大学自动控制原理第五章 频率响应法

1、第五章第五章 频率响应法频率响应法第一节 频率特性第二节 对数坐标图第三节 极坐标图第四节 用频率法识别线性定常系统的数学模型第五节 奈奎斯特稳定判据第六节 相对稳定性分析第七节 频域与时域性能指标间的关系第八节 MATLAB在频率响应中的应用5.1.1 5.1.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率响应法是一种以传递函数为基础的又一种图解法，用于线性定常系统的分析与设计。其特点为：1)具有明确的物理意义，可以用实验方法来确定；2)通过系统的开环频率特性图形对其闭环系统特性进行分析，具有直观而且计算量小的特点；3)不仅适用于线性定常系统，还可以推广应用于不是有理数的纯滞后系统和某些非线性

2、系统。4)当系统存在某频段的严重噪声时，可以利用频率响应法设计出有效抑制噪声的系统。第一节第一节 频率特性频率特性)()()()()()()(2122jsjsApspspssUsAsVsUsCn22)(SAsR令 ，设r(t)=Asinwt， )()()()()(sVsUsGsRsCtjtjtnjtpjtjtjeaaeebeaaetcj1)(jAjGa2)(jAjGjssAsGajs2)()()(22)()(,)()(,)()()()(jGjGejGjGejGjGjj)()()(tSinjGAtcnjjjpsbjsajsa1 22112)(,11)()(sAsERCssEsE例例1 1：如图所

3、示电路，求其频率响应特性。)arctansin(1)(222TtTAte221)(TAjGTtg1)(二、由传递函数确定系统的频率响应 例5-1)32)(32() 1(10134) 1(10)(2jSjSSSSSsG 试绘制系统的幅频和相频特性曲线。 解：令 ，jqS )322)(322() 12(10)2(jjjjjjG。8 .21857. 16 .2652 .68924 .63510 图5-5 图5-6第二节第二节 对数坐标图对数坐标图 对数坐标图/)(lg20/ )(dBjGc 1. 比例因子KKK1lg20lg20 图5-7 2. 一阶因子1)1 (Tj1arctan)(21)(1lg

4、20)(L一、典型因子的伯德图T1,1dBL01lg20)(,)211略去(时,当11lg20)(, 1L略去时,当 图5-8则有互为倒数,由于1)1 ()1 (TjTj与)11arg()1arg(11lg201lg20TjTjTjTj 图5-10 3. 积分、微分因子j1 1)积分因子1)(j20lg)(L90)(j 2)微分因子20lg)(90)( 图5-11jK90)(lg20lg20)(KL 图5-12 4. 二阶因子1)(21 2nnTjjTnnjjG2211)() 1222)2()1 (lg20)(nnL项和略去,当2221nnndBL01lg20)(低频渐近线nn21 略去1和,

5、当nnLlg4020)(222212arctan)(nn 图5-13 谐振峰值与谐振频率2222)2()1 (1)(nnjG高频渐近线2222)2()1 ()(nng令0)(ddg221n2121)(rrMjG707. 00 图5-15 图5-16 5. 滞后因子je1)(jejG)(二、开环系统的伯德图 设开环传递函数)()()()(21SGSGSGSGn)(lg20)(lg20)(lg20)(21jGjGjGLn)(arg)(arg)(arg)(21jGjGjGn 例5-2)5 . 01 ()1 . 01 (10)()(SSSSHSG 绘制Bode图。 解)21 ()101 (10)(jj

6、jjG （1）幅频特性22)10(1lg20)2(1lg20lg2010lg20)(L。）为decdBdecdB2040103，斜率由 （2）相频特性10arctan2arctan90)(特点：。）dBdecdB2010lg201201处，高度为，在低频段斜率为；）为decdBdecdB402022 ，斜率由 图5-17三、最小相位系统与非最小相位系统 设a和b两个系统的传递函数和频率特性分别为:211212,11)(,11)(TTjTjTjGSTSTSGaajTjTjGSTSTSGab121211)(,11)( 这两个系统的幅频特性是相同的,即：2221)1(120lg)1(120lg)(T

7、TL 相频特性却不同,分别为:2121arctanarctan)(arctanarctan)(TTTTba 图5-18 图5-19 结论: 最小相位系统的对数幅频特性和相频特性曲线的变化趋势是相一致的，表示它们间有唯一的对应关系。 1、0型系统2)1(1lg20lg20)(TKLTjKjG11)(令四、系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐近线斜率的对应关系0型系统对数幅频特性低频渐近线为一条20lgKdB的水平线。2、I型系统)11 ()(TjjKjG2)1(1lg20lg20lg20)(TKL 低频渐近线斜率为-20db/dec开环增益K在数值上等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点的频率

8、值。 低频渐近线（或延长线）在=1处的相交坐标值为20lgK。3、型系统)11 ()()(2TjjKjG2)1(1lg20lg40lg20)(TKL 低频渐近线的斜率为-40dB/dec。 低频渐近线（或延长线）在=1处的坐标值为20lgK。 开环增益K在数值上等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点频率值的平方。第三节第三节 极坐标图极坐标图)(22)()()()()(jeQpjQpjG)()(arctan)(pQ式中 当输入信号的频率由0变化时，向量G(j )的端点在复平面上移动的轨迹叫极坐标图或称为乃氏图。 1、比例因子K一、典型因子的乃氏图0)()(KjG 图5-21 2、积分和微分

9、因子211)(jejjG参考图5-21(a)参考图5-21(b)2)(jejjG参考图5-21(c) 3、一阶因子1)1 (Tj)(221111)() 1jeTTjjGTarctan)( 图5-22)(2211)()2jeTTjjGTarctan)()(22222224)1 (1)(211)() 1jnnnnejjjG 4、二阶因子12)(21nnjj2212arctan)(nn1800)(01)(limlim00jGjG 根据不同的值，作出的乃氏图如图5-23所示。 图5-23)(222222224)1 (21)()2jnnnnejjG2212arctan)(nn 图5-25 5、滞后因子j

10、e2651)(图jejG2)(! 21111jjeejj 图5-26时当1jej11 图5-27)()()(jejGjGmnjjKjGniimii,)1 ()1 ()(11 1.0型系统二、开环系统的乃氏图 绘制系统的乃氏图时，必须写出开环系统的相位表达式和幅频特性表达式。)(90)(, 0)(;0)0(,)0(0mnjGKjG时，当时，当例)(22)(1)1 . 0(110)1)(1 . 01 (10)(jejjjGarctan1 . 0arctan)( 图5-28mnjjjKjGniimii,)1 ()1 ()(112.型系统。)(900)(;90)0(0mnjGjG时，当时，当例)(21

11、10)1 (10)(jejjjGarctan90)(322221011010)(jjjjjG1800)(9010)0(0jGjjG时，当时，当 图5-293.型系统mnjjjKjGnllmii,)1 ()()1 ()(2121。时，当时，当)(900)(;180)0(0mnjGjG)(222)1 (10)1 ()(10)(jejjjGarctan180)( 图5-30第四节第四节 乃奎斯特稳定判据乃奎斯特稳定判据)()()()()(1)()(1)(SVSUSVSVSUSHSGSF令)()()()(2121nmpSpSpSzSzSzSK。，方程的根的零点，也是闭环特性)(21SFzzzn方程的极

12、点。的极点，也是开环特性)(21SFpppn，niezSijii，21令nlepSljll，21一、幅角原理nllniijnllniieKSF1111)( 图5-40若在S平面上任取一封闭曲线Cs,且令S以顺时针方向沿着Cs变化,则上式求得其在F(S)平面上的映射曲线CF。11)F(SSS令 (一)围线Cs围绕F(S)的一个零点)02(11)(1111)F(Sjjee结论: Cs按顺时针方向围绕F(S)的一个零点,则其在F(S)平面上的映射曲线CF亦按顺时针方向围绕F(S)平面的坐标原点旋转一周.如果Cs按顺时针方向围绕F(S)的z个零点,则其在F(S)平台上的映射曲线CF按同一方向围绕F(S

13、)平面的坐标原点旋转z周。211111)F(Sjjee （二）围线Cs的顺时针方向围绕F（S）的一个极点结论:围线Cs以顺时针方向围绕F(S)的一个极点,则其在F(S)平面上的映射曲线CF亦按逆时针方向围绕F(S)平面的坐标原点旋转一周.如果Cs以顺时针方向围绕F(S)的p个极点,则其在F(S)平台上的映射曲线CF按同逆时针方向围绕F(S)平面的坐标原点旋转p周。 幅角原理：如果S平面上的围线Cs以顺时针方向围绕F(S)的z个零点和p个极点，则其在F(S)平面上的映射曲线CF围绕F(S)平面的坐标原点旋转N周。pzN顺时针旋转,0N逆时针旋转,0N 取S平面上封闭围线Cs为图4-32所示。 图

14、5-42)()(1)(jHjGjF 若围线Cs以顺时针方向包围了F(S)的z个零点和p个极点，由幅角原理可知，在F(j)平面上的映射曲线CF将按顺时针方向围绕坐标原点旋转N周。pzN由于1)j ()j (1)j ()G(jHGH二、乃氏稳定判断 映射曲线CF围绕F(S)平面的坐标原点等价于G(j)H (j)对GH平面上的(-1,j0)点围绕。 图5-43j0)点旋转p周。1,按逆时针方向围绕(G(j)H(j)统稳定的充要条件是面的右方，则其闭环系在s平且已知有p个开环极点定,2)如果开环系统不稳j0)点1,(H(j)曲线不包围充要条件是G(j)则其闭环系统稳定0,即p定的,1)如果开环系统是稳

15、:乃氏判据例5-80)1)(1 ()()(2121TTSTSTKSHSG，44所示：图5曲线为变化时,当解,)()(jHjG由 图5-44闭环系统稳定0,所以z因为, 0, 0 Np95例1G(S)H(S)TSK系统稳定的K值范围。试用乃氏判据确定闭环221)(TKjG解Tarctan180)( 图5-45则乃氏途径需修改：轴有奇点，在若1就能使系统稳定K显然只要包围曲线逆时针即则若使,由于jjHjGjjGHzzNp)()()0, 1()(, 1N, 01, 1。一周。 图5-47设开环传递函数为mnSTSSKSHSGnllmii,)1 ()1 ()()(11代入上式，得令部分上,在。)0(2

16、jeSCjseKSHSG00lim)()(lim无穷大的圆。射曲线为一半径部分在GH平面上的映无穷大的半圆。射曲线为一半径部分在GH平面上的映222)21) 1CC， 图5-48115例00)1 (TKTSSKGH，49所示：相连接后为图5j)H(j)圆，它与乃氏曲线G(曲线为一半径无穷大的射部分在GH平台上的映C47所示的乃氏途径,取图52 图5-49125例00)1 (2TKTSSKGH，2221)(TKjG解 图5-50Tarctan180)(闭环系统不稳定。所以因为。，220zpzNp135例) 1() 1(122STSSTKGH性的影响。的相对大小对系统稳定和T分析T2121222)

17、(1)(1TTKGH解12arctanarctan180)(TT00) 121zNTT，闭环系统稳定不稳定。有一对虚根，闭环系统点，说明闭环系统曲线穿过)0, 1()()()221jjHjGTT，。，稳定的右方，故闭环系统不点在S平面说明闭环系统有二个零02)321zNTT 图5-51 图5-53pzNNQ)( 图5-52三、乃氏判据在对数坐标图上的应用145例2121) 1)(1()()(TTSTSTKSHSG， 图5-540)00()(zqNNq闭环稳定0z0)(11 seSGseSS ) 1(1jejj)1 (1或写作四、乃氏判据在滞后系统中的应用 图5-57 图5-56sradjG/7

18、5. 01)(1radej9 . 0)180(52曲线上，对应的在s2 . 19 . 075. 0第五节第五节 相对稳定性分析相对稳定性分析)()(1gggjHjGK一、增益裕量Kg180)(g为不稳定。系统闭环系统稳定；反之，对于最小相位系统，1gK二、相位裕量)(180c1)()(ccjHjG 图5-59 图5-60不稳定。系统稳定；反之，系统对于最小相位系统， 0，已知例155)05. 01)(2 . 01 ()(SSSKSG试求。4020lg20)21) 1，相位裕量整，使系统的增益裕量要求通过对增益K的调和时的dBKKKgg解18005. 0arctan2 . 0arctan90)(

19、) 1ggg9005. 0arctan2 . 0arctangggggg05. 02 . 0105. 02 . 0005. 02 . 01gg10g22)2010(1lg20)510(1lg2010lg201lg20)(gLdB28dBLKgg28)(lg2017.10405. 0arctan2 . 0arctan90)(11ccK， 761 . 0lg20)2010(1lg20)510(1lg2010lg20lg20)222K5 . 2K14005. 0arctan2 . 0arctan90)(ccc又5005. 0arctan2 . 0arctancc2 . 105. 02 . 0125.

20、 02cc1lg20)204(1lg20)54(1lg204lg20lg20)(22KLc4c22. 5K的要求。和时，同时满足取gKK5 . 2 图5-61三、相对稳定性与对数幅频特性中频段斜率关系3/40/20331cqcdecdBdecdB，且设平分斜率为平分斜率为，令decdBdecdB/40/20) 12132斜率为，斜率为当，；)1)(1 ()1 ()(312jjjjKjG则321arctanarctanarctan90)(cccc26110818072)9072(905472 decdBdecdB/60/2022132斜率为，斜率为)当，；)1 ()1 ()1 ()(32122j

21、jjjKjG321arctan2arctan2arctan290)(cccc44108118144)180144(903672 decdBdecdB6040212为，斜率，斜率为3)当；212)1 ()1 ()(jjjKjG21arctan2arctan290)(ccc1981621827)180144(901818 第六节第六节 频域性能指标与时域性能频域性能指标与时域性能指标间的关系指标间的关系)()()(1)()(jeMjGjGj一、闭环频率特性及其特征量1)(lim)()(000SGSSKGSGs，且令频值1.闭环幅频特性的零1M(0)0)21K1KM(0)0) 1，)()()()(0

22、0SKGSSKGSRSC 图5-622.频带宽度dBjRjCjRjCbb300频带宽度。称为系统的的频率范围闭环幅频值不低于，bdB03165例 1111SSRSC 13122SSRSC 图5-63 图5-64 2222nnnSSSRSCjnnMejjRjC2)1 (122二、二阶系统时域响应与频域响应的关系2222221arctan)2()1 (1nnnnM，时，有当21021111212122MMn11exp22MMMMMp 图5-652221211pnptt22211ln21111ln1snstt时，当b21)2()(22222nbbnn42244221nb2422144221pbt24

23、22211ln442211sbt，时，当1)(ccjG1422242nccn24214nc2241arctan902arctan90)(24ncc242412arctan6 . 060 图5-66第七节第七节 用频域响应辨识系统的数用频域响应辨识系统的数学模型学模型 图5-622)50()506 . 01 ()101 ()101 (5)(jjjjjjG2)02. 0()02. 06 . 01 ()5 . 01 ()1 . 01 (5)(SSSSSSG) 14(90270)(时，当第八节第八节 MATLAB在频率响应法在频率响应法中的应用中的应用一、用MATLAB绘制伯德图例5-5SSSSSSS

24、HSG25 . 010) 15 . 0() 11 . 0(10)()(功能指令：bode(num,den) num=0 1 10； den=0.5 1 0 ；若要具体给出bode图的频率范围，需用以下指令: logspace和bode(num,den,w)% MATLAB程序5-1 num=0 1 10; 图5-33title(Bode Diagram of G(S)=10(1+0.1S)/S(1+0.5S)ylabel(0)L(w)/dB) xlabel(w/s-1-1); bode(num,den,w); %绘制0.01S-11000S-1的bode图。den=0.5 1 10; w=lo

25、gspace(-2,3,100); %给出w值的范围。若需要幅值和相位角的范围时，需用下面的功能指令： mag,phase,w=bode(num,den,w)。，图间做出在要求例BodeSSSSSSSSSG32232101010016306)10016()2 . 01 (30)(%MATLAB程序5-2 num0 0 6 30; den1 16 100 0; w=logspace(-2,3,100) mag,phase,w=bode(num,den,w); subplot(2,11) semilgx(w,20*lg10(mag); grid on xlabel(w/s-1-1); ylabel

26、(0)L(w)/dB) title(Bode Diagram of G(S)=30(1+0.1S)/S(S2+16S+100) subplot(2,11) semilgx(w,phase); grid on xlabel(w/s-1-1); ylabel(0)L(w)/dB) 图5-34二、用MATLAB绘制乃氏图18 . 18 . 11)()(23SSSSHSG 图5-34 Re,Im,w=nyquist(num,den)或Re,im,w= nyquist(num,den,w) plot(Re,Im) v=(-x x y y)例5-7%MATLAB5-4 num=0 0 20 10; den

27、=1 11 10 0; w1=0.1:0.1:10; w2=10:2:100; 图5-35 w3=100:5:500; W=w1 w2 w3; Re,Im=nyquist(num,den,w) plot(Re(:,:),Im(:,:),Te(:,:),-Im(:,:) v=-3 3 3 3;axis(v) grid on title(nyquist plot of G(S)=20(S+0.5)/S(S+1)(S+10) xlabel(Re); ylabel(Im); 若需要画出由0变化的乃氏图，则只要把plot指令括号中的函数内容作以下修改 plot(Re(:,:),Im(:,:) %MATLAB5-4 num=0 0 0 1;