。以下面的问题为例：例2 已知集合=，求实数m的取值范围。从方程观点看，集合是关于x的实系数一元二次方程的解集，而不是方程的解（因为两根之积为1，故方

6、程无零根），所以由“”可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围 或 解得或， 即从我们的调查中发现，许多学生看到题目中的条件时，表示难以理解这一符号语言，以至无法把握题目的条件。当学生在解决这个问题时，出现错误最普遍的是由“”只片面地推出“方程有两个负根”，对方程是否有零根的情况不加分析，对不加讨论。这说明学生对集合语言的理解存在比较大的困难，不能分析集合语言所包含的信息和信息块之间的关系，最终阻碍了解题的顺利进行。3、集合语言转换障碍集合语言，其常见形式主要有三种：一是文字语言，即通过日常语言来描述集合问题中的数学对象，其特点是通俗易懂，便于理解

7、；二是符号语言，即通过数学符号来表达集合问题中的数学对象，其特点是简洁抽象；三是图形语言，即通过图形(数轴、坐标系、文氏图)来表示集合问题中的数学对象，其特点是形象直观。这三种语言在数学教学和数学问题解决的过程中，要根据具体情况，采用不同的语言形式，并且经常要进行语言的转换。我们发现学生对集合语言的转化就存在明显的问题。从教学中我们发现：学生对数学语言的各种等价形式或者表示形式掌握不多，使得数学语言间的等价转换不能自动进行。主要表现为：（1）不能灵活实现集合语言本身三种不同表达形式之间的顺利转换；（2）不能顺利从集合语言向非集合数学语言的表述过渡；（3）不能根据符号的暗示信息采取正确的解题策略

8、。针对学生在集合学习过程中容易出现的困难，笔者认为，这是由于学生对集合和集合语言的掌握停留在较低的层次水平上，导致在接受或运用集合这种特定的数学语言信息时不能顺利进行识别、理解、转换、构造、组织、表达，学生常常因为数学语言障碍而极大地影响了对数学知识的理解和运用。所以，在教学中应该突出它的地位。二、加强集合语言教学的对策与措施从上面的分析中，我们认为学生不能顺利识别集合语言的根源往往是集合这一语言形式和内容的脱节。因此，教师在教学中要帮助学生把数学语言的形式与内容密切联系起来，同时，教师应适时提醒学生不能忽视数学符号的内在条件，注意剖析集合语言中特有的表达式和这些表达式所指称的关系，从而在学生

9、头脑中形成互相对应的、统一的理解。1、通过知识对比，剖析集合概念教学论认为：知识的对比，是调动学生注意力的好方法，知识之间对比得越清楚，学生的注意力越集中，越能加强概念的理解与知识的掌握。所以运用对比方法引导学生通过建立集合语言语义的恰当的心理表征，弄清它们的异同和相互之间的关系。特别是描述法，教学中不可操之过急，不可泛泛而谈，应在揭示其内涵和外延上下工夫，给学生创造合适的情境，帮助学生理解集合的本质。如应用下例中的对比，使学生对集合的表示法有了较深刻的理解。例3 （1）已知： ，求（2）已知： ，求（3）已知：，求我们针对学生出现的典型错误，（刚开始，学生对（1），（2），（3）不加区别，一

10、律联立方程组去求解，结果有些学生对（1）茫然不知如何表示，学生对（2）解得，学生 对（3）解得：） 有目的地设计启发式提问，让学生通过比较各个集合中元素的形式表面相同而实质完全不同，最终使学生对集合的表示法掌握到较高的层次。2、 注重集合语言的互译训练，加强集合语言的熟练应用集合的运算、表示法中要求学生准确、灵活地对三种语言进行相互转化，既是解决集合问题的关键，又是训练学生数学语言能力的良好素材，也是解决数学问题的常用方法。如对于这样的例题： ，我们可以通过以下的程序进行， 表述a是大于-1的实数组成的集合，b是小于2的实数组成的集合，求的是两个集合的公共元素。转译 -1 0 2表述符号语言文

11、字语言图形语言这种处理方式易于被学生接受，效果比较好。另外，教材上对由符号语言向另外两种语言转化的例子过少，可能是学生在接下来的学习中，不能顺利读懂比较抽象的符号语言的一个原因。因此，在教学中可适当补充与加强这方面的训练，如要求学生口头表述或解释下列集合的涵义：，等，为学生顺利读懂比较抽象的符号语言，并转译为更加直观易懂的普通语言或图形语言打好基础。 3、 重视解题教学，培养集合语言与其他数学语言间的沟通转换能力一方面，就解题教学而言，重视数学语言转换能力的培养更有着特别的意义，诚如美国数学家梅耶所言“学生在解决问题时发生困难的原因之一是缺乏转换问题语言的能力”。 各种数学语言形态间的互译，可

12、为我们在更广阔的思维领域里寻找问题的解决途径。另一方面， 解题教学对学生数学语言转换能力的培养具有重要的教学价值，荷兰著名教育家弗赖登塔尔曾指出：“学生必须要会一种语言翻译成另一种语言”。正因如此，随着教学的深入，应结合教材的特点，不失时机地进行集合语言与各种数学语言的沟通和互译。以下是我们在解题教学中培养学生集合语言沟通转换能力的一些做法：（1）文字化方法。对于用集合符号语言表示的问题，内容看上去比较复杂、比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，可把抽象的符号语言表示的集合问题，等价转化为简明而又熟悉的数学文字语言，将隐晦的数学含义显露出来，使问题获解。此类例子很多（如上文例2即是）。（2）符号

13、化方法。符号语言不仅可以准确、简洁地表示出问题的数量关系和变化规律，而且对于解决问题的思维还可以起着一定的暗示和诱导作用。因此，充分地运用集合的符号语言，也是解决集合问题的一种重要思路。例4：命题甲：方程有两个相异负根；命题乙：方程无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围分析：这类问题使命题甲成立的m的集合为a，使命题乙成立的m的集合为b，有且只有一个命题成立是求acrb与crab的并集使命题甲成立的条件是：集合a=使命题乙成立的条件是：集合b=.若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：（1） macrb，（2）mcrab若为（1），则有：acrb=m|m2m|m1或m3=m|m3；若为

14、（2），则有：bcra=m|1m3m|m2=m|1m2综合（1）、（2）可知所求m的取值范围是m|1m2，或m3通过转化，不仅体现了集合语言、集合思想的重要作用，同时用集合语言来表示m的范围既准确又简明。（3）图形化方法。集合的图形语言具有形象直观的特点，将集合问题图形化，有助于准确地显示出各集合间的关系，捕捉有用的解题信息，启发解题思路。另外，会用简约、准确的数学图形语言来转换相关的数学问题，是数学的基本能力之一，也是“数形结合”这一思想的集中体现。例5 设a=,b=，已知ab=，ab=，试求a、b的值 分析：如图所示，设想集合b所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当b覆盖住集合x|1x3，才能使= ab=，且ab=根据二次不等式与二次方程的关系，可知1与3是方程的两根，易知 a=(13)=2， b=(1)3=3 事实上，集合语言转译的准确与否直接关系到解题的成功与失败。因而这种互译是我们在解题过程中常常必须做的事情。前苏联教育家斯托利亚尔在数学教育学一书中指出：“数学教学也就是数学语言的教学”。 所以，通过加强集合这种特定的数学语言的训练，进而可以培养学生的数学语言能力，将“学数学”过程变为“用数学”的过程，让新课程标准的理念得到真正体现。 主要参