理论力学点的合成运动习题解

1、第七章点的合成运动习题解习题71汽车A以=40km/h沿直线道路行驶汽车以冬=4（）72/沿期一叉道行驶求在8车上观察到的A乍的速度。解：动点：人乍。动系：固连于B车的坐标系。静系：固连地血的坐标系.绝対运动：动点A相对于地面的运动。相对运动：动点A相对于B乍的运动。 牵连运动：在动系中，动点与动系的巫介点， 即牵连点相对于静系（地面）的运动。当A、B两车相遇时.即它们之间的距离趋近于0时,A、B相巫合，B乍相对于地面的速度就是 牵连速度。vf = v2 o由速度合成定理得：V = V + Vz o用作图法求得：vr = vAB = 40km/h ( t )故.B乍上的人观察到人乍的速度为vr

2、 = vAB = 40km/h ,方向如图所示。习题7-2由西向东流的河，宽1000m,流速为0. 5m/s,小船口南岸某点出发浪至北岸，设小船 相对于水流的划速为lm/s。问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间 需多久？（2）若欲使船在北岸上匸对出发点处靠岸.划船时应取什么方向？渡河时间盂多久？解：（1 ）动点：船。动系：固连在流水上。静系：固连在岸上。绝对运动：岸上的人看到的船的运动。 相对运动：船上的有看到的船的运动。 牵连运动：与船相虫合的水体的运动。 绝对速度：未知待求.如图所示的V 相対速度：匚=1加/,方向如图所示。 牵连速度:匕.=0.5$ ,方向如图所示

3、。 由速度合成定理得：v = vr + vrv = q v； + v； = Vo.52 +12 = 1.118(m/5) = arctan = arctan- = 63.435-心需二罟OOM),即，船将在北岸下流5 5处祸如图所示，A为出发点，B为靠岸点。渡河所花的时间:F = 1=()()(心)=16分 4()秒 1/7：/5(2)匕U.3“、0a = arcsin = arcsin =3()匕1v = J”； 一if = /12 +O.52 = 0.866(zh/.v)即船头对粧方向为北偏两30渡河所花的时问：1000加0.866m/s= 1155(5) = 19 分 15 秒习题7-3

4、播种机以匀速率v=m/sH线而进。种J二脱离输种管时八有相对于输种管的速度v2 = 2m!s o求此时种了相対丁地面的速度，及落至地面上的位凰与离丿I输种管时的位胃之间水平距离。解：动点：种子。动系：同连于输种管的坐标系。静系：同连于地面的坐标系。绝对速度：种了利对于地面的速度，未知待求。相对速度:vr = v2 = 2m I s牵连速度：ve = v, = m/sv = Vl2+22-2xlx2cos120 = 265($)I = 2.65 sin(60 -3) sin 120 60-i9 = arcsin Snl2()- = 19.072.656 = 40.93即:与E之间的夹角为& =

5、40.93。种了走过的水平距离为：s = vt = vcosrA/ = +h = vsin + -gr2().25 = 2.65 sin 40.93/ + ().5 x 9.8/24.9r2 4-i.736r-0.25 = 0_ -1.736 Jl.736 -4x4.9x(T).25) _ 一 1.7362$13 _ J 0l(s)-2x4.9一 98- - 0.464(0(不合舍去)s = 2.65 x cos 40.93 x 0.11 = ().22(/?/)习题7-4砂石料从传送惜A落到另 传送帯B的绝对速度为v, =4n/5,其方向Q铅血线成 30角。设传送常B与水平面成15角，其速度

6、为v2=2m/s,求此时砂冇料对于传送带B的 相对速度。又十传送带B的速度多人时，砂石料的相对速度才能与B帯垂盲解：动点：砂石料。动系：固连于传送帯H的坐标系。静系：固连于地面的坐标系。绝对速度：砂行料相对于地面的速度，v = v( =4m/s.相对速度：砂石料相対于传送带B的速度,待求。牵连速度：传送帯B相对于地面的速度：ve=v2=2m/sTT T= vr+vrvr = 22 +42 -2x2x4cos750 = 3.98($)当怙时，传送带B的速度为:vti = va sin 15 = 4sin 15 = 1.04（$）习題7-5三角形凸轮沿水平方向运动，其斜边与水平线成tT-AB的A端

7、搁 置在斜面上,另一端B在气缸内滑动,如某瞬时凸轮以速度V向右运动,求活瘗B 的速度。解：动点：A o动系：固连于凸轮上的坐标系。静系：固连于地面的坐标系。绝对速度：A相对于地面的速度，待求。相对速度：A相对于凸轮的速度。牵连速度：凸轮相対于地面的速度。vA = v tan a因为杆A B作上下平动,故活塞B的速度为: vB = vA = v tan a习题7-6图示一曲柄滑道机构，长OA = r的曲柄，以匀角速度G绕。轴转动。装在水平杆CB上的滑槽DE与水平线成60角。求为曲柄与水平线的夹何卩分别为0、30 . 60时, ff BC的速度。解：动系:固连于CBDE上的坐标系。动系平动.= v

8、CBDE = vBC 静系：同连于地面的塑标系。 绝对速度：A相对于地面的速度。 相对速度:A相对于DE的速度。 牵连速度:C BDE相对于地面的速度。T T T5 =V.+ Vr叫=r(D炉()sin(180-l 20 - 90 + ) sinl 20sinsin(0-3() sin 120sin(-30)sin 12()rCO_sin(0-30)2V3 y n= VCO = y rCD =Y(DF 0 sin 120V33T负号我示此时速度方向与图示方向相反，即向左。心亦=，此时往复运动改变方向。sin(6O-3O0)? 込 ，,vBC I =r(o = ra)=rco.同右。sin肮曲

9、sin 120V3 3T习题7-7摇杆OC带动齿条A B上下移动，齿条乂带动H径为1 0 0mm的齿轮绕0】轴摆 动。在图所示瞬时，0(：之角速度3=()5 r a d / s,求这时齿轮的角速度。解：动点:Co动系：固连于OC杆上的坐标系。静系：固连地面的坐标系。绝对速度：C相对于地面的速度。 相对速度：c相对于OCFT的速度。牵连速度：oc杆札|对于地面的速度。04匕=0Cco = 一x05 = 0231(加/$)ecos30T T TVa=Ve+Vrcos3002cos2 30=0.267(m/ 5)va = vAB = r(ox = 0.2/0.75co = 0.267/fj =0.2

10、/0.750.05= 5.33(%/$)即齿轮的角速度为a)=533r(idls 习题7-8摇杆滑道机构的曲柄0 A长人以匀角速度3。绕O轴转动。已知在图所示位置 0人丄00AB = 2l.求该瞬时BCff的速度。解：动点：Ao动系：固连f O.Dff上的坐标系。静系：固连于地而的坐标系。绝对速度：人相对于地面的速度，儿=叭。相对速度：A相对于的速度。牵连速度：QD杆相对于地而的速度。TT TVa=Ve+Vrve=Vusin3Oo=l/yo 匕=0/ 0(秒=*/如 i1 f2/ 捡=-o1%D =严动点：B。动系：网连于O.DH上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。绝对速度：B相对于地面的

11、速度。相对速度：B相対于QD杆的速度。 牵连速度：杆和对于地面的速度。=ve+vr严0占d=4Ix严=叭cos300.866=1551%BC作平动，故=匕=1155/山 习题7-9 一外形为半恻弧的卄轮人，半径r = 3 0 Omm,沿水平方向向右作匀加速运动, 其加速度a a= 8 0 0 mm/ s 凸轮推动fiff BC沿铅胃&槽上下运动。设在图所示瞬时, vA= 6 0 0 mm/ s，求杆B C的速度及加速度。解：动点：B。动系：固连于凸轮A上的坐标系。 静系：同连于地而的坐标系。绝对速度：B相对于地面的速腹。 相对速度：B相对于凸轮的速度。 牵连速度：B相对于凸轮的速度。TT T凸

12、轮在水平面上作平动，B C在铅垂方向上作平动。vBC = vB = vu = ve cot 30 = vA cot 30 = 600-3 = 1039.23(/nm/s)Hvr = = 2vc. = 2x 600 = 1200( / $) sin 3()TT TT au=ae+ar =+ + /802 + 60? = 100(/$) 6 7 +勺aa = Jo； + a： = Ja： 4 a = V102 I 2O2 = 2236(mm/s2)习题7-13水力采煤川的水枪町绕铅直轴转动。在菜瞬时角速度为3,如加速度为乱 设与转 动轴相距r处的水点该瞬时丿I巾相对于水枪的速度v |及加速度a求该

13、水点的绝对速度及绝 对加速度。解：动点：水点。动系：固连于水枪上的坐标系。静系：固连F地面的坐标系。绝对速度：水点相対于地面的速度。相对速度：水点相对于水枪的速度。牵连速度：水枪上与水点相虫点相对于地面的速度。=Ve+VrVa = yjv； 4- V； = J(窗 +叶=肩 +心TT T Taa =+色 + %a =ra = rx0 = 0ci： = roracac = 2弘罕 sin 0 = 269i sin 90 1a a =7()-ra)2)2 +(2)2aa = J(绚 一+(20 Jio习题7-14半径为r的圆盘川绕垂直于盘面且通过盘心0的铅賈轴z转动。小球M悬挂于盘 边缘的上方。设

14、在图示瞬时圜盘的角速度及角加速度分別为3及(I,若以圆盘为动参考系，试 求该瞬时小球的科氏加速度及相对加速度。解：动点：小球M。动系：固连于圆盘上的坐标系。静系：固连于地面的坐标系。绝对速度：小球M相对于地面的速度。相对速度：小球M相对于圆盘的速度。牵连速度：圆盘上与小球M相巫点相对于地面的速度。a： = rcoa： = raac = 2劲，sin& = 2co rty sin90 = 2rco,方向如图所示。a = raya = raar - /(a；) +(d；) =+ra = ryl(OA + a2习题7-15 一半径r = 2 0 0 mm的圆盘，绕通过八点垂肖于图平面的轴转动。物块M

15、以匀速 率V r = 4 0 0 mm / s沿圆盘边缘运动。在图示位置，圆盘的角速度3 = 2 r a d / s ,角加速度 = 4 r a d / s 求物块M的绝对速度和绝对加速度。 解：动点：物块M。动系：同连F圆盘上的坐标系。静系：固连于地面的坐标系。绝对速度：物块M相对于地面的速度。相对速度：物块M相对于圆盘的速度。牵连速度：圆盘上与物块M相重点相对地面的速度。TT Tvc = (ylr)CD= /2x 200x2 = 4002(mm/ s)ii=ivc + v； 一2vt.vrcos 135(4(X)V2)2 +4(X)2 -2x4(X)V2x40()x(-=) =4(X)a/

16、5 =894.43(m/n/5)aa =ac+ar + aca： = 41ra = V2x 2(X)x4 = 8(X)V2a；. = 4irar =V2x 2(X)x22 = 8()0 V2a(=屉:=V2x 80(h/2 = 1600(mm/s2)=800(?w/n/2)0“迎1600= 5631ac =2。； sin& = 2x2x40()xsin90“ = 16(X)(m/.s) a(i = Ja；+(+“；尸=Jl 60()2+(16()()+ 800)2 = 2884.44(/h/h/.v2)习题7-16人圆环固定不动，其半径R=0. 5m,小圆环M套在杆AB及人圆环上，如图所示。当

17、0=30 时，A B$|：转动的角速度3= 2 r a d / s ,角加速度a = 2rad/s 试求该瞬时：（1 ） M沿人圆环滑动的速度：（? ） M沿人R杆滑动的速度：（3 ） M的绝对 加速度。解：动点：小圆环M。动系：固连于A B杆上的坐标系。静系：同连于地面的坐标系。绝对速度:小圆环M相对于地面的速度。相对速度：小圆环M相对J;A Bff的速度。牵连速度：A B杆上与小圆环M相虫点相対于地面的速度。=V/?2 + /e2-2/?2cosl20= /3R = 1.732x0.5 = 0.866(m)12vr = AM 6； = 0.866x2 = .132（m/s）盍厂躊3沿人圆环

18、滑动的速度）vr = va sin30= 2x0.5 = l（m/5）（M沿 A B杆滑动的速度） a = AM a 0.866x2 = 1.732（】/$） ac = 2（叫 sin& = 2x 2x 1 xsin90u =4（?/$）如图所示，aa =ae + ar + ac在牡方向上的投影为: a： cos 60 +a： cos 30 = ac +a：8x0.5 + 0.866； =4 + 1.732=2（m/52）化二 J（a：）2 + （a：）2 =+ y 二 8.25（加/”）（M的绝对加速度）。tB - arctan = arctan = 14.04,如图所示习题1-17曲柄0A

19、,长为2 r,绕固定轴0转动；阴盘半径为r,绕A轴转动。已知 r = 100/nw .在图示位llll柄。人的角速度=4md/c角加速度ax = 3rad / s2,圆盘相对于OA的角速度co. =6rad/s.角加I速度a. =4rad/s2.求圆盘上M点和N点的绝対速度和绝对加速度。解：动点：M、No动系：固连于OA杆上的坐标系。挣系：网连于地血的坐标系。绝对速度：M、N相対于地面的速度。 相对速度:M、N相对于OA杆的速度。牵连速度：O人杆（包括其延长线）上与M、N相觅点相对于地面的速度。13M点的速度：ve = (0A + r)co = 3ra) = 3x100x4 = 1200(vr

20、 = rCD, = 100 x 6 = 600( / s)va = ve -vr = 200 600 = 600(“/s)(方向与 vc 相同)M点的加速度：T T T T4 =ac + cir + aca = 3 x 1 ()0 x 3 = 900( / 2)； =3rd?,2 =3xl00x42 = 48(X)(/wn/52)a = ret. = 100x4 = 400(nim/ s2) u； = rGK = 100x62 = 36()()(/“) ac = 269Ivr sin& = 2x4x600xsin90 = 4800伽/s) aM =aa= J(a；+a；_ac)+(a；_a；)

21、au = 7(4800 + 3600 - 4800)2 + (900 - 400)2 = 3634.56(/wn/52) (p = arccos = 82.093634.56N点的速度：ve = 5ra) = V5 xl(X)x4 = 894.43(/.v)vr = rco - 100x6 = 600(mm/s)p = arccos-=V5r=63.432rO+ 6W_2X4OX6OOX%=824.62(“/s)14N点的加速度:TT T Tau=ae+ar + aCa -= Gx 100x3 = 670.82(“”/s)Ja： = 45ra =V5xl00x42 = 3577.7 l(mm/

22、52)a； = ra2 = 100x4 = 400(mm/s2)a： = rfiK = 100 x 62 = 36OO(/n;n/.v2)ifac = lcox vr sin = 2x4x600xsin90 =4800(/$)工仏=a： +a； cos26.57 + a cos63.43 -ac=3600+670.82cos 26.57 + 3577.71 cos 63.43 - 48(X)=1000.25(/$)y工d“i = -aTr -a： cos26.57 + a sin 26.57=-400 一 3577.71 cos 26.57 + 670.82 sin 26.57= -3299.

23、81(”/”)aN = a(t =Ji 0()0.252+(-3299X1)2 = 3448.0X(/nw/.v2)工如1000.25o = arccos=arccos= 73.14久3448.08习题1-18在图示机构中，已知A A z =BBf = r = 0, 2 5m,11A B = A 1 B z ,连杆A A以匀角速度3 =2 r a d / s绕A 转动，”0=60时，槽杆C E位置铅直。求 此时C E的角速度及角加速度。解：动点：D。动系：固连C E的坐标系。静系：固连于地面的坐标系。绝对速度：D相对于地面的速度。 相对速度：D相对于CE杆的速度。牵连速度:CE杆上与D相巫点相

24、对于地面的速度。V叫=Ve+Vr= vD = rco = 0.25 x2 = 0.5(/?/ s)ve = CD o)ce = va cos 300 5 x % = 0.5 x cos 30coCE =().866(r/.v)T T T Tac = 2o)ce* sin&= 2x0.866x (0.5 x 0.5) x sin 90 = 0.433( 芒)a = CD aCE = 0.5aCa： = r aCE = 0.5 x 0 = 0a：； =ra)2 =0.25x22 = aa =ae+ar + ac在ac方向的投影为: a： cos 60 = ac +a； 1 x ().5 = 0.4

25、33+ ().5acr a(h =0.134(raJ/5)习Hl-19销钉M可同时在AB、CD两滑道内运动,CD为圆弧形滑槽,随同板以匀角速(OXradls绕O转动：在图示瞬时，T字杆平移的速度v=00mm/s.加速度 a = 120nw/52。试求该瞬时销钉M对板的速度与加速度。解：动点：M。动系：固连于T形板上的坐标系。静系：同连于地血的坐标系。绝对速度：M相对于地面的速度。相对速度：M相对于T形板的速度。牵连速度：T形板上与M相虫点相对于地面的速度。16= = 200(,/,)Va=Ve+Vr vc = 100/ s vr = va sin 60 =200x0.866 = 73.2(mm

26、/s)(相对于 A B )T T Tae =a = 12()/scos 6012()古W)ar = aa sin 60 = 207.85(/$)(相对于 A B )若取动点：M。动系：固连于方形板上的坐标系。静系：固连F地面的坐标系。绝对速度：M相対于地面的速度。相对速度：M相对于方形板的速度。牵连速度：方形板上与M相虫点相对于地面的速度。则：T T T匕=5+ vr销钉相对于CD滑槽(方形板)的速度:200 = 05 +恤形板%对笛形机=一 OM q = 2(X) 一 1 (X) x 1 二 I ()()( / s)T T T T5 =乞+%ac = l(0Qvr sin 0 = 2 x I

27、 x 100 x sin 90 = 20()( / $)Cl： =0M 研=l()()xl2 =100(/wn/2)17aa = ae+ar-ac在匕,方向上的投影为：aa =ara； =240(”/$2)ar = 7)2+)2 = a/2402 + 1002 = 260(m /，)习题1-20已知点M在动坐标系心0*2平面内运动，其运动方程为x2=3r2+4r,y2 =4r2 -2/ 心与州（旺轴与x轴保持平行）的夹角（p = 2i 点0的运动规彳*为坷=3/, 儿=4/-5/2。试用建立运动方程式及合成运动两种方法求点M的速度。解：方法一：建立运动方程法。对于静坐标系而言，动点M的坐标为：

28、x = x+x2 cos -儿 sin0x = 3r + （3r2 +4r）cos2r-（4厂-2r）sin 2tvx = = 3 + (6/ + 4) cos 2/ _ 2 2 + 4/)sin 2/ -(8/ 一 2) sin 2t 一 2(4/2 -2t)cos 2t dtvx =3+(4+10r-8r2)cos2r + (2-l6r-6r2)sin 2ty =儿 + x2 sin 的速度。T- TVa=Ve+Vr牵连速度的水平分最:牵连述度的竖H分呈;M点相对州0|坐标的横坐标为：MMdxxxH = x2 cos y2 sin (pxr = (3r2 +4r)cos2/ -(4/2 -

29、2/)sin 2r相対速度的水平分帚为：=(6/ + 4)cos 2t - 2(3/2 + 4r)sin 2t - (St -2)sin2/- 2(4/2 一 2r)cos2t.1Vvrr = = (4 + 10r-8r2)cos2r + (2-16r-6r2)sin2/ dtM点速度的水平分ht： vv =3+(4 + 10z-8f2) cos 2/+ (2-16/-6/2) sin 2/M点相对于x.O.y,坐标的纵朋标为：yrl = x2 sin + y2 cos(pyrl = (3r2 +4r)sin2/ + (4/2 - 2/)cos2/相对速度的竖直分呆为：vc =今 = (6r

30、+ 4)sin2+ 2(3尸 + 4r)cos2r + (8r - 2)cos2r- 2(4r2 -2r)sin 2tvry =(4 + 10/- 8/ 2)sin 2/-(2-16/- 6/2) cos 2/m点述度的竖Ii分暈;19Vv =4-10r + (4 + i0r-8/2)sin 2r-(2-16r-6r)cos2r习题7-21板A BC D绕z轴以3=0. 5 t （其中3以r a d / s计，t以s计）的规律转 动，小球M在半径r = 1 0 0 mm的圆弧槽内相对板按规律s = 5 0 n t /3 （ s以mm计， t以s计）运动，求t = 2 s时，小球M的速度与加速度

31、。 解：动点：M。动系：固连于板八BCD上的坐标系。静系：固连于地面的处标系。绝对速度：M相对地面的速度。相对速度：M相对于板八BCD的速度。牵连速度：板ABCD h与M相車点相对于地面的速度。50加3x1007U7小球绕CD中点在関弧槽滑动的角速度为:=100xr5()龙T(mm/ s)0(2) =龙x2 _ 7tvc = pCD = (r 一 rsin )0)6=100x(1 -0.866)x0.5x2 = s)va =+ (vr)2 = J13.4 + 52.3 =54(“/$)c。汁罟“24乩（IE.20ac = 2弘乙 sin9 = 2x(0.5x2)x小 Xsin3Qo = S23

32、mm/s2)2ar - a； = = A - = 27.39(“/ s2)r r 1(X)a： = (r-rsin60)= 100x(1 -0.866)x0.5 = 6J(nun/s1)dta： = (r-rsin60) d?2 =100x(1-0.866)x(O.5x2)2 = 13A(mm/s2)= ac - a = 52.3-6.7 = 45.6(加加/s)aay = ar cos 30 a = 27.39x0.866 13.4 = O.32(mm/s2)a = a sin30 = 27.39x0.5 = I3.7(mm/s2)“Jfa, = Ja) +(%$ +a：)2 = J45.6

33、2+ 10.322 + 13.72 = 43.72(加加 /，)a .45.6 r八 oa - arccos= arccos= 20.62a48.72P = arccos10.32=arccos48.72=77.77y = arccos= arccos:=73.67久48.72习题7-22半径为r的空心恻环刚连在人B轴上，A B的轴线在圆环轴线平面内。圆环内充满 液休，并依箭头方向以匀相对速度u在环内流动。AB轴作顺时针方向转动（从A向B看）， 其转动的角速度3为常数，求M点处液体分子的绝对加速度。解：动点：Mo动系：固连于空心圆环上的坐标系。静系：固连于地面的坐标系。绝対速度：M相对于地面的

34、速度。相对速度：M相对于空心圆环的速度。牵连趣度：空心圆环上与M相重点相对于地面的速度。T T T Tau=ae+ar + aCac =sin 0 = 20r sin 120 =巧劲21an =(2r + rsin30)-692 =4 2aax = -ar cos 30 =2r=-ar sin 30 一 a：v2 5r(t)22? Tau 二 J%)+%)+%)彳（VW+（乎+誓）2=、3/+汇+丄(巴+ 5厂血2)2 V4r24 ra八a = arccos-2:a,.P = arccos :/ = arccos oa.a.习题7-23瓦特离心调速器在某瞬时以角速度0） = 05耐Ms、角加速

35、度a = rad!s2绕其铅宜轴转动，与此同时悬挂巫球A, B的杆了以角述度冷=0.5加ud/八 角加速度=Mmd!s2绕悬挂点转动.使車球向外分开。设/ = 500切，悬挂点间的距离 2e = 100mw调速器的张角 = 30，球的人小略公不计，作为质点看待,求重球A的绝对速度和加速度。解：动点：A。动系：固连于瓦特离心器上的坐标系。静系：固连于地面的坐标系。绝对速度：人相対于地面的速度。相对速度：A相对于瓦特离心器的速度。牵连速度：任特离心器上与A相巫点相对于地面的速度。Va=Ve+Vr22vr =冋=500x0.5x3.14 = 785(mw Is)v( =( + /sin30)-w=(

36、5() + 5(X) x ().5) x 0.5 x 3.14 = 47 (mml s)va =&； + “； = /4712 +7852 = 95.5(mm/s)vjv = v. =s)“A% = -vf cos30 =-785x0.866 =-679.81(/$)%. = vr sin 30 = 785x0.5 = 392.5(/s)a = arccos = arccos = 59.04vfl915.5P = arccos=arccos 67981 =137.95915.5Y = arccos= arcos = 64.61%915.5aa =a+aracac = 2fiAr sin& = 2x(0.5x34)x785xsin 60 = 2134.6(/$)a； = la = 500x0.4 = 2()0(加 F)a： =1(0； =500x(0.5x3.14)2 =1232.45(/“) =(e + /sin 30) a = (50 + 500 x ().5) x 1 = 3OO(mm/.v2)a： =(e + /sin30