专题限时集训(四)A

1、x专题限时集训（四）A第4讲导数在研究函数性质中的应用及定积分（时间：10分钟+ 35分钟）1.A.B.C.D.函数y= xex的图象在点y= exy= x1+ ey = 2ex+ 3e y= 2ex e（1, e）处的切线方程为（）2.已知函数f(x)的图象如图4- 1所示，f （x）是f（x）的导函数，则下列数值排序正确的A.B.C.D.(2) f (3)f(3) - f(2)(3) f(3) - f(2)f (2)(3)f (2)f(3) - f(2)0f0f0f0f(3) f(2)f (2)0 , b0,且函数f(x)= 4x3 ax2 2bx+ 2在x= 1处有极值，则 ab的最大值

2、等 于()A. 2 B . 3 C . 6 D . 94. 如图4 2,设T是直线x = 1, x= 2与函数y= x2的图象在x轴上方围成的直角梯 形区域，S是在T上函数y= x2图象下方的点构成的区域（图中阴影部分）.向T中随机投一点，则该点落入S中的概率为（）图4 21211A1B.5C.3D2提升训练n1 . / 2(x sinx)dx 等于()2 2A ； - 1哺-12 2亠 n _ n .C.n d+1x2+ x2等于(32.函数 f(x) = x10BEC.169D.2x3 + 3x2+ 1(xo)A. 2ln2,+s 丿 B. 0, qln2 1C. (g, 0 D. m,

3、|ln24. 已知函数f(x) = x3+ ax2 + bx + c,若f(x)在区间(一1,0)上单调递减，则a2+ b2的取值人弓+ B. C.舟，+g ； D.(0范围是() 95(1) + f5. 已知实数a为子-丫的展开式中x2的系数，则/ 132a6. 设函数f(x)是定义在R上的可导偶函数，且图象关于点 1 1对称，则f2100.+ f (2 ) + + f (2 ) =.7已知函数f(x)= 1 a ex(x0)，其中e为自然对数的底数.(1) 当a = 2时，求曲线y= f(x)在(1, f(1)处的切线与坐标轴围成的面积；(2) 若函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点

4、，且极大值与极小值的积为e5,求a的 值.2&已知函数 f(x) = alnx x + 1.若曲线y= f(x)在 x= 1处的切线方程为4x y+ b = 0,求实数a和b的值；(2)求证：f(x)w 0对任意x0恒成立的充要条件是a= 2;若 a |xi X2I,求 a 的取值范围.专题限时集训（四）A【基础演练】1. D【解析】因为y= ex+ xex,所以在点x = 1处函数的导数值是 y |x=i= e+ e=2e,所以在点(1, e)处函数图象的切线方程是y e= 2e(x 1)，即y= 2ex e.2. B 【解析】 根据函数图象可得函数的导数是单调递减的，函数在2,3上的平均变

5、 化率小于在点2的瞬时变化率、大于在点 3的瞬时变化率所以 0f (3)f 3 f2 f (2), 即 0f (3) f(3) f(2)0,x所以f(x)在(1,+ )上是增函数.2x2 a(2)f (x) = (x0),当 x 1 , e, 2x? a 2 a,2e? a.若 K 2,则当 x 1 , e时，f (x) 0,所以f(x)在1 , e上是增函数，又f(1) = 1，故函数f(x)在1 , e上的最小值为1.若 a2e2,则当 x 1 , e时，f (x) 0,所以f(x)在1 , e上是减函数，又f(e) = e2 a,所以f(x)在1 , e上的最小值为 e2 a. 若 2a

6、2e2，则:(x)0，此时f(x)是增函数.所以f(x)在1 , e上的最小值 为2 2|.综上可知，当aw 2时，f(x)在1 , e上的最小值为1;当2a 2e2时，f(x)在1， e上的最小值为 e2 a.8. 【解答】f (x) = exx2 + (a + 2)x + a+ 22xx2(1) 当 a= 0 时，f(x) = (x + 2)e，f (x) = e (x + 2x + 2)， f(1) = 3e，f (1) = 5e，函数f(x)的图象在点A(1，f(1)处的切线方程为y 3e= 5e(x 1)，即 5ex y 2e= 0.(2) f (x) = exx2 + (a+ 2)

7、x + a+ 2，考虑到ex0恒成立且x2系数为正， f(x)在R上单调等价于 x2 + (a+ 2)x+ a + 20恒成立. (a + 2)2 4(a + 2) w 0，- 2w aw 2，即a的取值范围是2,2，(3) 当 a = 2时，f(x) = x2 2x+ 2 ex，1 1 )f (x) = e x ?x 2，1令 f (x) = 0，得 x= 2或 x= 1，1令 f (x)0，得 x1，1令 f (x)0，得1x0 , b0, abw aj+b 2= 9,当且仅当a = b = 3时，ab有最大值，最大值为 9,故选D.4. B【解析】根据几何概型的意义，这个概率就是图中的阴

8、影部分的面积和直角梯形面积之比.根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2 1x2dx = gx3|21 = 3.直角梯形区4 + 11532域的面积是-一x 3= 丁，故所求的概率是 =2215 52【提升训练】n2Xi n n1. B【解析】/ o(x sinx)dx =+ cosx qou 1.2. C【解析】从函数图象上可知 X1, x2为函数f(x)的极值点，根据函数图象经过的三个特殊点求出 b, c, d，根据函数图象得 d = 0,且f( 1) = 1 + b c = 0, f(2) = 8+ 4b +2 2 2 22c= 0,解得 b= 1 , c= 2,故 f (x) = 3x

9、 2x 2根据韦达定理 X1 + X2=(X1 + X2) 2x1x24416=9+ 3 = ?.3. D 【解析】 当xw0时，f (x) = 6x2 + 6x，函数的极大值点是 x= 1,极小值点 是x= 0，当x= 1时，f(x) = 2,故只要在0,2上eaxw 2即可，即axw In2在(0,2上恒成立， 即aw血在(0,2上恒成立，故aw 1|n2.x24. C 【解析】 根据三次函数的特点，函数 f(x)在(1,0)上单调递减等价于函数 f(x) 的导数f (x) = 3x2+ 2ax + b在区间(1,0)上小于或者等于零恒成立，即3 2a + bw 0且bw 0，把点(a,

10、b)看作点的坐标，则上述不等式组表示的区域如下图.根据a2 + b2的几何意义得，最小值就是坐标原点到直线 3 2a+ b= 0的距离的平方.5. e e ln7【解析】=(1)r22r7c7x ,当 r = 1 时，T2=232X，- Tr+1 = C7-2X 7 r( 1)r2rxr x2的系数为一7_32.7a=32.=e7 e In 7.6. 0【解析】根据函数图象关于2 1对称，可得f(1 x) + f(x) = 2，由于函数是偶 函数可得 f(x 1) + f(x) = 2,进而得 f(x) + f(x + 1) = 2,由此得 f(x + 1) = f(x 1)，进而 f(x +

11、2)= f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数，由于函数是可导偶函数，其中在 X = 0的导数等 于零，根据周期性，在 X = 2,22,，2100处的导数都等于零.再根据函数可导和f(x 1) +0.f(x) = 2，可得f (x 1) + f (x) = 0，令X = 1可得f (1) = 0.故所求的结果是2x ax+ a X7. 解答】(1)f (x)=孑 e ,当a= 2时,(x)=1 2 + 2 1 f (1) =* X e = e, f(1) = e,所以曲线y = f(x)在(1, f(1)处的切线方程为y= ex 2e,切线与x轴、y轴的交点坐标分别为(2,0), (0,

12、 2e),所以，所求面积为2X|- 2e|= 2e.因为函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点， 所以，方程x2 ax+ a= 0在(0, +m )内存在两个不等实根,则= a2 4a0,a0.所以a4.设X1, X2分别为函数f(x)的极大值点和极小值点, 则 X1+ X2= a, X1X2 = a,因为 f(x”f(x2)= e5,所以,xi a X2 一 a 5XTeXlX XTeX2= e，2XiX2 a xi + X2 + a即exi + X2= e ,X1X2化简得ea= e5,解得a= 5,此时f(x)有两个极值点, 所以a= 5.a&【解答】(l)f(X)= - 2x(xo

13、), f (1) = a- 2，又 f(1) = 0,所以曲线 y = f(x)在 x = X1 处的切线方程为 y= (a 2)(x 1)，即(a 2)x y+ 2 a= 0, 由已知得 a 2 = 4,2 a= b，所以 a= 6, b= 4.(2)证明：充分性：当 a= 2 时，f(x) = 2lnx x2 + 1,ci2此匕时 f， (x) = 2 2x = (x0),当 0x0，当 x1 时，f (x)0 ,所以f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,+ )上是减函数,f(x) 0),XX当 aw 0 时，f (x)0 , f(x)在(0,+s )上是减函数，而 f(1) = 0, 故0x0，与 f(x) w 0恒成立矛盾，所以aw 0不成立，2当 a0 时，f (x) = 2 X+ xX当 0x0，当 X ：a时，f (X)0恒成立的充要条件是 a= 2;当a0时，f (x)0,. f(x)在(0 ,+s )上是减函数，不妨设 0 |X1 x2|等价于 f(X1) f(X2)X2 x1