辅助线在中考中的应用专题PPT学习教案

1、会计学1辅助线在中考中的应用专题辅助线在中考中的应用专题 三角形一章是同学们学习几何证明的基础.在学习过程中,有些同学常常对几何证明题辅助线的添加方法显得束手无策,下面我们就来一起探究三角形中常见辅助线的作法.第1页/共74页人说几何很困难，难点就在辅助线. 辅助线，如何添？把握定理和概念. 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验. 图中有角平分线，可向两边作垂线. 也可将图对折看，对称以后关系现. 第2页/共74页角平分线平行线，等腰三角形来添. 角平分线加垂线，三线合一试试看. 线段垂直平分线，常向两端把线连. 要证线段倍与半，延长缩短可试验. 三角形中有中线，延长中线等中线. 第3页/共74页1

2、.三角形中的性质: (1)三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; (2)三角形的三内角之和为180度; (3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.2.三角形中的线 :中线;高线;角平分线;中垂线.第4页/共74页(1)等腰三角形;(2)等边三角形;(3)直角三角形;(4)等腰直角三角形.3.特殊的三角形 :第5页/共74页1.中线倍长法2.截长补短法3. 角平分线构造全等法4.垂直平分线5.补形法常 用 辅 助 线第6页/共74页典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.ACBD1.连结AC构造全等三角形2.连结BD构造两个等腰三角形第7页/共74页典例2:如图,

3、AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求证:点M是CD的中点.ACBD连结AC、AD构造全等三角形EM第8页/共74页典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD的中点，求证：AMB ANCACBD连结AD构造全等三角形NM第9页/共74页典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.ACBD连结BD构造全等三角形O连接已知点，构造全等三角形第10页/共74页典例1:如图,ABC中, C =90o,BC=10,BD=6, AD平分BAC,求点D到AB的距离.过点D作DEAB构造了:全等的直角三角形且距离相等ACDBE角平分线上向

4、两边作垂线段第11页/共74页典例2:如图,ABC中, C =90o,AC=BC, AD平分BAC,求证:AB=AC+DC.ACD过点D作DEAB构造了:全等的直角三角形且距离相等BE角平分线上向两边作垂线段第12页/共74页典例3:如图,梯形中, A= D =90o, BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.过点E作EFBC构造了:全等的直角三角形且距离相等 思考: 你从本题中还能得到哪些结论?ACDBFE角平分线上向两边作垂线段第13页/共74页2.如图,梯形中, A= D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.延长BE和CD交于点F构造了:全等的直角三角形

5、F 思考: 你从本题中还能得到哪些结论?ACDBE角平分线上向两边作垂线段1212第14页/共74页典例4:如图,OC 平分AOB, DOE +DPE =180o, 求证: PD=PE.ACD过点P作PFOA,PG OB构造了:全等的直角三角形且距离相等BF 思考: 你从本题中还能得到哪些结论?EPGO角平分线上向两边作垂线段第15页/共74页1.AD是ABC的中线，ABCDE)(21ACABAD求证：延长AD到点E，使DE=AE，连结CE.中线倍长第16页/共74页第17页/共74页第18页/共74页如图,ABC中,A=90o, D在AB的垂直平分线上,E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm

6、,求ADE的周长.BACDEAD+AE+DE=BD+CE+DE=BC垂直平分线两边连第19页/共74页3.如图,A、A1关于OM对称, A、A2关于ON对称.若A1 A2 =6cm,求ABC的周长.BACOMAB+AC+BC=A1B+ A2C+BC=A1A2A1A2N垂直平分线两边连第20页/共74页4.如图, ABC中，MN是AC的垂直平分线.若AN=3cm, ABM周长为13cm，求ABC的周长.BACMAB+BC+AC=AB+BM+MC+6=NAB+BM+AM+6=13+6=19垂直平分线两边连第21页/共74页5.如图, ABC中，BP、CP是ABC的角平分线，MN/BC.若BC=6c

7、m, AMN周长为13cm，求ABC的周长.BACPAB+AC+BC=AM+ BM+AN+NC+6=NAM+ MP+AN+NP+6=13+6=19MAM+AN+MN+6=等腰三角形性质第22页/共74页例4.如图,BCAB,BD平分ABC,且AD=DC,求证AC=180.分析:我们要证AC=180.设法将A和C“搬”到一块,拼成一个平角,现有以下几种方式.第23页/共74页又BEDDEC=180,故AC=180.证法1:如图在BC上截取BE=AB,连DE,可证ABD EBD.得到DE=AD=DC,A=DEB,C=DEC,第24页/共74页证法2:如图延长BA至F,使BF=BC连接DF.则有BD

8、F BDC,得CD=DF=AD,C=F.由BAF为平角可证结论成立.第25页/共74页证法3:如图,过D分别作ABC的两边的垂线,E、F为垂足,则DE=DF,易证ADF CDE,有C=DAF,故BADC=180.第26页/共74页证法4:如图,过A作BD垂线交BC于G,交BD于H,连DC,易证ABH GBH, 则AB=BG,AH=HG,根据等腰三角形的“三线合一”知DG=AD=DC.ABD GBD，BAD=BGD,故BADC=180 .第27页/共74页点评：1.四种证法都利用了“拼”的方法,所不同的是有截取、延长、作垂线等方法.2.前三种方法是利用构造全等三角形和等腰三角形作转化,第四种方法

9、是反复运用等腰三角形的性质进行转化,这些方法具有代表性.3.几何证题中要学会转化思想,它是一种常用的数学思想方法,必须熟练掌握.第28页/共74页1.已知:BC平分EBD,AFBC,F是ED的中点.求证:EG=AD分析:有中线且证明两线段相等,一般延长构造全等三角形.延长GF到 H使FG=HF, 连接DH .第29页/共74页证明:延长GF到 H使FG=HF, 连接DH . EBDCFAGH,.EBCDBCEGFAAHADDHEGAD F是ED 的中点EF=FD EGF DHF EGFH EG=DH,EGFEBCDBCA AFBC第30页/共74页2.在等腰三角形ABC的底边BC上取任意一点D

10、,过点D作DEAB, DFAC.过点B作AC边上的高BG.求证:等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.分析:如图所示要证两线段之和等于第三边要么截长要么补短两种方法都行.由题意三条线段都是高线也可用面积相等来做.第31页/共74页 DE+DF=BG方法一:(截长法)H过D做DH BG交BG于H.则DF=GH, BDE DBH得BH=DE第32页/共74页 DE+DF=BG方法二:(补短法)延长FD,过B做BH FD交FD于H.则HF=GB, BDE DBH得DH=DEH第33页/共74页方法三:(等积法)连接ADABCADCABDSSSBGDFDEBGABDFDEABACABB

11、GACDFACDEAB)(212121第34页/共74页3.已知如下图示:D、E为ABC内两点,求证:ABACBDDECE.ABCDENM分析:本题求证几边之和大于另外几边之和的问题,通常构造三角形,利用两边之和大于第三边,从而求解.有两种方法.第35页/共74页ABCDENM证明:(法一)将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N,在AMN中,AMAN MDDENE; (1)在BDM中,MBMDBD; (2)在CEN中,CNNECE； (3)由(1)(2)(3)得:AMANMBMDCNNEMDDENEBDCEABACBDDEEC 第36页/共74页法二:如右图, 延长BD交 AC于F,延长CE

12、交BF于G,在ABF和GFC和GDE中有: ABAF BDDGGF(三角形两边之和大于第三边) （1）ABCDEFGGFFCGECE(同上)（2）DGGEDE(同上)（3）由(1)(2)(3)得:ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC.第37页/共74页4.如图:已知D为ABC内的任一点,求证:BDCBAC.AD .CBEF分析:要证明两角的大小,尽量把这两角向一个三角形中转化,利用大角对大边;如果不行可以利用三角形的外角定理;也可以放缩.第38页/共74页同理DECBAC,证法一:延长BD交AC于点E,这时BDC是EDC的外角,BDCBACAD .CBEBDCD

13、EC,第39页/共74页即：BDCBAC.AD .CBF证法二:连接AD,并延长交BC于FBDF是ABD的外角BDFBAD，同理，CDFCADBDFCDFBADCAD1234第40页/共74页5.已知ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如下图, 求证EF2AD. ABCDEF分析:本题要证倍半需延长短的线段.G延长AD到G 使DG=AD, 连接BG第41页/共74页证明:延长AD到G 使DG=AD, 连接BG.可证BGD CAD23，BG=AC,ABE和ACF是等腰直角三角形.BAE=CAF=90,AB=AE,AC=AF.EAF=360-90-9

14、0-(1+2)=180-(1+2) EF=AG=2ADGABCDEF1 23在ABG中ABG=180-(1+3)ABG=EAF,可证EAF ABG (SAS)第42页/共74页6.如图:已知ACBD,ADAC于A ,BCBD于B,求证:ADBC分析:要证两线段的长相等,需要构造全等三角形,利用全等三角形对应边相等即可.可分别延长DA,CB, 交于E点EABCDO第43页/共74页()()()EEDBECAEBDAC 公共角已证已知证明:(方法一)分别延长DA,CB, 交于E点, ADAC BCBD (已知) CAEDBE 90 (垂直的定义) EDEAECEB 即:ADBC.EABCDO在DB

15、E与CAE中 DBE CAE (AAS)EDEC EBEA (全等三角形对应边相等)第44页/共74页证明:(方法二)在ADC与BCD中 ADAC BCBD (已知)ABCDOBD=AC,DC(共用)ADC BCD (HL)ADBC(全等三角形对应边相等)CADDBC 90 (垂直的定义)第45页/共74页7.已知:如图,AC、BD相交于O点,且ABDC, ACBD,求证:AD.BDCAO分析:由图知是“又字”形轴对称图形,要证两角相等要么构造等腰三角形;要么构造全等.第46页/共74页DCBAOAD(全等三角形对应边相等)证明:连接BC,在ABC和DCB中)()()(公共边已知已知CBBCD

16、BACDCABABC DCB (SSS)第47页/共74页8.在ABC中,ADBC,CADBAD,求证:ACAB D A B C分析:要证ACAB只需利用大边对大角.E方法二:在DC上截取DE=BD方法一:可直接证明BC第48页/共74页证明:(方法二)在DC上截取DE=BD,连接AE,则可证明ABDADE, ACAB BAEDAEDC,AECB,AECCABCDE第49页/共74页第50页/共74页键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。n斜边上面作高线，比例中项一大片。第51页/共74页特殊四边形1利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，

17、四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分. 一、与平行四边形有关的辅助线作法证四边形AODE为平行四边形第52页/共74页特殊四边形2利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图，在ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED/AC，FG/AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.第53页/共74页特殊四边形3利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证：BF=AC.1234M第54页/共74页特殊四边形和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线和作高，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图，

18、在ABC中，ACB=90，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF/BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.二、和菱形有关的辅助线的作法 对角线互相垂直且平分第55页/共74页特殊四边形例5 如图，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证：EF+BF的最小值等于DE长.二、和菱形有关的辅助线的作法 第56页/共74页特殊四边形和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.三、与矩形有辅助线作法例6 如图，已知矩形ABC

19、D内一点，PA=3， PB=4，PC=5.求 PD的长. 2222PAPCPBPD3 2第57页/共74页特殊四边形作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7 如图，过正方形ABCD的顶点B作BE/AC，且AE=AC，又CF/AE.求证：BCF= AEB21四、与正方形有关辅助线的作法AHBO为正方形AEB=30OBCF=15O第58页/共74页例正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数第59页/共74页特殊四边形和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.五、与梯形有关的辅助线的作法第60页/共74页特殊四边形例8 已知，如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=AC，BAC=90，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD. 作双高1122DFAEBCBD30OCBDBDC=COD=75O作高第61页/共74页特殊四边形例9 如图，