圆锥曲线方程知识点总结1

1、2011 年圆锥曲线方程知识点总结1. 圆锥曲线的两个定义：（ 1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2 的距离的和等于常数 2a，且此常数 2a一定要大于 F1F2 ，当常数等于 F1F2 时，轨迹是线段 F1F2 ，当常数小于 F1F2 时，无轨迹；双曲线 中，与两定点 F1，F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数 2a一定要小于 |F 1 F 2 |，定义中的“绝对值” 与 2a 0,b0 ）中，离心率 e 2 ,2,则两条渐近线夹角 的取值范围a2 b2答： 3,2）；3）抛物线（以 y2 2px（p 0） 为例）：范围： x 0,y R ；焦

2、点：一个焦点 （2p,0） ，其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴y 0 ，没有对称中心，只有一个顶点（ 0,0 ）；准线：一条准线px ；离心率：2（答： （0, 1 ） ）；16ae c ，抛物线 e 1 。如设 a 0,a R，则抛物线 a2y 4ax2 的焦点坐标为2x5、点 P(x0, y0 )和椭圆 2 a2y2 1（ a b 0 ）的关系：1）点 P（x0,y0） 在椭圆外2 x0 y02 a202 1；( 2)点 P(x0,y0) 在椭圆上2ba2x02y02 1；b23）点 P（x0,y0） 在椭圆内2ax02 by022 16直线与圆锥曲线的位置关系

3、：（ 1）相交：0 直线与椭圆相交； 0 直线与双曲线相交， 但直线与双曲线相交不一定有0 ，当直线与双曲线的渐近线平行时， 直线与双曲线相交且只有一个交点， 故 0 是直线与双曲线相交的充分条件， 但不是必要条件； 0 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点， 则 k 的取值范围是答：(- 315 ,-1)；322（2）直线 ykx1=0 与椭圆 x y 1恒有公共点， 则 m 的取值范围

4、是 （答：1，5）（5，+）；5m22（3）过双曲线 x y1的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若 AB 4，则这样的直线有 _条（答：123）（ 2）相切：0 直线与椭圆相切； 0 直线与双曲线相切； 0 直线与抛物线相切；（ 3 ）相离：0 直线与椭圆相离； 0 直线与双曲线相离； 0 直线与抛物线相离。特别提醒：（ 1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的 渐近线平行时 ,直线与双曲线相交 ,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时, 直线与抛物线相交 ,也只有一个交点；22 xy（ 2）过双曲线 2 2 1外一点 P（x0, y

5、0 ）的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： ab P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时， 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相 切的两条切线，共四条； P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时， 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切 的两条切线，共四条； P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线； P 为原点时不存在这样的直线；（ 3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如（ 1）过点 （2,4） 作直线与抛物线 y2 8x只有一个公共点，这样的直线有 （答： 2）；（2）

6、过点（0,2） 与双曲线 x y 1有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_（答：4, 4 5 ）；9 16 3 32（3）过双曲线 x2 y 1的右焦点作直线 l交双曲线于 A、B 两点，若 AB 4，则满足条件的直线 l有条（答： 3）；22（4）对于抛物线 C：y2 4x ，我们称满足 y02 4x0的点 M （ x0 , y0 ）在抛物线的内部， 若点 M （x0, y0 ）在抛物线 的内部，则直线 l：y0y 2（x x0 ）与抛物线 C的位置关系是 （答：相离）；2（5）过抛物线 y2 4x的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、

7、q，则11 （答： 1）；pq226）设双曲线 x y1的右焦点为 F ，右准线为 l ，设某直线 m 交其左支、右支和右准线分别于 P,Q,R，16 9则 PFR 和 QFR 的大小关系为（ 填大于、小于或等于 ） （答：等于）2 2 8 137）求椭圆 7x2 4y2 28上的点到直线 3x 2y 16 0的最短距离（答： 81313 ）A、B 分别在双曲线的两支上？228）直线 y ax 1与双曲线 3x2 y2 1交于 A、 B两点。当 a为何值时， 当 a 为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？（答： 3, 3 ； a 1 ）； 7 、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距

8、离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距 离，即焦半径 r ed ，其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。答： 35 ）；322如（ 1）已知椭圆 x y 1上一点 P到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为25 162 ）已知抛物线方程为 y2 8x，若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离等于3）若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4，则点 M 的坐标为 （答： 7,（2, 4） ）；12224 ）点 P 在椭圆 x y 1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P 的横坐标为25 95）抛物线 y2 2x上的两

9、点 A、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到 y轴的距离为 （答： 2）；226）椭圆 xy 1内有一点 P（1, 1） ，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使 MP 2 MF 之值最小，则点M 的坐标为 （答： （ 2 6 , 1） ）；38、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求 解。设椭圆或双曲线上的一点 P（x0, y0） 到两焦点 F1 , F2的距离分别为 r1, r2 ，焦点 F1PF2的面积为 S ，则在椭圆2x2a2 y2 b21中，2b2b 2 c2 arccos(2b 1)，且当 r1 r2即 P 为短轴

10、端点时， 最大为 max arccos b c r1r2a22 S b2tanc| y0|，当 |y0 | b即 P 为短轴端点时， Smax的最大值为 bc；max22对于双曲线 ax2 by2 1的焦点三角形有： arccos 1 2b12； Sr1r2 sinb 2 cot 。22如（1）短轴长为 5，离心率 e 2 的椭圆的两焦点为 F1、F2 ，过 F1作直线交椭圆于3A、B 两点，则 ABF2的周长为答： 6 ）；2）设 P 是等轴双曲线 x 2a2（a 0）右支上一点， F 1、F2是左右焦点，若 PF2 F1F2 0 ，|PF 1|=6 ，则该双曲线的方程为答： x 2 y2

11、4 )3）椭圆22x y 194的焦点为 F1、 F2，点P 为椭圆上的动点，当 PF2 PF1 0 时，点 P 的横坐标的取值范围是答：3535( 355 ,355)；4）双曲线的虚轴长为4 ，离心率 e 62，F1、F2 是它的左右焦点，若过 F1 的直线与双曲线的左支答： 8 2 ）；交于 A、B 两点，且 AB是 AF2 与 BF2 等差中项，则 AB 5）已知双曲线的离心率为2， F1、 F2 是左右焦点， P 为双曲线上一点，且F1PF2 60 ，S PF1F212 3 求该双曲线的标准方程（答：22x42 1y22 1）；圆锥曲线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（ 1）抛物线

12、以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；椭圆以过焦点的弦为直径的圆和相应准线相离，双曲线 以过焦点的弦为直径的圆和相应准线相交设 AB 为焦点弦， M 为与相应准线与 x 轴的交点，则 AMF BMF ；9、2）3）抛物线设 AB 为焦点弦， A、B在准线上的射影分别为 A1，B1，若 P为 A 1 B 1的中点，则 PAPB；抛物线（椭圆，双曲线）设 AB 为焦点弦若 AO 的延长线交准线于 C，则 BC 过 B 点平行于 x轴的直线交准线于 C 点，则 A，O，C 三点共线。4）平行于 x 轴，反之，若10 、弦长公式：若直线 y kx b 与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 x1 , x2 分别

13、为 A、B 的横坐标，则 ABx1 x2 ，若 y1, y2分别为 A、B 的纵坐标，则 AB 1 2x ky b ，则 AB 1 ky1 y2 。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（ 1）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于等于 （答： 8）；A（x1，y1），By1 y2，若弦AB所在直线方程设为焦点弦的弦长的计算，x2，y2）两点，若般不用弦x1+x 2=6，那么 |AB|2）过抛物线 y2 2x 焦点的直线交抛物线于A、 B 两点，已知|AB|=10， O 为坐标原点，则 ABC 重心的横坐标为答： 3）；11 、

14、圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用韦达定理”或“点差法”2x求解。在椭圆 2a22by2 1中，b2 x0 以P（x0,y0）为中点的弦所在直线的斜率k= 2 0 ；a y022在双曲线 x2 y2 1 中，a2 b 2以 P （x0, y0） 为中点的弦所在直b2x线的斜率 k= 2 0a2y0；在抛物线 y2 2px（p 0）中，以 P（x0, y0） 为中点的弦所在直线的斜率k= p 。y0如（ 1）如果椭圆2x236 9y 1 弦被点 A（4， 2）平分，那么这条弦所在的直线方程是答：x 2 y 8 0 ）；2）已知直线22 xy y= x+1 与椭圆 2 a2 b2 1（a

15、b 0）相交于 A、B两点，且线段 AB 的中点在直线 L：x 2y=0 上，则此椭圆的离心率为答： 2 ）；2y 4x m 对称（答：3 ）试确定 m 的取值范围，使得椭圆22x y 1 上有不同的两点关于直线432 13 2 13 ,)13 13特别提醒：因为0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 0 ！12 你了解下列结论吗？2222（ 1）双曲线xy1的渐近线方程为xy0；2222abab2 2 2 2（2）以 ybx为渐近线 （即与双曲线xy1共渐近线）的双曲线方程为 xy （ 为参数， aa2b 2a 2b2x2 y 24x2 y20

16、 ）。如与双曲线 x y 1有共同的渐近线，且过点 （ 3,2 3） 的双曲线方程为 （答： 4x y 1 ）9 16943）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2 ny2 1 ；4）椭圆、 双曲线的通径 （过焦点且垂直于对称轴的弦）为2ab2，a焦准距 （焦点到相应准线的距离）为 bc2 ，c抛物线的通径为 2p ，焦准距为 p；（ 5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；6)若抛物线 y2 2px(p 0)的焦点弦为 AB， A(x1, y1), B(x2, y2) ，则 |AB| x1 x2 p；2 x1x2 p4 ,y1y2p27）若 OA、OB 是过抛物线 y

17、2 2px（p 0）顶点 O的两条互相垂直的弦， 则直线 AB 恒经过定点 （2 p,0）13 动点轨迹方程：（ 1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（ 2）求轨迹方程的常用方法： 直接法： 直接利用条件建立 x, y之间的关系 F（x,y） 0 ；如已知动点 P 到定点 F（1,0）和直线 x 3的距离之和等于 4，求 P的轨迹方程（答： y212（x 4）（3 x 4）或 y2 4x（0 x 3）； 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如抛物线顶点在原点，坐标轴为对称轴，过 1,4 点，抛物线方程为 （答：

18、2 2 1 y2 16x, x2y ）；4 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如（1）由动点 P 向圆 x2 y2 1作两条切线 PA 、 PB ，切点分别为 A 、 B， APB=60 0，则动点 P 的轨迹方程为22（答： x2 y2 4 ）；（2）点M与点 F（4,0）的距离比它到直线 l：x 5 0的距离小于 1，则点 M的轨迹方程是 （答：y2 16x）；2 2 2 2（3） 一动圆与两圆 M： x2 y2 1和 N： x2 y2 8x 12 0 都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答： 双曲线的一支）；22（4）（08 东城一模 ） 已

19、知定圆 A：（x 1）2 y2 16，圆心为 A，动圆 M过点 B（1,0）且和圆 A相切，动圆的圆 心 M 的轨迹记为 C. 求曲线 C 的方程；代入转移法：动点 P（x,y）依赖于另一动点 Q（x0, y0）的变化而变化，并且 Q （ x0 , y0 ）又在某已知曲线上，则可先用 x, y的代数式表示 x0, y0，再将 x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程。如 ABC周长 16, A（ 3,0） , B（3,0） 动点P是其重心 ,当C运动时,则P的轨迹方程为 （答：229x2 9y225 16 参数法：当动点 P（x,y） 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x

20、, y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程,引入 n 个参量 需要 n+ 1 个等式 ,等式由几何条件坐标化得来 注意参量得范围 , 如（1）AB是圆 O的直径，且|AB|=2 a，M为圆上一动点，作MN AB ，垂足为 N，在OM 上取点 P ，使|OP | MN | ，求点 P 的轨迹。（答： x2 y2 a| y| ）；（2）若点 P（x1,y1）在圆 x2 y2 1 上运动，则点Q（ x1 y1 ,x1 y1）的轨迹方程是 （答： y2 2x 1（|x| 21） ）；（3）过抛物线 x2 4y的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点，则弦 AB 的中点

21、M 的轨迹方程是 （答：x2 2y 2 ）；（4） （08 海淀一模 ）已知点 A,B 分别是射线 l1 :y x x 0 ， l2 :y x x 0 上的动点， O 为坐标原点，且OAB 的面积为定值 2求线段 AB中点 M的轨迹 C的方程；注意：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化。22如已知椭圆 x2 y2 1（a b 0）的左、 右焦点分别是 F1（c，0）、F2 a2 b20），Q 是椭圆外的动点，满足 |F1Q| 2a.点 P 是线段 F1Q与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q上，并且满足 cPT

22、 TF2 0,|TF2 | 0.（1）设x为点 P的横坐标，证明 |F1P| a x ；（2）求点 T的轨迹 C的方程； （3）a试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使 F1MF 2的面积 S=b2.若存在，求 F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由 . （答：（ 1）略；（ 2）x2 y2 a2；（3）当 b a时不存在；当 b a时存在，此时 F1MF2 cc2）曲线与曲线方程、 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念， 寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹 的“完备性与纯粹性”的影响 . 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”坐标化（三点共线转化为斜率相等

23、）、化解析几何问题为代数问题（方程与函数）、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不 等关系”等等 . 如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化 . 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：1） 给出直线的方向向量 u 1,k 或 u m,n ；（2）给出 OA OB与 AB相交,等于已知 OA OB过 AB的中点 ;（3）给出 PM PN 0,等于已知 P是MN的中点 ;（4）给出 AP AQ BP BQ ,等于已知 P,Q与 AB的中点三点共线 ;（ 5） 给出以下情形之一： AB/ AC ；存在实数 , 使ABAC

24、 ；若存在实数, ,且1,使OCOA OB ,等于已知 A,B,C 三点共线 .OA OB（6） 给出 OP，等于已知 P是 AB的定比分点， 为定比，即 AP PB17） 给出 MA MB 0 ,等于已知 MA MB ,即 AMB 是直角 ,给出 MA MB m 0 ,等于已知 AMB是钝角 , 给出 MA MB m 0 ,等于已知 AMB 是锐角 ,8）给出MA MBMA MBMP ,等于已知 MP 是 AMB 的平分线 /9）在平行四边形 ABCD中，给出 （AB AD） （AB AD） 0，等于已知 ABCD是菱形 ;10)在平行四边形 ABCD 中，给出 |AB AD| |AB AD

25、|，等于已知 ABCD 是矩形 ;2 2 2（ 11）在 ABC 中，给出 OA OB OC ，等于已知 O是 ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角 形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在 ABC中，给出 OA OB OC 0 ，等于已知 O是 ABC的重心（三角形的重心是三角形三 条中线的交点）；（13）在 ABC中，给出 OA OB OB OC OC OA ，等于已知 O是 ABC 的垂心（三角形的垂心是 三角形三条高的交点）；（14）在 ABC中，给出 OP OA （ AB AC ） （ R ）等于已知 AP通过 ABC的内心； |AB| | AC|15）在 ABC 中，

26、给出 a OA b OB c OC 0, 等于已知 O是 ABC的内心 （三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16） 在 ABC中，给出 AD 1 AB AC ,等于已知 AD是 ABC中BC边的中线 ;15圆锥曲线最值 ,定值 ,定点问题基本方法 :拿到表达式或和问题等价的代数形式 （西城）已知定点 C（ 1，0）及椭圆 x2 3y2 5，过点 C 的动直线与椭圆相交于1A，B两点.M 的坐标；若不存在，请说明理由）若线段 AB中点的横坐标是，求直线 AB 的方程； ）在 x 轴上是否存在点 M ，使 MA MB 为常数？若存在，求出点（ 海淀文科 ） 已知椭圆的

27、中心是坐标原点FE OF ，过点 F 的直线与椭圆相交于FEO ，它的短轴长为 2 ，右焦点为A,B两点， 点C和点 D在l上，（I） 求椭圆的方程及离心率；1（II） 当|BC| 3 | AD |时，求直线3（ III ）求证：直线 AC 经过线段 EF 的中点 .16. 解析几何中求变量的范围问题 :AB 的方程；基本方法 :一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题例（08 海淀一模 ）直线 l过抛物线 y2 x的焦点 F，交抛物线于 A，B 两点，角 , 则 |FA|的取值范围是（4F ，右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，且 AD/BC/x 轴 .或转化为解不等式且

28、点 A在 x轴上方，若直线 l 的倾斜A)41,23)B)(1,344C)(41, 2342D) (1,1 242例已知椭圆 W的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率为 6 ，两条准线间的距离为 6. 椭圆 W的左焦点为 F， 3过左准线与 x轴的交点 M 任作一条斜率不为零的直线 l与椭圆 W交于不同的两点 A、B，点 A关于 x轴的对称 CF FB （R ） ；点为 C .（）求椭圆 W 的方程；（）求证：）求 MBC 面积 S 的最大值 .y2例.椭圆方程为 x2 y9 =1是否存在直线 l ，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段 MN恰被直线1x=- 1 平分。2若存在，求 l的倾斜角

29、的范围；若不存在，请说明理由。答案 : l 倾斜角3 ,2 2例已知椭圆2x y2 1的左焦点为 F，O 为坐标原点 .（ I）求过点 O、2F，并且与椭圆的左准线Bl 相切的圆的方程；II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A 、 B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围 .G解答过程：( I) 所求圆的方程为 (x 1)2 (y 2)2 9.2420.( II )设直线 AB 的方程为 y k(x 1)(k 0), 代入 x y2 1,整理得 (1 2k2)x2 4k2x 2k2 22直线 AB 过椭圆的左焦点 F， 方程有两个不等实根 .2记 A( x1, y1), B(x2 , y2), AB中点 N(x0,y0),则x1 x242k ,1 2 2k 2 1AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y y0 1(x x0).0 k 0