正余弦定理题型总结全讲解

1、平面向量题型归纳（全）题型一：共线定理应用例一： 平面向量 a,b 共线的充要条件是）A. a,b 方向相 同 B. a,b 两向量中至少有一个为零向量C. 存在R, b a D存在不全为零的实数 1, 2, 1 a 2 b 0变式一： 对于非零向量 a,b，“a b 0”是“ a/ b”的（ ）A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件变式设 a,b 是两个非零向量（A.若若 a b ，则abab）B.C.，使得 b a ，则 a b a _ b若 a b a _b ，则存在实数，使得b a D 若存在实数例二： 设两个非零向量 e1 与 e2 ，不

2、共线，1）如果 AB e1 e2,BC 3e1 2e2 ,CD 8e1 2e2 ,求证： A,C, D三点共线；2）如果 AB e1 e2,BC 2e1 3e2 ,CD 2e1 ke2,且A,C,D三点共线，求实数 k 的值。变式一： 设 e1与 e2 两个不共线向量， AB 2e1 ke2,CB e1 3e2 ,CD 2e1 e2 ,若三点 A,B,D 共线， 的值。求实数 k变式二： 已知向量 a,b ，且 AB a 2b,BC 5a 2b,CD 7a 2b,则一定共线的三点是（ ）A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中

3、的应用例一： 设 P是三角形 ABC所在平面内的一点， 2BP BC BA, 则（ ）A. 0 PA PBB. 0 PC PA C. 0 PB PC D. 0 PC PA PB变式一：已知 O是三角形 ABC所在平面内一点， D为 BC边的中点，且0 2OA OB OC ,那么（）A.A0 ODB. A0 2OD C.A0 3OD D.2A0 OD变式二： 在平行四边形 ABCD中 AB a ， AD b ， AN 3NC ,M 为 BC的中点，则 MN （ 用 a,b表示 ）变 式 二 ： 设 D,E,F分别 是三角 形 ABC的边BC,CA,AB 上 的 点 ，且 DC 2BD, CE 2

4、EA, AF 2FB, 则A.21bc, B.3352c b,33C.21b c,33D. 1b 2c,33变式一：（ 高考题 ） 在三角形ABC中，点D在边AB上，CD平分角ACB, CB a ，CA b,1,b 2,则 CD ( )12213443A.ab, B.a b,C.a b,D. a b,33335555例二： 在三角形 ABC中，AB c， AC b,若点 D满足BD 2DC ,则AD ( )AD BE, CF 与 BC （ ）A. 反向平行 B. 同向平行 C. 互相垂直 D. 既不平行也不垂直变式三：在平行四边形 ABCD中， E和 F 分别是边 CD和 BC的中点，若AC

5、AE AF , 其 ,R, 则=变式四：在平行四边形 ABCD中，AC与BD交于点 O,E是线段 OD的中点，AE的延长线与 CD交于点 F，若AC a, BD b,11211112则 AF （ ）A. a b, B. a b, C. a b, D. a b,42332433题型三：三点共线定理及其应用例一： 点 P 在 AB上，求证： OP OA OB且=1（ , R, ）AB、 AC 于不同的两点 M 和 N, 若变式： 在三角形 ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线AB mAM, AC nAN, 则 m+n= 例二： 在平行四边形 ABCD中， E,F 分别是

6、 BC,CD的中点， DE与 AF交于点 H,设 AB a, BC b,则 AH24242424A. ab, B.a b, C.a b, D.ab555555552变式：在三角形 ABC中，点 M是 BC的中点，点 N是边 AC上一点且 AN=2NC,AM与 BN相交于点 P,若 APPM,求的值。题型四： 向量与三角形四心一、 内心例一： O 是 ABC所在平面内一定点，动点P 满足 OP的轨迹一定通过ABC的（ ）A. 外心B. 内心 C. 重心 D. 垂心ABACAB AC1变式一： 已知非零向量 AB 与 AC 满足 （ ） BC 0 ，且 ，则 ABC为（ ）ABACAB AC2A.

7、 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 三边均不相等的三角形变式二： AB PC BC PA CA PB 0 P 为 ABC的内心二、重心例一： O是 ABC内一点， OC OA OB 0 ，则为 ABC的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D. 垂心变式一： 在 ABC中， G为平面上任意一点，证明： GO （GA GB GC ）O为 ABC的重心3变式二： 在 ABC中， G为平面上任意一点，若AO 1 (AB AC ) O为 ABC的重心3垂心：例一： 求证：在 ABC中， OA OB OB OC变 式 一 ： O 是 平 面 上 一 定 点 ， A ， B ， C

8、ABACOPOA (),ABCOSBACCOSCA. 外心B. 内心C.重心 D. 垂心OC OA O 为 ABC的垂心是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足R, 则点 P 的轨迹一定通过ABC的（）四外心 例一： 若 O是 ABC的外心， H 是 ABC的垂心，则 OH OA OC OB变 式 一 ： 已 知 点 O， N ， P 在 ABC 所 在 平 面 内 ， 且OA OB OC , 0 NA NB NC ，PA PB PB PC PC PA ，则B. 重心、外心A. 重心、外心 、垂心 题型五：向量的坐标运算O，N，P 依次是 ABC的( 、内心 C. 外

9、心 、重心、垂心D. 外心 、重心、 内心且 CM 3CA,CN 2CB , 试求点 M,N和 MN 的坐标。例一：已知 A（-2,4）,B（3 ，-1） ，C（-3 ，-4） ， 变式一：已知平面向量 a ( 3, 1),b (2 , 2 ),向量 x a (t 3)b, y ka tb, 其中 t 和 k 为不同时为零的实数， ( 1)若 x y ，求此时 k 和 t 满足的函数关系式 k=f(t);(2) 若 x / y ，求此时 k 和 t 满足的函数关系式 k=g(t).变式二：平面内给定 3个向量 a (3,2),b ( 1,2),c (4,1) ，回答下列问题。(1)求3a b

10、2c；(2) 求 满 足 a mb nc 的 实 数 m,n;(3) 若 (a kc) /(2b a) ， 求 实 数 k ；( 4 ) 设 d (x, y)满足 (d c) / /a ( b) 且 d c 1 ，求 d 。题型六：向量平行(共线) 、垂直充要条件的坐标表示例一： 已知两个向量 a (1，2),b ( 3,2), 当实数 k取何值时，向量 ka 2b与2a 4b平行？变式一： 设向量 a,b 满足|a|= 2 5 ，b=(2,1 )，且 a与 b反向，则 a 坐标为A:32B: 2 C: 2 D: 3332例二：已知向量 OA (k ,12), OB ( 4,5), OC (

11、k,10)且A,B,C 三点共线，则 k=( )变式一：变式二：ABC的三内角A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c 设向量 p （a c, b）, q （b a,c a）,若 p/q，则 C31已知 a （ ，sin ）,b （cos , ）, 且 a/b ，则锐角 为23C:D:的大小为(A: B:6题型七：平面向量的数量积例一：（1）在 RtABC中， C=90， AC=4，则 AB AC （ ）A：-16 B:-8 C:8 D:16 42)(高)已知正方形 ABCD的边长为 1，点E是AB边上的动点，则DE CB的值为；DE CB的最大值为3)在 ABC中， M是 BC中点， AM=

12、1，点 P在AM上满足 AP 2PM ，则 PA (PB PC) 等于( )A: 49444B: C: D:339变式一：( 高) 如图所示，平行四边形 ABCD中， APBD，垂足为 P，且 AP=3，则 AP AC =变式二： 在 ABC中， AB=1， BC= 2，AC= 3，若 O为 ABC的重心，则 AO AC的值为例二： （高）在矩形 ABCD中， AB= 2 ,BC=2,点E为 BC的中点，点 F在边 CD上，若 AB AF2,则 AE BF 的值是变式一： （ 高）在 ABC中， A 900, AB 1,AC=2. 设点 P,Q 满足 AP AB,AQ （1 ）AC, R,若1

13、24BQ CP 2, 则 =（ ）A: B: C: D:2333例三：已知向量 a,b,c满足 a b c 0,a1,b2,c 2变式一： 在 ABC中，若 AB 3, BC 4, AC 6,则 AB BC BC CA CA AB变式二： 已知向量 a,b,c满足 a b c 0,且a b, a 1,b 2, 则 c变式三：已知向量 a,b,c满足 a b c 0,且（a b） c,a b,若 a 1,则 a2 b 2 c2题型八：平面向量的夹角例一： 已知向量 a (1, 3),b ( 2,0),则 a与b的夹角是例二： 已知 a,b是非零向量且满足 (a 2b) a,(b 2a) b,则

14、a与b的夹角是变式一： 已知向量 a,b,c满足 a 1, b 2,c a b,a c,则 a与b的夹角是变式二： 已知 a,b是非零向量且满足 a b a b,则 a与a b的夹角是变式三： 若向量 a与b 不共线， a b 0,且c a （）b, 则 a与c 的夹角是ab变式四： （高） 若向量 与 满足 1, 1,且以向量 与 为邻边的平行四边形的面积为 . ，则 与 的夹 角的取值范围是 例二： 已知 a 2, b 1， a与b的夹角为 450 ，求使向量 a b 与 a b 的夹角为锐角的 的取值范围。e1与e2 的夹角为 3，若向量2te1 7e2 与 e1 te2 的夹角为钝变式

15、一： 设两个向量 e1,e2 ，满足 e1 2, e2 1 ， 角，求实数 t 的范围。变式二： 已知 a与 b 均为单位向量，其夹角为，有下列 4 个命题：p1 : a b 1 0,3 );p2ab21 ( 3 , ;3p3 : a b 1 0, );p4 : a b 1（ , ; 其中的真命题是（)A. p1,p4 B.p1, p3 C.p2, p3 D.p2, p4题型九：平面向量的模长例一： 已知 a b 5 ，向量 a与b 的夹角为 ，求 a b ， a b变式一： 已知向量 a与b满足 a 1,b 2,a b 2，则 a b =变式二： 已知向量 a与b满足 a 1,b 2, a与

16、b的夹角为 ，则 a b = 3变式三： 在 ABC中，已知 AB 3, BC 4, ABC 600, 求 AC例二： 已知向量 a与b的夹角为 2 ， a 3, a b13,则 b = 变式一： （高） 已知向量 a与b的夹角为 ，且 a 1,2a b 10,则b =42变式二： 设点 M是线段 BC的中点，点 A在直线 BC外， BC 16, AB AC = AB AC ,则 AM变式三： 已知向量 a (2,4),b ( 1,2) ，若 c a (a b)b, 则 c例三： 已知向量 , ( 0,) ，满足1，且 与的夹角为 120 0 ，则 的取值范围是变式一：已知单位向量a, b,c

17、 ，且 a b 0，(a c) (b c) 0,则a b c 的最大值为变式二： ( 高)已知直角梯形 ABCD中， AD/BC,ADC 900 ,AD=2，BC=1，P 是腰 DC上的 动点，则 PA 3PB 的最小值为 题型十：平面向量在三角函数中的应用a,b,c ，已知向量 m (1,2 sin A), n (sin A,1 cosA) ，且满足例一： 在 ABC中， A,B,C 所对边的长分别为m/n,b c 3a( 1)求 A 的大小(2)求 sin(B ) 的值6xxxx变式一： 已知变量 m (cos ,cos ),n (sin , 3cos )，函数 f(x) m n3333(

18、 1)求 f(x) 解析式( 2)求 f(x) 的单调递增区间( 3)如果 ABC的三边 a,b,c 满足 b2 ac ，且 b 边所对的角为 x，试求 x 的范围和此时 f(x) 的值域变式3x 3x已知向量 a (cos 3x ,sin 3x),b (cos x, sin3x),x2 2 2 21)求证 ab及| a+b|32)定义 f ( x)= ab-2 m| a+b|, 若函数 f ( x)的最小值为，求实数 m的值252)若 cosC求 A 的值变式三：在三角形 ABC中，已知 AB AC 3BA BC(1)求证 tanB 3tanA题型十一：平面向量在解析几何中的应用例题一： 设

19、曲线 C上任意一点 M (x,y)(x,y R),满足向量 a (x 2, y), b (x 2,y)且|a| |b | 8（1）求曲线的方程（2）过点 N（0,2 ）作直线 l 与曲线 C交与 A，B两点，若（ O为坐标原点） ，是否存在直线 l ，使四边形 OAPB为矩 形；若存在，求出直线 l 的方程；反之，叙述理由。变式一：已知三点 O（0,0 ），A（-2,1 ），B（2,1 ），曲线 C上任意一点 M（x,y ）满足MAMB OM OA OB 2 ，求曲线方程。正余弦定理题型全归纳题型一：已知两边及一边对角且角为锐角时需讨论 （1）a=4,b=5,A= 300（ 两解）;（2）a=

20、5,b=4,A= 600（一解 ） 方法汇总： 方法一：大边对大角；方法二：利用高 h=bsinA 与 a 的讨论 方法三：利用余弦讨论 题型二：利用正弦定理解三角形例一： 在 ABC中，若 B=450, b2a,则 C=变式在 ABC中， A,B,C 的对边为 a,b,c,a=2 ,b=2,sinB+cosB=2 , 则 A 的大小为变式三： 在 ABC中， A,B,C 的对边为 a,b,c, B=（1） 求 sinC;（2） 求 ABC面积。,cosA=3变式四：在 ABC中， A,B,C 的对边为a,b,c,A=2B,sinB=3,(1) 求 cosA 的值；32） b=2, 求边 a,

21、c 的长。变式一：在 ABC中，若 c=2,A= 1200 ,a= 2 3,则 B=题型三：利用正余弦定理进行边角转化例：在 ABC中，若 A=2B,则 a的取值范围为b变式一： 在ABC中，B=600,AC= 3,则 AB+2BC的最大值 变式二： （12 新课标）已知 a,b,c 分别为 ABC三个内角 A,B,C 的对边 c= 3 asinC-ccosA.（1） 求角 A的大小； （2） 若 a=2, ABC的面积为 3 ，求 b,c.题型四：利用余弦定理解三角形2例： 在 ABC中， b=1,c= 3 ,C= , 则 a=31变式一： 在 ABC中，若 a=2,b+c=7,cosB=-

22、 , 则 b=4变式二： 已知在 ABC的三边成公比为2 的等比数列，则其最大角的余弦值为2 2 2变式三： 在 ABC中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c ，若 a b 2c ，则 cosC 的最小值为变式四： （12 辽宁）在 ABC中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c ，asin Asin B bcos2 A2a，（1）求 b ；（2）若 3a2 b2 c2求 B。a题型五：利用余弦定理进行边角转化例：在 ABC中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c ，若 （a2 c2 b2）tanB3ac ，则角 B的值为（）变式一： 在 ABC中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c ，且

23、 2asin A （2b c）sin B （2c b）sin C ,（1） 求 A的值。（ 2） 求 sinB+sinC 的最大值。变式二：（ 10江苏）在锐角 ABC中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c ，若 b a 6cosC ,则 tanC tanCa b tanA tanB变式三： 在 ABC中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c ，且 a2 c2 2b ， sinAcosC=3cosAsinC, 求 b.题型六：判断三角形的形状方法汇总： （ 1）求最大角的余弦，判断 ABC是锐角、直角、还是钝角三角形 （2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰，等边还

24、是直角三角形例： 在 ABC中，若 sinC=2cosAsinB, 则此三角形为变式一：（ 12上海）在 ABC中，若 sin2 A sin2 B sin2C ,则 ABC的形状是变式二： 在 ABC中，有以下结论2 2 2（1） a2 b2 c2，则 ABC为钝角三角形；（2） a2 b2 c2 bc ，则 A 600（3）a2 b2 c2, 则 ABC中为锐角三角形；4) A: B: C 1:2:3，则 a:b:c=1:2:3. 其中正确的为变式三：2 A b c已知 ABC中， cos2，则 ABC的形状为2 2c变式四： 已知函数 f(x)=cos2 x 2 3sin xcosx si

25、n2 x2)在 ABC中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c ，若f ( ) 2且 a bcAB AC 6求 ABC的面积。(1) 求 f(x) 的最小正周期和值域；, 试判断 ABC的形状。题型七：正余弦定理与向量的综合例一：在 ABC中，内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c, 若 AB AC BA BC 1.(1) 求证：A=B;(2) 求边长 c的值；(3)变式一： 在 ABC中， AB=2， AC=3， AB BC 1,则 BC=变式二： 在 ABC中，内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,A= , (1 3)c 2b 。(1)求 C;(2) 若CB CA 13 ,求6a,b

26、,c.变式三：在 ABC中，内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c, 且cos A 2 5,AB AC 3,(1) 求 ABC的面积；(2)b+c=6,25求 a 的值。变式四： 在 ABC中，内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c, 且b cosC 3a cosB ccosB . (1)求 cosB 的值；(2)若BA BC 2 ，且 b=2 2 , 求 a 和 c 的值。题型八：解三角形的实际应用例：甲船以 30 2 海里/h 的速度向北航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船北偏西1050方向的 B1处，此时两船相距 20海里，当甲船航行 20min 到达

27、A2处时，乙船航行到甲船的北偏西 1200方 向的 B2 处，此时两船相距 10 2 海里，求乙船的速度。A2B2A1B1101km 的两个观测点 C,D。在某天 10： 00变式一： 为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位置，在海岸上选取距离 观 察 到 该 船 在 A 处 ， 此 时 测 得 ADC = 300 ,2min 后 ， 该 船 行 驶 到ACB = 60 0 , BCD =45 0 , ADB=600, 则船速为（ km/min ）变式二： 当甲船位于 A处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援， 同时把消息告知在甲船的南偏西30 0

28、 ，相距 10海里 C处的乙船。( 1)求处于 C处的乙船和遇险渔船间的距离； (2)设乙船沿直线 CB方向前往 B处救援，其方向与 CA成 角，求 f(x)= sin2 sin x cos2 cosx(x R)的值域。11数列 题型归纳（全）题型一：求等差数列的公差或取值范围例一： 等差数列 an 的前 n项和 sn，若 s2=4， s4 =20，则该数列的公差 d等于变式一： 等差数列 an中， a1 a5 10,a4 7 ，则该数列的 an 的公差为变式二： 已知等差数列的首项为 31，若从第 16 项开始小于 1，则此数列的公差 d的取值范围是题型二：求等比数列的公比例一： 在等比数列

29、 an 中， a2013 8a2010 ，则公比 q 的值为变式一： 等比数列 an 的前 n项和为 sn，且 4a1，2a2， a3成等差数列，若 a1 =1，则 s4=（ ）变式二： 设公比为 q（q0）的等比数列 an 的前 n项和为 sn，若 s2 =3a2 +2， s4 =3 a4 +2,则 q=变式三： 等比数列 an的前 n项和为 sn，已知 s1， 2s2， 3s3成等差数列，则 an的公比为题型三：求等差与等比数列的通项 例1：（1）已知递增的等差数列 an满足 a1 1，a3 a22 4，则an=2（2）已知等比数列 an为递增数列，且a52a10 ,2（anan2）5an

30、1，则数列 an的通项公式an=变式一： sn为等差数列 an的前 n项和， s2=s6，a4 1，则an=变式二： 已知两个等比 an ， bn ，满足 a1 1，1 b1 a1，2 b2 a2，4 b3 a3 ，求数列 an的通项公 式。例 2： 若数列 an 的前 n 项和 sn n2 10n（n 1,2,3,） ，则此数列的通项公式为变式一： 已知数列 an的前 n项和sn n2 9n ，则其通项 an=；若它的第 k项满足 5 an 8，则k=变式二： 已知数列 an的前 n项和 sn an 1，（a为非零实数 ） ，那么 an是否是等差数列？是否是等比数列？题型四：等差等比数列的求

31、和12*1例：在等比数列 an （n N* ）中，若 a1=1， a4，则该数列的前 10项和为8变式一： an是正数组成的等比数列， sn为前 n项和，已知 a2a4 1,s3 7，则 sn=变式二：设 f(n)= 2 24 27 21023n 10 (n N * ), 则 f(n)=题型五： 对于等比数列求和公式中 q 的讨论例： 设等比数列 an 的前 n项和为 sn，若 s3,s9 ,s6 成等差数列，求数列的公比 q.变式一：设等比数列 an 的前 n 项和为 sn ，且 s3 3a3 ，则其公比 q 等于变式二：求和 sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1(n 2,n

32、N*,x R)题型六：对于奇偶项求和问题的讨论例：已知数列 an的通项公式为 an n2（n为正奇数）；-n2（n为正偶数），求其前 n项和 sn.变式一：已知数列 an 的通项公式为 an 2n 1（ n为正奇数）；3 n （ n为正偶数） ，求其前 n项和 sn .题型七：对于含绝对值的数列求和例：已知数列 an的前 n项和 sn =10n- n2,数列 bn的每一项都有 bn an ，求bn前 n项和Tn.变式一：在等差数列 an中， a10 23, a2522, sn为其前 n项和. （ 1 ）求使 sn0 的最小正整数 n.（2） 求Tn a1a2an 的表达式。变式二：已知等差数列

33、 an 前三项的和为 -3 ，前三项的积为 8. （ 1）求等差数列 an 的通项公式；（2）若a2,a3,a1成等比数列，求数列 an 的前 n 项和。题型八：等差、等比数列的性质应用等差数列 am an ap aqm n p q;等比数列 aman apaqm n p q;例：已知等差数列 an的前 n项和为 sn，若a4 18 a5，则 s8等于13变式一：设数列 an ， bn 都是等差数列，若 a1 a1 7,a3 a3 21,则a5 b5变式二：在等差数列 an 中，已知 a4 a8 16 ，则该数列前 11项和等于变式三：在等差数列 an 中， 2（a1 a4 a7） 3（a9

34、a11） 24 ，则此数列的前 13 项之和等于变式四：在等差数列 an 中， a1 a4 a7 39,a3 a6 a9 27 ，则数列 an 的前 9项之和 =题型九：等差、等比数列的性质应用sm ,s2m sm,s3m s2m 成等差数列例：等差数列 an的前 n项和为 sn，若 s2 2,s4 10，则s6变式一：设 sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 s4 1 ，则 s8s8 3s16变式二：设等比数列 an 的前 n 项和为 sn ，若 s6 3，则 s9 s3s6题型十：利用等差数列的性质求解例： 已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其

35、公差为 变式一： 已知等差数列 an的前 n 项和为 377，项数 n为奇数，且奇数项和与偶数项和之比为 7:6 ，求中项。A7n 45a变式二：已知两个等差数列 an和bn的前 n项和分别是 An和Bn,且 n ，则使得 n 为整数的正整数 n n n n Bn n 3bnn 的个数是题型十一：利用等差等比数列的单调性求解例：已知数列 an是递增数列，且对 n N*,都有 an n2n，则实数 的取值范围是变式一： 数列 an中，如果存在 ak，使得 ak ak1且ak ak 1成立（其中 k 2,k N*）, 则称 ak为an的 一个峰值。（1）若 ann 7 ，则 an 的峰值为（2）a

36、n n2 tn,n 2; tn 4.n 2，且an 存在峰值，则实数 t 的取值范围。14例：在等差数列 an 中，已知 a1 =20，前 n项和为 sn，且 s10 s15 ，求当 n取何值时， sn取最大值，并求此最大值。变式一：a数列 an为等差数列，若11 1，且其前 n项和 sn取得最小值时， n=a10变式二：*设等比数列 an 的首项为 a1 ，公比为 q，则a10且0q0, c 1)是等比数列。(2)设 an 是正项等比数列， 证明log can ( c0, c 1) 是等差数列。变式一：数列an的前 n项和记为 sn，已知 a1 1,an 1 n 2 sn (n=2,3,4

37、) ,证明：数列 sn 是等比数列。 nn变式二：已知定义在 R 上的函数 f(x) 和数列 an 满足下列条件： a1 a,an f (an 1)(n 2,3,4.且a1 a2) ，f(an) f(an 1) k(an an1)(n 2,3,4.) ，其中 a为常数，k为非零实数。令bn an 1 an(n N*),证明 bn 是等比数列。二： 中项公式法：例：已知数列 an满足a1 1,a2 3,an 2 3an 1 2an)(n N*)(1) 证明：数列 an 1 an 是等比数列； (2)求 数列an的通项公式；(3)若数列 bn满足 4b1 1 4b2 1 4b3 1 4bn 1 (

38、an 1)bn(n N* ) ,证明：数列 bn 是等差数列。变式一： 已知等比数列 an 的公比 q=-0.5 ，(1)151向量的三种线性运算及运算的三种形式。 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向 量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法OA + OB =OCOB - OA =AB记 OA =(x 1,y 1) ，OB =(x 1,y 2)则 OA +OB =(x 1+x2,y 1+y2)AB OB - OA = ( x2-x 1,y 2

39、-y 1)OA + AB =OB实数与向量 的乘积AB = a R记a =(x,y)则 a =( x, y)16两个向量 的数量积a b =| a | b |cos记a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a b=x1x2+y1y22重要定理、公式（1）向量共线定理：如果有一个实数使b a（a 0）, 那么b与a是共线向量；反之，如果 b与a（a 0）是共线向量，那么有且只有一个实数 ，使 b a 。2）平面向量基本定理；如果e1， e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a ，有且只有一对数数 1， 2，满足a =1e1+2 e2。3）两个向量平行：设 a

40、=（ x1,y 1），b =(x 2,y 2) ，则 ab b ax1y2-x 2y1=04）两个向量垂直：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2) ，则 a b a b 0x1x2+y1y2=015)线段定比分点公式 : 设 P1P PP2 , 则 OP OP1 OP2x1 x 21y1 y 211 1 1 2x 设 P（x,y ），P1（x1,y 1），P2（x2,y 2）, 则1、平面向量 a （3, 4）,b （2, x）, c （2, y）,已知 ab， a c，求 b、c及b与c夹角。32、已知向量 m= ( cos ,sin ) 和 n=( 2 sin ,cos )

41、 ，,2 (1)求 | m n | 的最大值；4 10( 2)若 | m n |= 4 10 ，求 sin2 的值5173、已知 A、 B、 C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos ,sin )，(2,32 )1)若求角 的值；2)若1，2求 2sin2 sin2的值。巩固练习1、若 ABCD 为正方形，A. b 1a2B.1 tanE是 CD 的中点，且 ABa则 BE=b 1a2C. a 1b2D.a 1b22、已知 a (1,2), b (x,1),且( a 2b)/(2a b) ，则 x的值为A. 1B. 2C. 13D.3、 OAB中， OA = a ， OB =b ，A、C、 AOB平分线所在直线上AB边所在直线上4、已知点 C 在线段A112)，a|a|b ) ，t R，则点 P 在|b|、线段 AB中垂线上、AB边的中线上AB,BCOP = p ，若 p =t(AB的延长线上，且B132BCC 30 OPCA,则 等于D 13OM1，0 OP ON 1 的动点P的变动范围(图1) ，则满足条件设 OM (1 ，ON (0 ，5、186、已知向量 a ( 2, 1)， b ( ,1)，若 a与b 的夹角为钝角，则的取值范围是 ( )1 1 1A. ( 2,2) (2, ) B. (2