异面直线所成角问答

1、异面直线所成角问题a / 平面 CBi Di , a Q 平：2- 3 iB.C. D.-233i . 20i6 全国卷I平面a过正方体 ABCD - AiBiCiDi的顶点 A, 面ABCD = m , aQ平面ABBiAi = n,贝U m , n所成角的正弦值为（3A.-2在正方体 ABCD - AiBiCi Di外依次再作两个一样的正方体，AF /CDi，所以平面 AEF /平面CBiDi,即平面 AEF就是过点 A的平面如图所示，易知AEa,所以解析A/B1D1,AE为平面a与平面ABCD的交线，即为 m , AF为平面a与平面ABBiAi的交线，即为n , 所以m , n所成角即为

2、 AE与AF所成角，也是 BiDi与CDi所成角，为/ CDiBi.而CDiBi为等边三角形，因此/ CDiBi =上，所以sin /CDiBi =遵3 22 三棱柱ABC-AiBiCi的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，底面边长为2,高为2, M是AB的中点，则直线CM与BCi所成的角等于答案：45 ;解析如图所示，取 Ai Bi的中点N，连接CiN , MN，则CiN /CM，所以 ,BN = ； 3, BCi =6 ,CM与BCi所成的角，由题意易得CiN =3ZBCiN即为异面直线所以三角形BNCi为等腰直角三角形，则/ BCiN = 45 3 . 2015 浙江卷 如图所示，在三棱锥

3、A-BCD 中，AB = AC = BD = CD = 3 , AD = BC= 2 ,点M , N分别为AD，BC的中点，则异面直线 AN，CM所成的角的余弦值是7答案： ；解析连接ND，取ND的中点为E,贝U ME /AN，则异面直线 AN , CM所8成的角为/ EMC .因为（2）2+ 12=3,AN = ND = MC32 1 2 = 2、_2 ,所以 ME = a,-2 , CE =CM2 + ME2 CE28 + 2 37则 cos /EMC =.2CM ME2 X2p284.2016 湖南衡阳一模如图所示，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD 中，PA= PB= PC =PD =

4、 AB = 2，点E为棱PA的中点，则异面直线 BE与PD所成角的余弦值为A答案:6，取AD的中点F,连接EF, BF.因为E为PA的中点，所以1EF/PD, EF= 2PD=1因为三角形 PAB为等边三角形，所以 BE= 3因为四边形 ABCD为正方形，所以 BF=AB2 + AF2 =22+ 12(3) 2 + 12(5) 2=5，所以在三角形65.2016，所以异面直线BEF中，由余弦定理得BE与PD所成角的余弦值为cos ZBEF =-湖南郴州摸底如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E是线段B1C1上的动点,则异面直线AE与D1C所成的角为A. 30 B. 45C. 60

5、 D . 90答案：D ;解析 连接ABi, ACi.CDi 丄 BiCi, CDi 丄 ABi, ABi QB1C1 = Bi,CDi 丄平面 ABi Ci.AE?平面ABiCi,AE丄DiC,异面直线 AE与DiC所成的角为90620i6 长春四模I六棱柱ABCDEF-AiBiCi Di Ei Fi的底面是正六边形，侧棱垂直于底面,且侧棱长等于底面边长，则直线 AE与CBi所成角的余弦值为答案： ；解析连接AFi, EFi.vCBi /EFi,AZAEFi是异面直线 AE与CBi所成的角. 4设 AB = I，贝U AFi = EFi=2=3，即 AE=3 ,_ AE2 + EFi AF2

6、/cos ZAEFi =2AE EFiAE2= i + i 2 Xi Xi Xcos I203 + 2 262 X 3 X 24，V6直线AE与CBi所成角的余弦值为47. 20i6 海南文昌中学期末如图所示，已知在四面体 ABCD中，E, F分别是 AC, BD的中点，若 AB = 2 , CD = 4 , EF丄AB，贝U EF与CD所成角的大小为 -yB答案：30 ;解析取AD的中点G,连接FG, EG,又E, F分别为AC, BD的中 点，所以FG /AB，且FG = 1 , EG/CD，且EG= 2，所以EF与CD所成的角即为 EF与EG 所成的角，即/ FEG,又EF丄AB，即/E

7、FG= 90 ，所以zFEG= 30 8 . 2016 衡水中学六调如图所示，在直四棱柱 ABCD -AiBiCiDi中，底面四边形 ABCD 为正方形，AAi = 2AB,则异面直线 AiB与ADi所成的角的余弦值为（）1234A.一B_C_D_5555所成的角，记贝U BCi /ADi , ZA1BC1即为异面直线AB = 1，贝U AiB = BCi= 5 , A1C1 = 2，在三角形 AiBCi 中，AiB 与 AD 1由余弦定理5 + 5 24得COS ZA1BC1 =l 厂=，所以异面直线 AiB与AD i所成的角的余弦值为2 Xp 5 汽 559 . 2016 浙江五校二联如图

8、所示，在边长为 1的菱形 ABCD中，/ DAB = 60 ，沿BD 将ABD翻折，得到三棱锥 A-BCD，则当三棱锥 A-BCD的体积最大时，异面直线 AD与BC所成的角的余弦值为（）51132A.B._C.D._84163答案：B;,解析在平面BCD内过D作DE /BC且DE = BC,则/ADE即为异面直线 AD与BC所成的角或其补角，连接 BE, AE,设BD的中点为O ,连接AO , EO ,当三棱锥A -BCD的体积最大时，平面ABD丄平面BCD，所以AO丄EO ,于是AE = /AO2 + EO2 = 严,1 +1 在三角形AED中，COS /ADE =2 Xi X12 1，所以

9、异面直线 AD与BC所成的角的余41弦值为410 . 2016 哈尔滨六中模拟如图所示，在四棱锥 P-ABCD中，/ABC = /BAD = 90 ,BC=2AD , APAB和APAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为（）A. 90 B. 75 C. 60 D .答案：A ；解析延长DA到E,使AE = DA，连接PE, BE./ABC =ZBAD = 90 , BC= 2AD , AE = DA ,DE = BC, DE/BC,四边形CBED是平行四边形，CD /BE,zPBE就是异面直线 CD与PB所成的角. /PAD是等边三角形，/PAD = 60 ,zPAE= 120

10、 在APAE 中， AE = PA , /PAE= 120 ,PE = PA2 + AE2-2PA AEcos ZPAE= 3AE. 在/ABE 中， AE= AB，/BAE = 90 ,BE = 2AE. ZPAB是等边三角形，PB = AB = AE.在APBE 中， PE= 3AE , BE= 2AE , PB = AE ,PB2+ BE2= PE2,z.ZPBE是直角三角形，且/ PBE= 90 .故选A.11 . 2014 全国卷 已知正四面体 ABCD中，E是AB的中点，则异面直线 CE与BD所成角的余弦值为（6 6答案：B:)33如图所示，取 AD的中点F,连接EF, CF,则E

11、F/BD，故EF与 CE与BD所成的角设正四面体的棱长为2，则CE= CF= 3 ,CE2 + EF2 CF23 + 1 3 V3EF= 1.在 ACEF 中，cos ZCEF=，所以异面直线 CE 与 BD2 CE EF 216解析CE所成的角即为异面直线所成角的余弦值为五6B12 如图是三棱锥 D -ABC连接DO后的三视图，点 O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线 DO和AB所成角的余弦值等于（）主视圈左视圈答案：A :解析由题意，从 A出发的三条线段 AB , AC, AD两两垂直且 AB = AC =2 , AD = 1 , O是BC的中点，取 AC的中点E,连接DE, OE，

12、贝U OE = 1易知AE= 1 , 由于OE/AB ,故/DOE即为异面直线 DO与AB所成的角或其补角.易知AB丄平面DAC,又OE/AB，所以OE丄平面DAC，所以OE丄。，即厶DEO为直角三角形.在 DBC中，易知 DC = DB= 5 ,OC=丿2，所以 DO =：5 2 =OE 1 -XV3 ，所以 cos /DOE = = = 一DO 冷 3 313 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 答案：60 ;解析：连接 B1D1，D1C，贝 U B1D1 /EF，故/D1B1C 为所求，又 B1D1= B

13、1C =D1C，zD1B1C= 60 14.直三棱柱 ABC-A1B1C1中，若/ BAC= 90 ,AB = AC = AA 1，则异面直线 BA1与AC1所成的角等于（）A. 30B. 45C. 60D . 90答案：C;解析：如图，可补成一个正方体,ACi /BDi.BAi与ACi所成角的大小为/ AiBDi.又易知 AiBDi为正三角形,zAiBDi = 60 .即BAi与ACi成60。的角.i5 . 20I4广州模拟在正四棱锥V-ABCD中，底面正方形 ABCD的边长为i ,侧棱长为2 ,则异面直线VA与BD所成角的大小为（）nB-4nC3nD2R答案:解析：如图所示，设AC ABD

14、 = 0,连接 VO,由于四棱锥 V-ABCD是正四棱锥，所以VO丄平面ABCD，故BD丄VO 又四边形 ABCD是正方形，所以 BD丄AC,所以BD丄平面VAC.所以BD丄VA，即异面直线 VA与BD所成角的大小为 2i6 . 20i4 西安模拟在三棱锥 P-ABC中，PA丄底面 ABC, AC丄BC, PA= AC = BC,则直线PC与AB所成角的大小是 答案：60 ;解析：分别取PA, AC, CB的中点F, D, E连接FD, DE, EF, AE,则/FDE是直线PC与AB所成角或其补角.设 PA= AC= BC = 28,在厶FDE 中，易求得 FD= 2a, DE= 2a, F

15、E= 6a,根据余弦定理，得cos ZFDE=2 a2 + 2 a2 6a22 x 2ax 2a所以/FDE= 120所以直线PC与AB所成角的大小是60 17 .如图所示，在正三棱柱 ABC-AiBiCi中，D是AC的中点，AAi : AB = “ 2 : 1 ,2答案：60 ;解析：在平面ABC内，过A作DB的平行线 AE,过B作BH丄AE于H , 连接B1H，则在RtmHB1中，/ B1AH为AB1与BD所成角.设 AB= 1，则A1A = 2 , /B1A =3,AH = BD =AH 1-COS /B1AH = AB 厂 2 ,1AH = 60 18.已知三棱锥 A-BCD中，AB

16、= CD，且直线 AB与CD成60。角，点M、N分别是BC、解：如图，取 AC的中点P,连接PM、PN.1贝U PM /AB,且 PM = AB.2线AB和MN所成的角.1PN ，且 PN = 2CD，JMPN为AB与CD所成的角（或所成角的补角）.则ZMPN = 60。或JMPN = 120 ,若ZMPN = 60 ,PM /AB, zPMN是AB与MN所成的角（或所成角的补角）.又TAB = CD,PM = PN，则 PMN是等边三角形，zPMN = 60。，即AB与MN所成的角为60 若ZMPN = 120 ，则易知AMN是等腰三角形./PMN = 30 19.正方体 ABCD-A1B1

17、C1D1 中,求AC与AiD所成角的大小;若E、F分别为AB、解析：（1）如图所示，连接 BiC，由ABCD-AiBiCiDi是正方体,易知AiD /BiC，从而BiC与AC所成的角就是 AC与AiD所成的角.ABi = AC= BiC,./BiCA = 60 即AiD与AC所成的角为60 如图所示，连接 AC、BD，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中,AC丄 BD , AC /AiCi,E、F分别为AB、AD的中点,EF/BD ,.EF丄 AC.EF AiCi.即AiCi与EF所成的角为9020 . (13分)2016 冀州中学模拟如图K39-9所示，在三棱锥 P-ABC中，PA丄平面A

18、BC,/BAC= 60 ,PA= AB = AC = 2 , E是 PC 的中点.(1)求证：AE与PB是异面直线；求异面直线 AE和PB所成角的余弦值.解：(1)证明：假设 AE与PB共面，设平面为aA a, B a, Ea,平面a即为平面ABE ,P 平面 ABE ,这与P?平面ABE矛盾，假设不成立，AE与PB是异面直线.AE和(2)取BC的中点F，连接EF, AF，贝U EF/PB,./AEF或其补角就是异面直线PB所成角./zBAC = 60 ,PA= AB = AC = 2, PA丄平面 ABC ,AF =3, AE=2, EF=2 ,2 + 2 31COS ZAEF =21异面直线AE和PB所成角的余弦值为 .421 . (12分)2016 湖南十三校二联如图K39-10所示，在四棱锥O -ABCD中，底面nABCD是边长为1的菱形，/ ABC =-, OA丄底面ABCD , OA = 2 , M为OA的中点.4(1)求异面直线AB与MD所成角的大小;求点B到平面OCD的距离.AB与MD所成的角.解：(1) VCD /AB, A/MDC或其补角即为异面直线作 AP 丄 CD 于 P,连接 MP , VOA 丄平面 ABCD ,.0A 丄 CD，又 AP 丄 CD, OA PAP=A ,