辅导课程十一PPT学习教案

1、会计学1辅导课程十一辅导课程十一 本章引进一个新的函数类本章引进一个新的函数类可测函可测函数类，并讨论它的性质，为下一章的勒数类，并讨论它的性质，为下一章的勒贝格积分作准备。我们将看到，可测函贝格积分作准备。我们将看到，可测函数与我们熟悉的连续函数有密切的联系数与我们熟悉的连续函数有密切的联系，在可测函数类中进行运算，如代数运，在可测函数类中进行运算，如代数运算、取极限运算等是相当方便的，所得算、取极限运算等是相当方便的，所得结果仍是可测函数。结果仍是可测函数。 第1页/共22页乎处处乎处处”概念是一个很重要概念是一个很重要的概念的概念第2页/共22页 设设E E是是 一个可测子集（有界或无界

2、）一个可测子集（有界或无界）， 是定义在是定义在E E上的实上的实函数（其值可以为无穷大）。函数（其值可以为无穷大）。 xf关于包含关于包含 在内的实数运算作如下规定在内的实数运算作如下规定： 是全体有限实数的上确界，是全体有限实数的上确界， 是全体有限实数的下确界：是全体有限实数的下确界： 为任何有限实数aa上（下）方无界的递增（减）数列上（下）方无界的递增（减）数列 .limnnaa 总有第3页/共22页对于任何有限实数对于任何有限实数 , aaaaa , 0,a00 a.aaa00 第4页/共22页 ,0,0,a无意义无意义设设 是任一实数，记是任一实数，记a afE xfaExx,:=

3、第5页/共22页定义定义1 1 设设 是定义在可测是定义在可测 集集 E E上的上的实函数。如果对每一个实数实函数。如果对每一个实数 集集 恒可测（勒贝格可恒可测（勒贝格可测），则称测），则称 是定义在是定义在 E E上的（勒贝格上的（勒贝格）可测函数。）可测函数。faafEf第6页/共22页 定理定理1 1 设设 是定义在可测是定义在可测 集集 E E上的实函数上的实函数，下列任一个条件都是，下列任一个条件都是 在在 E E上（勒贝格）上（勒贝格）可测的充要条件：可测的充要条件：（1 1） 对任何有限实数对任何有限实数 ， 都可测；都可测；（2 2） 对任何有限实数对任何有限实数 ， 都可测

4、；都可测；（3 3） 对任何有限实数对任何有限实数 ， 都可测；都可测；（4 4） 对任何有限实数对任何有限实数 ， 都都可测可测ffaafEaafEaafEbaba,bfaE |xf但充分性要假定第7页/共22页证明证明 与与 对于对于E E是是互余的，同样互余的，同样 与与 对于对于E E也是互余的。故在前三个条件中，只须也是互余的。故在前三个条件中，只须证明（证明（1 1）的充要性。）的充要性。事实上，易知事实上，易知afEafEafEafEafE11nnafE=afE11nnafE=第8页/共22页关于（关于（4 4）的充要性，只需注）的充要性，只需注意表示式意表示式 = = 时时 =

5、 = bfaE afEbfE xfafE1nnafaE第9页/共22页推 论推 论 1 1 设设 在在 E E 上 可 测 ， 则上 可 测 ， 则 总 可 测 ， 不 论总 可 测 ， 不 论 是有限实数或是有限实数或 ， 。 xfafEa 证证 只需注意只需注意afEafEafE-=fE=1nnfEfE=1nnfE第10页/共22页 例例1 1 定义在零测集上的任意实函定义在零测集上的任意实函数均数均 为可测函数。为可测函数。事实上，零测集的子集总是可测集。事实上，零测集的子集总是可测集。每一个实数每一个实数 ，集，集 恒可测恒可测 aafE 例例2 2 区间区间 上的连续函数及上的连续函

6、数及 单调函数都是可测函数。单调函数都是可测函数。 ba,第11页/共22页例例1 1 设设 = = ，在，在 上定义狄里克上定义狄里克雷雷 函数如下：函数如下： = =E1 , 0E xD为无理数为有理数xx01由于对任意实数由于对任意实数 ，集，集 为为 （当（当 ），）， 中有理点集中有理点集 空集空集 。 它们都是可测集。它们都是可测集。故故 是是E E上的可测函数。上的可测函数。aafEE0aE10当a1a当 xD第12页/共22页定义定义2 2 定义在定义在 的实函数的实函数 称为称为在在 连续，如果连续，如果 有限，而且有限，而且对于对于 的任邻域的任邻域 ，存在，存在 的某邻的

7、某邻域域 ，使得，使得 ，即只要，即只要 且且 时，便有时，便有 。如果如果 在在E E中每一点都连续，则称中每一点都连续，则称 在在E E上连续。上连续。nEE xf0 xE00 xfy 0y0yV0 x0 xUEUfVExx0 xU xf0yV xf xf第13页/共22页定义定义 3 3 设设 的定义域的定义域E E可分为有限个可分为有限个互不相交的可测集互不相交的可测集 ， = = ，使使 在每个在每个 上都等于某个常数上都等于某个常数 则称则称 为简单函数。为简单函数。 xfnEEE,21EniiE1 xfiEic xf第14页/共22页例例4 4 可测集可测集E E上的连续函数是可

8、测函数。上的连续函数是可测函数。 事实上，设事实上，设 ，则由连续性，则由连续性假设，存在假设，存在x x的某邻域的某邻域 ，使，使xafE xU ExUafE令 = G fExxUafE GafEafEGE=第15页/共22页定理定理2 2 （1 1）设）设 是可测集是可测集E E上的可测上的可测函数，而函数，而 为可测子集，则为可测子集，则 看看作定义在作定义在 上的函数时，它是上的函数时，它是 上的上的可测函数；可测函数； xf1EE xf1E1E（2 2） 设设 是定义在有限可测集是定义在有限可测集 的并集的并集 上，上，且在每个且在每个 上上 都可测，则都可测，则 在在E E上也可测

9、。上也可测。 xfiEni, 2 , 1niiEE1 xfiE xf第16页/共22页aafE11EafE（2 2） E E是可测集而且对于任何有是可测集而且对于任何有限数限数 ，有，有 = =aafEafEnii1由假设等式右边是可测集。由假设等式右边是可测集。第17页/共22页例例1 1 任任 何简单函数都是可测函数。何简单函数都是可测函数。 事实上，定义在可测集上的常值函事实上，定义在可测集上的常值函数显然是可测数显然是可测 的，由定理的，由定理2 2便知任何便知任何 简简单函数都是可测函数。单函数都是可测函数。第18页/共22页定理定理3 3 设设 是是 上一列（或有限个上一列（或有限个）可测函数，则）可测函数，则 = = 与与 都是可测函数。都是可测函数。证证 由于由于 = = ， = =而得证。而得证。 xfnE x xfnninf x xfnnsupaEnnafEaEnnafE第19页/共22页定理定理4 4 设设 是是 上一列可测函数，上一列可测函数，则则= = ， xfnE xFlimn xfn xGlimn xfn也在也在E E上可测，特别当上可