圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系

1、直线与圆锥曲线位置关系、基础知识:（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定,F面以直线y kx m和椭圆:22xy22ab为例（1 ）联立直线与椭圆方程:y kx m 2 2 2 2b x a ya2b2（2）确定主变量x （或y）并通过直线方程消去另一变量 y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一兀二次方程:2 2 2 2 2 2b2x2 a2 kx ma2b2,整理可得:a2k2 b2 x2 2a2kxm a2m2a2b20（3 ）通过计算判别式的符号判断方程根的

2、个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 0 方程有两个不同实根直线与椭圆相交 0 方程有两个相同实根直线与椭圆相切 0 方程没有实根直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线y kx m和椭圆:2 2孑占1 a b 0为例:（1）联立直线与双曲线方程:y kx m2 2，消元代入后可得:a2b2b2 a2k2 x2 2a2kxm（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为a2k2 b20 ,所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的

3、方程二次项系数为b2 a2k2，有可能为零。所以要分情况进行讨论22 2b当b a k 0 k且mO时，方程变为一次方程，有一个根。此时直线与双曲a线相交，只有一个公共点当b2 a2k2 0- k -时，常数项为 a2m2 a2b20，所以0恒成立，此a a时直线与双曲线相交当b22 2a k0 k 一 或 k a-时，直线与双曲线的公共点个数需要用a判断0方程有两个不同实根直线与双曲线相交0方程有两个相同实根直线与双曲线相切0方程没有实根直线与双曲线相离注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果

4、是通过二次方程解出相 同的根，则为相切（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为,a U a,，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当x a时，点位于双曲线的右支；当 x a时，点位于双曲线的左支。对于方程：b2 a2k2 x2 2a2kxm a2m2 a2b2 0，设两个根为 x1,x2当 b2 a2k20- kb时，则xLx22 2 2 2 a m a b0，所以Xi,X2异号，即aab2 a2k2交点分别位于双曲线的左，右支当b2 a2k20 k b或b2 2 2 2k且0 时，X1X2a ma b0 所以2220，丿所以aab a kXi,X2同号，即交

5、点位于同一支上（4）直线与双曲线位置关系的几何解释： 通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点 b刚好与双曲线的渐近线斜率相同。 所以可通过数形结合得到位置a关系的判定 k b且m 0时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程a中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所以只有一个交点bb 一 k b时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直aa线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。2 2 2 一 一 一2 a k 0 k 或k 时，此时直线比渐近线“更陡”，通过平移观察可得:aa直线不一定

6、与双曲线有公共点（与的符号对应），可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上。（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离1位置关系的判定：以直线 y kx m和抛物线：y2 2 px p 0为例y kx m2联立方程： 2kx m2px，整理后可得：y 2px2 2 2k x 2km 2p x m 0（1）当k 0时，此时方程为关于 x的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线， 与抛物线相交（2）当当k0时，则方程为关于x的二次方程，可通过判别式进行判定0方程有两个不同实根直线与抛物线相交0方程有两个相同实根直线与抛物线相切0方程没有实根直线与抛物线相离2、焦点弦问题：设抛物

7、线方程：y2 2px，过焦点的直线（斜率存在且 k 0），对应倾斜角为，与抛物线交于X2，y2联立方程:k2x2k2p2p2pxk22卫 2px，整理可得:2(1)XiX22P_k2p4yy202412(2)(3)(四)ABSVAOBXi2pX2P1 -1tandO l2小k P 2pABk22pOF2k2p 2p2cossinsin圆锥曲线问题的解决思路与常用公式:1、直线与圆锥曲线问题的特点:k22p sin2AB（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角,（2 ）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设A2psin2p .2 sinP2si n早晚利用条件消掉）, B X2,y2，至于

8、A, B坐标是否需以交点 A x1, y1 , B x2, y2为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（x1 X2,X1X2,y1 丫2,丫2，坚持数形结合,要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂（3）通过联立方程消元，可得到关于x （或y ）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出x1,x2, yi, y2 （所谓“设而不 求”）（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可简化运算的过程这几点归纳起来就是 “以一个（或两个）核心变量为中心,坚持整体代入。直至解决解析几何问题“2、韦达定理：是用二次

9、方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个： 一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数， 进而导致直接利用 求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算； 二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代 入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地。3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：（1 ）斜

10、截式：y kx m，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去y则此形式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是 否符合条件（2）x my b，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立方程后消去x时使用，多用于抛物线y2 2px （消元后的二次方程形式简单）。此直线不能直1接体现斜率，当m 0时，斜率k m4、弦长公式：（已知直线上的两点距离） 设直线l : y kx m，l上两点A X|, y-i , B x2, y2 ，所以 AB Ji k2 x x2 或 AByiy2（1）证明：因为 A x|,y1 ,B x2,y2在直线l上

11、，所以y1 kx1 my2 kx2 m1AB Jx1%2%2，代入*欣口可得:y2 kx? mk x12X2（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果代B为直线与曲线的交点（即 AB为曲线上的弦），贝V x1 x2（或y1y2 ） 可进行变形x1 x2 Jxx2 $ ijx1 x4x1x2，从而可用方程的韦达定理进行整体代入。5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方2 2程务 占 1 a b 0为例，设直线y kx m与椭圆交于 A ,y1 ,B x2, y2两点, a b则该两点满足椭圆方程，有：2 2-2 y 一 V考虑两个方程左右分别作差,

12、并利用平方差公式进行分解， 则可得到两个量之间的联系:12 X1a由等式可知：其中直线XiX22 2x1x2x2x1x2x-ix22AB的斜率k1 2 b2 y11b21b2 y1y1 y2X1X22y20yiy2 y1 y20AB中点的坐标为这些要素均在式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由可得在涉及题中也可使用点差法。二、典型例题2例1：不论k为何值，直线y kx 1与椭圆721有公共点,mX1X2 Y1y2，2 2AB的斜率与AB中点代B坐标的平方差问则实数m的取值范围是（A.0,1B. 1,C.1,7U 7,D.0,7思路一:可通

13、过联立方程，消去变量（如消去y ），得到关于x的二次方程,因为直线与椭圆有公共点，所以R恒成立,从而将问题转化为恒成立问题，解出m即可解:y kx 12 2mx 7y 7m2mx7 kx217m，整理可得:2 27k x 14kx7m214k4 mm 7k207k21max7k2m 1,7 U7m7k2 17,1思路二：从所给含参直线y kx 1入手可知直线过定点0,1，所以若过定点的直线均与22椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入x0,1后7y1，即m244121 m 1，因为是椭圆，所以m 7,故m的取值范围是1,7 U 7,m答案：C 小炼有话说：(1比较两种思路，第一种

14、思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆位置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的特点，即若点在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决问题。在思路二中，从含参直线能发现定点是关键(2)本题还要注意细节，椭圆方程中x2,y2的系数不同，所以 m 72 2例2:已知双曲线-y1的右焦点为124，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有个交点，则此直线斜率的取值范围是(A.B.C.3 .3D.思路:2 .x 由一121可得渐近线方程为:.3x,3若过右焦点的直线与右支只有一个交占八、的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，即答案：

15、C小炼有话说：本题是利用“基础知识”的结论直接得到的答案，代数的推理如下:2 2由乞1241可知F4,0，设直线l : y k x 4，联立方程可得:x23y2k x1223k2 x12，整理后可得:3k2 x24k2x48k2123k2 0弓时3时，8x28 0x f，即位于双曲线右支，符合题意2当1 3k 0时,24k2 彳 4 1 3k22 248k1248 k 10直线与双曲线必有两个交点，设为捲，丫1 , X2,y2因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点x1x20，即48k2 12 03k23k21综上所述:例3:已知抛物线C的方程为x2y，过点A 0, 1和点B t,3的直线与抛物

16、线C没有公共点,则实数t的取值范围是A.,1 U 1,B.C.,2 2 U 2、2,D.U ,2,思路:由A,B两点可确定直线AB的方程（含t），再通过与抛物线方程联立， 利用可得到关于t的不等式，从而解得t的范围解：若t 0，则直线AB :x 0与抛物线有公共点，不符题意40，则 kABAB: y 4x 1，与椭圆联立方程:1尹4 x tx22tx24x t0Q直线与抛物线无公共点216 8t0t 血或t血答案：D例4 :过双曲线2 x21的右焦点F作直线1交双曲线于 A, B两点，若实数2的直线恰有3条，则使得AB,22思路：由双曲线方程可知F .3,0，当I斜率不存在时，可知AB为通径，

17、计算可得:AB 4，当I斜率存在时，设直线I : y k x J3，与椭圆方程联立，利用弦长公式可224可解得：k2-4或44 1k24 1k2得AB为关于k的表达式，即2 k22k2c 242424k2 。若0或0，即2时，可得k 0,仅有一解，不符4442424题意。若24 0且2一4 0，则每个方程只能无解或两解。所以可知当4时,44方程有两解，再结合斜率不存在的情况，共有3解。符合题意，所以42解：由双曲线 X21 可得 a 1,b、2,c.3F .3,0 ，2当AB斜率不存在时，I的方程为x .32b2AB为通径，即AB4a若直线I斜率存在，不妨设为 k则设 I : y k x 、3

18、 ， A x.(, y! , B x2, y22x2 y222联立直线与椭圆方程：消去y可得：2x2 k2 x 32，整理可得:y k x V32 k2 x2 2 3k2x 3k2 2022 3k24 2 k2 3k2 216k2 16ABV1k2 x-ix2一 1 k24 1 k22 k2可得：k224或k2-44424当0时，即2，则方程的解为k 0,只有一解，不符题意424同理，当2一4 0，即2，则方程的解为k 0,只有一解，不符题意42424当0且0时，则每个方程的解为 0个或两个，总和无法达到 3个，不符44题意所以若AB的直线恰有3条，只能4，方程解得：k满足条件的直线AB的方程

19、为：3，氏，yx2答案:2 Y例5:已知椭圆4则当在此椭圆上存在不同两点关于直线y 4xm对称，则的取值范围是（A.1313B.2.13132.1313C.右131313D.2 13132 1313思路:设椭圆上两点A Xi,yi,BX2,y2，中点坐标为xo,yo，则有2xo2yoXiX2中点问题想到点差法,则有3x23x；4y；4y；12123 x2x；4yi，由y2y2 y o，变形可得:3 % x2 x1x24 yi y2y1 y2o由对称关系和对称轴方程可得，直线AB的斜率k -4M上，所以方程转化为:x-1 x26xo8yoyo 3xo ，由对称性可知AB中点x0,y0在对称轴上，

20、所以有yo 4xm，所以解得:myo 3mXo依题意可得:占八、x,y必在椭圆内，2所以有3xo4y212 ,代入可得：3m 212 ,解得：涯132 13 m13答案：D例6：过点M2,0的直线2m与椭圆y221交于R,P2两点，线段RP2的中点为P ,设直线m的斜率为匕K 0，直线OP的斜率为k2，则kh的值为（A. 2B.C.D.思路一：已知m与椭圆交于R,F2两个基本点，从而设R x1,y1x2, y2 ,可知X1X2y _y22，即k2y1 上，从结构上可联想到韦达定理， 设m: yX2ki x 2 ,圆方程：Xi8k2 x 8k1220，XiX2-8kl，所以2k12 1思路二:k

21、1 xy1 y2 匕X1X24k14 k,2 k：-，则 k21L ,即2k1线段PiP2为椭圆的弦，且问题围绕着弦中点P展开，在圆锥曲线中处理弦中点问2X1题可用“点差法”，设p X1,y1 ,F2 X2,y2 ，则有22X22y11，两式作差，可得:2y21 21X12y101 x1x22x1X2y1 y20，发现等式中出现与中点和 RF2斜率相关的要素，其中X1X2Y1y22，所以k2y1y2X1X2，且k1M吐，所以等式化为1y1 y2x1 x22y2X1X2X1x210即丄2k1k20 ,所以 k1k2答案：D小炼有话说：两类问题适用于点差法，都是围绕着点差后式子出现平方差的特点。(

22、1)涉及弦中点的问题，此时点差之后利用平方差进行因式分解可得到中点坐标与直线斜率的联系(2)涉及到运用两点对应坐标平方差的条件，也可使用点差法例7：已知点A 1,2在抛物线C:y2 4x上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D,E，直线AD,AE的斜率分别为kAD，kAE，若直线DE过点P 1,2，则 kAD kAE （）A. 4B.C.D.思路：设DX1,y1 ,E X2,y2，进而所求kAD kAEX1X2-，所以可从直1线DE入手，设直线 DE : y 2 k x 1，与抛物线方程联立，利用韦达定理即可化简解：设 D X, y1 , E x2, y2y22x21kAD kAEy12y222

23、 Y1y2411X1X2%x2xX21设 P 1, 2，贝U DE:y2k x1联立方程：2y4x，消去x可得:ky2 4y 4k 8044k 8yi y2-,yiy2kk22y2k 4k 416k2Xi力 y24 2kk4k2k2y 2 k x 1代入可得:4k 8kk2 4k 44 4k 2k2k2k2答案:例8:已知抛物线 C : y2 4x的焦点为过点F的直线l交抛物线于 M,N两点，且2MF 2 NF，则直线I的斜率为（）思路一-：从点的坐标出发，因为M,F,N三点共线，从而MF2 NF可转化为ULLTUULTMF2NF ,考虑将向量坐标化，F1,0 ，设 MX1,y1,N X2,y

24、2,有uurUUTMF1 X1, y1 ,NF 1 X2, y2，所以y2y2，设直线I : Xmy 1，联立抛物A.B.2.2C.D.4线方程消兀后可得：y2 4my 4 0，利用韦达定理可得：y1 v2 4my1 y2，再结合yy 4yi2y ,消去yi, y即可得m直线l : x1,即可得到斜率为思路二：从所给线段关系MF 2 NF恰好为焦半径出发，联系抛物线的定义，可考虑M,N向准线引垂线，垂足分别为P,Q，便可得到直角梯形 PMNQ，由抛物线定义可知:MP MF , NQ NF，将所求斜率转化为直线的倾斜角，即为PMF。不妨设M在第一象限。考虑将角放入直角三角形， 从而可过N作NT

25、MP于T,则tanNMT TN ，|TM|因为 |MF| 2NF| 而 TM|PM| | PT |PM| QN |MF |NF | NF ，且MN MF| I NF 3 NF，利用勾股定理可得：TN| J|MN|MT2|NF，从而tan NMT卩 k 2 2， 当M在第四象限时，同理，可得 k 2迈|TM|综上所述：k 2 一 2答案：B2X2例9：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 y 1的左、右焦点分别为Fi, F2，设A, B2是椭圆上位于 x轴上方的两点，且直线AF2 与 BFi 交于点 P， AFi |BF2率是（）A. .3B.2C._2D.思路：先设出直线 AF1 : x my

26、 1,BF2 :xmy 1，只需一个等量条件即可求出m，进而求出斜率。考虑与椭圆联立方程，分别解出A,B的纵坐标，然后利用弦长公式即可用 m表近 m2 1 m 1,42 m2 11示 AF1,BF2: | AFj 十,BF2 十，可将已m 2m 21知等式转化为关于 m的方程，从而解出 m 1，所以斜率为 -解：由椭圆方程可得：R 1,0 , F2 1,0设 AF1 : x my 1,BF2: xmy1， A为1 ,B X2,y2，依图可知：y1 Oy 0联立AF1与椭圆方程可得:2y21 my 1my 12y21,整理可得:y1AF122 y 2my 102m 2 2 m212 m22m 2

27、 m21m2 2同理可得:AF1 2 m2 1m22 1m2 y1yp1.1m2 y1、2 m21 m m212mbf2即2m m21m22BF22、332231m . m21m222 m21m. m21m22m21 m . m21m2_2，解得:直线AF1的斜率k答案：D小炼有话说：（1）在运用弦长公式计算AF1 , BF2时，抓住焦点的纵坐标为0的特点，使用纵坐标计算线段长度更为简便，因此在直线的选择上，本题采用x myb的形式以便于消去x得到关于y的方程1（2 ）直线方程x my b，当m 0时，可知斜率k与m的关系为：k m2 2x y例10：过椭圆1的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于代B, C, D四431AB的值为（CD1A.-8B.C.D.思