2-3.1.1直线的倾斜角与斜率

1、3.1.1直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率思考思考: :对于平面直角坐标系内的一条直线对于平面直角坐标系内的一条直线l, ,它的位置可以它的位置可以由哪些条件确定呢由哪些条件确定呢? ?0 0 xyl0 0 xylA AB B两点确定一条直线两点确定一条直线0 0 xylA A一个点能确定直线吗？一个点能确定直线吗？m 不难发现不难发现, ,一定一定点点一个一个方向方向可以确定一条直线可以确定一条直线. .那么直那么直线的方向线的方向( (倾斜程度倾斜程度) )如何描述呢如何描述呢? ?(1)(1)直线的倾斜角直线的倾斜角: :对于一条与对于一条与x轴相交的直线轴相交的直线l, ,我们以我

2、们以x轴轴为基准为基准, ,把把x轴正方向与直线轴正方向与直线l向上方向之间所成的角向上方向之间所成的角叫叫做直线的做直线的倾斜角倾斜角. . 当直线当直线l和和x轴平行或重合时轴平行或重合时, ,规定直线的倾斜角为规定直线的倾斜角为0.0. 因此因此, ,直线的倾斜角的取直线的倾斜角的取值范围是值范围是00180.180.3.1.1 3.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率O OxylO Oxyl说明说明: :直线的倾斜角是指直线直线的倾斜角是指直线l向上向上的方向和的方向和x轴的正方向轴的正方向所成的所成的最小正角最小正角( (小于平角的正角小于平角的正角) )或或零角零角; ;它是一个几何它

3、是一个几何概念概念, ,直观地反映了直线相对于直观地反映了直线相对于x轴正方向的倾斜程度轴正方向的倾斜程度. .前进量前进量升高量升高量坡度比坡度比= =升高量升高量前进量前进量=tan=tan3.1.1 3.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率(2)(2)直线的斜率直线的斜率: :倾斜角不是倾斜角不是9090的直线的直线, ,它的倾斜角的正切它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率叫做这条直线的斜率. . 直线的斜率常用直线的斜率常用k表示表示, ,即即k=tan=tan. . O Oxy3.1.1 3.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率说明说明: :所有直线都有倾斜角所有直线都有倾斜角, ,但并不都有

4、斜率但并不都有斜率. .倾斜角为倾斜角为9090的直线没有斜率的直线没有斜率, ,倾斜角不为倾斜角不为9090的直线都有斜率的直线都有斜率; ; 直线的斜率和倾斜角分别从直线的斜率和倾斜角分别从数和形的角度反映了直线相对于数和形的角度反映了直线相对于x轴正轴正方向的倾斜程度方向的倾斜程度, ,斜率的绝对值越大斜率的绝对值越大, ,直线的倾斜程度就越大直线的倾斜程度就越大. . 例例1.1.有下列四个命题有下列四个命题: :若直线的倾斜角为若直线的倾斜角为,则斜率为则斜率为tan;tan;若直线的斜率不同若直线的斜率不同, ,则倾斜角也不同则倾斜角也不同; ;任一直线都有倾斜角任一直线都有倾斜角

5、, ,但不一定都有斜率但不一定都有斜率; ;若直线的斜率为若直线的斜率为tan,tan,则倾斜角为则倾斜角为.其中真命题有（其中真命题有（ ） A A、个、个 B B、个、个 C C、个、个 D D、个、个 练习练习1.1.下列命题下列命题: : 平行于平行于x轴的直线的倾斜角为轴的直线的倾斜角为00或或180;180; 直线的斜率的取值范围是直线的斜率的取值范围是(-,+);(-,+); 过原点的直线过原点的直线, ,越靠近越靠近y轴斜率越大轴斜率越大; ; 两直线的斜率相等两直线的斜率相等, ,则它们的倾斜角相等则它们的倾斜角相等; ; 两直线的倾斜角相等两直线的倾斜角相等, ,则它们的斜

6、率相等则它们的斜率相等. . 其中正确的命题的个数是（其中正确的命题的个数是（ ） A A、1 1个个 B B、2 2个个 C C、3 3个个 D D、4 4个个 正切函数的正切函数的图象图象： xy02223232525),2(Zkkxxytan2 tan kx0y说明说明: :直线的倾斜角是指直线直线的倾斜角是指直线l向上向上的方向和的方向和x轴的正方向轴的正方向所成的所成的最小正角最小正角( (小于平角的正角小于平角的正角) )或或零角零角; ;它是一个几何它是一个几何概念概念, ,直观地反映了直线相对于直观地反映了直线相对于x轴正方向的倾斜程度轴正方向的倾斜程度. .前进量前进量升高量

7、升高量坡度比坡度比= =升高量升高量前进量前进量=tan=tan3.1.1 3.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率(3)(3)斜率公式斜率公式: :设设P P1 1( (x1 1, ,y1 1),),P P2 2( (x2 2, ,y2 2) )是直线是直线l上的两点上的两点, ,其其中中x1 1x2 2, ,则直线则直线l的斜率为的斜率为k= = . .说明说明: :斜率可以通过直线上的任意两点斜率可以通过直线上的任意两点的坐标来表示的坐标来表示; ; 斜率公式与两点的顺序无关斜率公式与两点的顺序无关, ,即即分子、分母的坐标可以同时交换顺序分子、分母的坐标可以同时交换顺序; ; 当当x1 1

8、= =x2 2时时, ,直线与直线与x轴垂直轴垂直, ,斜率斜率不存在不存在. .O OxyP P1 1P P2 23.1.1 3.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率y y2 2-y-y1 1x x2 2-x-x1 1O OxyP PB BA A3.1.1 3.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率例例3.3.已知两点已知两点A(-3,4),B(2+ 3,2),A(-3,4),B(2+ 3,2),过点过点P(2,-1)P(2,-1)的直线的直线l与与线段线段ABAB有公共点有公共点, ,求直线求直线l的斜率的斜率k和倾斜角和倾斜角的取值范围的取值范围. . 例例4.4.已知已知M(-4,3),N(2,

9、15),M(-4,3),N(2,15),若直线若直线l的倾斜角是直线的倾斜角是直线MNMN的的倾斜角的一半倾斜角的一半, ,求直线求直线l的斜率的斜率. .3.1.1 3.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率(4)(4)直线的方向向量直线的方向向量: :设设P P1 1( (x1 1, ,y1 1),),P P2 2( (x2 2, ,y2 2) )是直线是直线l上的两上的两点点, ,则直线则直线l的一个方向向量为的一个方向向量为v= =P P1 1P P2 2=(=(x2 2- -x1 1, ,y2 2- -y1 1).).O OxyP P1 1P P2 2 当直线当直线l斜率斜率k存在时存在时, ,直线直线l的一个方向向量为的一个方向向量为v=(1,=(1,k);); 当直线当直线l斜率斜率k不存在时不存在时, ,直线直线l的一个方向向量为的一个方向向量为v=(0,1).=(0,1).3.1.1 3.1.1 倾斜角与斜率倾斜角与斜率练习练习. 已知直线已知直线l的一个方向向量为的一个方向向量为求直线求直线l的倾斜角和斜率的倾斜角和斜率., )3,3( a解解:)3,3( a)3,1(31 a也是直线也是直线l的一个方