椭圆的几何性质讲义

1、8. 1椭圆方程及性质一、明确复习目标1. 掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程2. 掌握椭圆的简单几何性质；掌握a,bee等参数的几何意义及关系.二. 建构知识网络1. 椭圆的两种定义：(1) 平面内与两定点凡尺的距离的和等于定长2。(応耳|)的点的轨迹，即点集P朋丨+ |朋匸2e, 2a|)；(加=|耳坊|时为线段片禺,2Z?0)； er焦点穴(0, -c)f (0, c)o 其中 c = yla2-b2(3) 两种标准方程可用统一形式表示：(J0,AHB当/!B时焦点在y轴上)，这种形式用起来更方便。3性质：对于椭圆：兰+ 11 = 1行方0)如下性质必须熟练掌握：川b2范围；对

2、称轴，对称中心；顶点；焦点；准线方程；离心率；(参见课本)此外还有如下常用性质： 焦半径公式：PF = T左=尹&屜I朋匕r右=5-exo;（由第二定义推得）|P?1=a + cPF=a-cI I maxI I nun 焦准距p =；准线间距=込；通径长2x； cca 最大角（严2）唤=上砂”证:设 |PF】|=r JPFzIf,则cos p =斤2+厅_4疋=（斤+巧）2_2,花_42也2Ob0）的性质可类似的给出（请课后完成）。 cr b，4. 椭圆方程中的a, b, c, e与坐标系无关，是椭圆本身所固有的，决定椭圆形状的参 数，而焦点坐标，准线方程.顶点坐标，与坐标系有关.2 25.

3、对椭圆方程二+=1作三角换元即得椭圆的参数方程：cr ZrX = 6/COS0“;注意0不是ZxOP（x,y）V = /?sin0J6. 有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论： ty设椭圆：二+二=上弦川？的中点为於（血刃）则斜率kuF r/ Xx y0对椭圆：二+二=1则k妒一2乞 力”儿三、双基题目练练手1. （2006全国H）已知的顶点从C在椭圆+/= 1上，顶点月是椭 3圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在必边上，则的周长是（）力.2、/JB. 6C. 4*D. 122. （2005广东）若焦点在x轴上的椭圆+ = 1的离心率为丄，则沪（）2 m2A. V3B. -C.

4、 -D.-2333. （2006山东）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心离为（）A. V2B.至 C.丄D.至2244. 设斤、尺为椭圆的两个焦点，以尺为圆心作圆尺，已知圆尺经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点，若直线J们恰与圆尺相切，则该椭圆的离心率e为（）力 1B. 2C.工D. 2 25. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到 椭圆上的点的最短距离是巧，则这个椭圆方程为一2 26（2006四川15）如图把椭圆+ - = 1的长轴初分成8份，过每个分点作x轴2516的垂线交椭圆的上半部分于P,P2.的七个点，尸是椭

5、圆的一个焦点，则宙尸田也1 + M=匍容魏示：1-4CBBA；4. 易知圆尺的半径为 6 (2a-c) 2+?=4ct ( = )2+2( = ) -2-0, - = /3-1.aaa5. +=1 或兰+%1299126. 根据椭圆的对称性知，I片斥1 + 1出和=1/1 + 1人朽1=2,同理其余两对的和也是2d,又出斤 1=“，RF| +出F| + EF|+EF| + *F|+|f|+F| = 7_35四、经典例题做一做【例1】若椭圆d+方#=1与直线卅尸1交于力、两点，J/为初的中点，直线OM （ 0 为原点）的斜率为空，且加丄加，求椭圆的方程.2分析：欲求椭圆方程，需求念b、为此需要得

6、到关于念b的两个方程，由0/的斜 率为空OALOB、易得空方的两个方程.2解法 1：设 A (xi, yi), B J x“ jo), .1/(xot 幷).卜尸1, 电产1,(a+Z?) x2bxb1=0.X| + x2r儿+儿70一F). a+b2,.Z=/2 a.：OAIOB、 -=-1.“ x2:山応+口乃二0/xix2= , 口乃二(1 X) (1 A2),a + b(川+必)xX2t 2b b-l d-la+b a+b a+b 4+do.a+b a+h*.a+Z=2.由得沪2 (、耳一1), H2迈(41 -1)所求方程为 2 (/2 -1) A2V2 (/2-1) y=l.法2：

7、(点差法)由m+方口=1,axAbyX相减得4 =上4,即-1 =上皿一上妊心血宀下同法1.西_七 b + )?2h ?o b提炼方法:1.设而不求，即设出水小戸)，B5 力)，借助韦达定理推岀匸近乩.再由0/1丄0B得x必+y必=0.转换出zb的又一关系式.2点差法得b=y/2 a.【例2】(2005湖南)已知椭圆G 二+二=1 (QQ0)的左.右焦点为尺、凡 tr lr离心率为e.直线，丿：y=ex-a与x轴.y轴分别交于点月、是直线/与椭圆C的一个公共点，戶是点人关于直线丿的对称点，设AM =XAB .(I )证明：X=l-e；3(II) 若A = -, 沏的周长为6；写出椭圆C的方程；

8、(理科无此问)4(III) 确定入的值，使得朋尺是等腰三角形 （2）已知椭圆C的方程是各+与=1 （ab0）.设斜率为R的直线/,交椭圆C 于A、B两点，A3的中点为M.证明：当直线/平行移动时，动点M在一条过原点的 定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简 要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.解：设椭圆的标准方程为于舒b。, a2=b2+49即椭圆的方程为邛一 +二=1, ZT+4l42T 点（一 2,）在椭圆上，： + = 1, 沪+4 b2解得b2=4或沪=-2 （舍），rr2 v2由此得即椭圆的标准方程为+ = 1.8 4（2）设直线/的

9、方程为y = kx + m.与椭圆C的交点A（y,戸）、3（七，乃），y = kx + m则有2 y2b+=1解得（b2 +a2k2）x2 + 2a2kmx+ a2m2 -a2b2 =0,T A0 : m2 b2 +a2k2 ,即-JlF +心? 加并分别取A/】、的中点N、,连接直线那么直线MN和MN】的交点O即为椭圆中心.【例4】(2006江西)如图椭圆：亠+二=10)的右焦点为F(uO),cr Zr过点F的一动直线加绕点F转动并且交椭圆于A、3两点，P为线段43的中点.(1)求点P的轨迹H的方程；(2)若在。的方程中，令= 1 + cos0 + sinb2 = sin9(0由一得b2 (

10、Xj - Xj )2x+a2(J)- y2 )2y = 0.x 一儿_ yx -x2 a2y x-c:.b2x2+a2y2-b2cx = O,(*)2。当AB垂直于x轴时，点P即为点F,满足方程(*). 故所求点P的轨迹H的方程为：b2x2 +a2y2 -b2cx = 0 .2(2)因为，椭圆0右准线/方程是x = f原点距椭圆0的右准线/的距离为c由于e，=a2 -b； =l + cos& + sin = sin 0(0 0 = -时上式达到最大值所以当0 =-时原点距椭圆0的右准线/最远.2 2此时a 2= 2,b 2= l,c = 1,D(2,0),|DF| = 1.x2 y2设椭圆 Q

11、 F- = 1 上的点 A(x y) . B(x2 )，2 1ABD 的面积 S = yi + y2 = y-y2.2 2设直线加的方程为兀=炒+ 1,代入+ = 1+.得(2 + /)，？+2幼一 1=0.2 1” 1由韦达定理得X+甘一寸2=一济、.8代+1)4S_ =(必 一y2) = (y + y2) _4”儿=Qf令 t = k2+.得 4 S2 = 2 当 t = tk= 0 取等号.4/因此，当直线加绕点F转动到垂直x轴位置时，三角形的面积最大.特别走厘:注意这种直线方程的设法适用于“含斜率不存在，而无斜率为零的情况”77【研讨欣赏】(1)已知点的坐标是(-1厂3),尸是椭圆+

12、= 1的右焦点点16 124在椭圆上移动，当|QF| + *|PQ|取最小值时，求点0的坐标，并求出其最小值。(2)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率为e = ,已知点彳0,丁2V 2丿到这个椭圆上的点的最远距离是、厅，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点的距离是、厅的点的坐标。解由椭圆方程可“2则旦,呜， 椭圆的右准线方程为尸8过点0作加丄/于点0.过点、P作胪丄/于点P，则据椭圆的第二定义知，也r = e|ee| |QF|=I qq, |qf|+*凹=* (ee|+|M易知当只q、0在同一条线上时，即当o与戸点重合时，|ee|+|p50)由/ =弓解得设椭圆上的点S）到点咙2 J 则

13、 为 离2H73 - 2 y zr i +2X其中一byb,如果b0詁矛盾，故必有呜当时/取得最大值,（J7）2=4庆+3解得H1,干2 所求椭圆方程为宁+b=i.由y =丄可得椭圆上到点P的距离等于0的点为2五. 提炼总结以为师1. 椭圆定义是解决问题的出发点，一般地，涉及。、b、c的问题先考虑第一定义， 涉及e、d及焦半径的问题行急需处理虑第二定义；2. 求椭圆方程，常用待定系数法，定义法，首先确定曲线类型和方程的形式，再由题 设条件确定参数值，应待别”掌握；（1）当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏；（2）两种标准方程中，总有目0,并且椭圆的焦点总在长轴上；3. 要正确理解

14、和灵活运用参数a,b,c,e的几何意义与相互关系；4. 会用方程分析解决交点、弦长和求值问题，能正确使用点差法”及其结论。同步练习& 1椭圆方程及性质【选择题】21. （2004全国7）椭圆罕+y2= 1的两个焦点为用、局，过用作垂直于/轴的直线4与椭圆相交，一个交点为只则PF2（A.B. y/3D. 42. （2005全国卷【）设椭圆的两个焦点分别为刀，F“过尺作椭圆长轴的垂线交椭 圆于点化若人朋为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）C. 2-/2D. V2-1【填空题】2 23点P在椭圆二+2_二1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P259的橫坐标是.4.已知斥为椭圆的左焦点

15、，A. 分别为椭圆的右顶点和上顶点，为椭圆上的点， 当彤丄局1, PO/AB （ 0为椭圆中心）时，则椭圆的离心率为5. 已知P是椭圆二+二=1 （3b0）上任意一点，与两焦点连线互相垂直, cr Zr且戶到两准线距离分别为6. 12,则椭圆方程为.6. （2005重庆）已知A（丄,0）,3是圆F:（x-）2+y2 =4（F为圆心）上一动点,2 2线段川?的垂直平分线交胪于只 则动点尸的轨迹方程为简答提不:1. C； 2. D； 3.25na24. Tl 彤卜一，ABPO、a OPFs ABO b b2bc.b V25.兰+=1;45206.x2+-y2=3“【解答题】7. 已知椭圆的中心在坐

16、标原点a焦点在坐标轴上，直线尸卅1与椭圆相交于点尸 和点0,且0P丄，図上甞，求椭圆方程.解：设椭圆方程为加/+龙=1 （刃0, /70）,设PXi）, Q （x2,刃），解方程组尸屮1,mxny 二1 消去y,整理得（加）x2nxn1=0.d 二4/?4 （护/7）（n 1） 0,即 卅刀一仍/70, 0P丄如= 加2+/乃二0,即 X1X2+ （为+1）（上+1） =0, 2xiX2+ （xi+x2）+1 二0,二 _-2+1二0.m + n m 一 n什77=2由弦长公式得2的一切）（m + ny孕八将十代入，得扌.椭圆方程为宁|曲或討+牛.8. 如下图，设层 亠+=1（ab0）的焦点为

17、斤与尽 HPWE,乙FPFl2（） cr Zr求证：HPFZ的面积tan o .剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设朋上刀，I朋二西, 则S-nnsin2 0.若能消去门小 问题即获解决.2证明：设朋=小则昌W又皿由余弦定理有(2c)二打+疔一2厂scos2 0二(巧+匕)一2门匕一2刀匕cos2 Q二(2a) 2门匕(l+cos2&),于是 2门匕(l+cos2 0 )二4才一4c二4Z/所以r,Z2=一-1 + cos 20这样即有吗2庆1 + cos 282 sin 8 cos。51/72 2cos-If tan 0 评述：解与 PFFP为椭圆上的点)有关的问题，常用正

18、弦定理或余弦定理，并结 合丨朋1 + 1朋1=2。来解决.9. 如下图，已知旳的面积为S,且OF - 7=1.1 (1) 若_SV2,求向量OF与F0的夹角的取值范围；2.3(2) 设OF|=c (&2), *二c,若以0为中心，尸为一个焦点的椭圆经过点Q4当I苑丨取最小值时，求椭圆的方程.解：(1)由已知，得-OF 而 Isi/?(刃一 )=$2VOFFQ |cosl.tan 2S.V-52, :.tanOA.2则仝 V 0 方0), Qg y).OF - (c9 0)t 则 FQ 二(x c. y).OFX *.* OF FQ =c (xc) =1, .x=c+-.则 OQ I = Va-

19、2+/=(c + )2+|(cN2).可以证明：当cM2时，函数t=c-为增函数, C:.当c=2时，53?2=10, 戻=6.此时0（三，-将Q的坐标代入椭圆方程, 2 2259+二1， 得S 4旷 4b- 解得V 冷一养4椭圆方程为汩計10. （2005上海）如图，点几分别是椭圆+ = 1长轴的左、右端点，点F3620是椭圆的右焦点，点戶在椭圆上，且位于兀轴上方，PA丄PF.（1）求点P的坐标；（2）设J/是椭圆长轴/仿上的一点，到直线的距离等于IM3I,求椭圆上的点解：(1)由已知可得点A (-6, 0), F (4, 0)设点的坐标是(忑刃,则AP=x + 6.y,FP=x-4yy 9

20、由已知得1 . 3 3620则2广+918 = 0/ =二或 = -6(x + 6)(% - 4) + y 2 = 023则 2#+9厂18二0. x =二或 x = 6(舍)2于是y二？点的坐标是2 2 2(2)直线力戶的方程是x-JJy + 6 = 0.设点W的坐标是5. 0),则J/到直线力戶的距离是型二里.2于是 + 61 =| ? 一6|,乂 一6 s m 6,解得加=2,2椭圆上的点a，刃到点“的距离有549d2 =(x-2)2 +y2 =x2 -4x + 4 + 20-x2 = -(x-)2 +15,9 92由于一6x0)的左.右顶点， cr b-椭圆长半轴的长等于焦距，且x =

21、 4为它的右准线。 (I)求椭圆的方程；(1【)设P为右准线上不同于点(4, 0)的任意一点，若直线/、胪分别与椭圆相 交于异于M、的点、M证明点在以於V为直径的圆内。a = 2c解(I )依题意得a2解得a=从而b = *一 =4c = 1故椭圆方程吟+=】（II）解法 1：由（I ）得4（一2,0）,3（2,0）,设Mg。）点在椭圆上，：=扌（4 一丘） 由“心共线忙4,黑）又於点异于顶点A、B, .-2Xq 2从而 BM = （x0 2, y0）, BP = （2, x八+ 2丽丽=2如_4 + -=%+22市（尤-4+3曲将式代入式化简得丽丽= -（2-x0）22如0,3473”0于是ZMB