16第十六讲(叠加法计算梁的位移)

1、材料力学教案三峡大学 工程力学系第十六讲：弯曲位移的叠加法第十六讲：弯曲位移的叠加法上一讲我们学到 梁的弯曲变形可以用挠度和转角来描述；由于每个点处的变形不同，因此可以通过积分法求出挠度和转角方程，来描述整个梁的位移情况，从而可以进一步分析哪里最大，最大的当然最危险。 积分法的优点在于计算流程化，缺点是计算量大；有时我们可以通过经验判断出哪个点变形最大，因此可只求该点的变形。这就是我们本节要讲的叠加法叠加法。材料力学教案三峡大学 工程力学系第十六讲：弯曲位移的叠加法第十六讲：弯曲位移的叠加法当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。（可验证）在此情

2、况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。叠加原理利用附录IV中，1、2、4、6、7、8、10简单结构和荷载时的挠度和转角，计算复杂结构和荷载作用下的挠度和转角。材料力学教案三峡大学 工程力学系第十六讲：弯曲位移的叠加法第十六讲：弯曲位移的叠加法例题 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 wC 和两支座截面的转角qA 及 qB。(a) 解：解：此梁 wC 及qA，qB 实际上可不按叠加原理而直接利用本教材附录表中序号13情况下的公式得出。这里是作为灵活运用叠加原理的例子，假设这个公式怎么求解。材料力学

3、教案三峡大学 工程力学系第十六讲：弯曲位移的叠加法第十六讲：弯曲位移的叠加法 作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。(b)(a)材料力学教案三峡大学 工程力学系第十六讲：弯曲位移的叠加法第十六讲：弯曲位移的叠加法 在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材附录表中序号8的公式有 EIqlEIlqwC76853842/5441 48242/331EIqlEIlqBq 48242/331EIqlEIlqAqC材料力学教案三峡大学 工程力学系第十六讲：弯曲位移的叠加法第十六讲：弯曲位移的叠加法注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上

4、的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录表中序号8情况下的公式有 384242/2/3322EIqlEIlqBAqq 在集度为q/2的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有02CwC材料力学教案三峡大学 工程力学系第十六讲：弯曲位移的叠加法第十六讲：弯曲位移的叠加法按叠加原理得 EIqlEIqlwwwCCC7685076854421 38473844833321EIqlEIqlEIqlBBBqqq 12833844833321EIqlEIqlEIqlAAAqqq对

5、于悬臂梁和简支梁，在结构上不需改动，可直接利用附录IV的结论，把各种荷载对应的挠度和转角相加即可。这时需要特别注意下挠度的方向，转角的转向。材料力学教案三峡大学 工程力学系第十六讲：弯曲位移的叠加法第十六讲：弯曲位移的叠加法例题例题 试按叠加原理求图试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面所示等直外伸梁其截面B的转角的转角q qB，以及，以及A端和端和BC段中点段中点D的挠度的挠度wA和和wD。材料力学教案三峡大学 工程力学系第十六讲：弯曲位移的叠加法第十六讲：弯曲位移的叠加法 解：解：为利用本教材附录中简支梁和悬臂梁的挠度和转角资料，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁(图b)和简支梁(图c)连接而成

6、。原来的外伸梁在支座B左侧截面上的剪力 和弯矩 应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上，它们的指向和转向也应与 的正负相对应，如图b及图c中所示。22221qaaqMBBBMF和SqaFB2S材料力学教案三峡大学 工程力学系第十六讲：弯曲位移的叠加法第十六讲：弯曲位移的叠加法 图c中所示简支梁BC的受力情况以及支座约束情况与原外伸梁BC段完全相同，因此再注意到简支梁B支座左侧的外力2qa将直接传递给支座B而不会引起弯曲后，便可知道按图d和图e所示情况由本教材附录中的资料求qBq， q BM 和 wDq，wDM 并叠加后得到的就是原外伸梁的q B和wD。材料力学教案三峡大学 工程力学系第十

7、六讲：弯曲位移的叠加法第十六讲：弯曲位移的叠加法)(241162238454224EIqaEIaqaEIaqwwwDMDqD 3132242323EIqaEIaqaEIaqBMBqBqqq材料力学教案三峡大学 工程力学系第十六讲：弯曲位移的叠加法第十六讲：弯曲位移的叠加法 图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B支座截面是可以转动的，其转角就是上面求得的qB，由此引起的A端挠度w1=|qB|a应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA： EIqaEIaqaEIqawwwA44321127 8231材料力学教案三峡大学 工程力学系第十六讲：弯曲位移的叠加法第十六讲：弯曲位移的叠加法对于外伸梁，就需要先从结构上把它转化为悬臂梁和简支梁，然后再分别利用附录IV的结论，按照前述的方法计算挠度和转角。材料力学教案三峡大学 工程力学系第十六讲：弯曲位移的叠加法第十六讲：弯曲位移的叠