推导SSH模型—11_10_10修改

1、-作者xxxx-日期xxxx推导SSH模型11_10_10修改【精品文档】详细推导SSH模型1、哈密顿量的经典推导 体系的哈密顿量是体系的总能量，聚乙炔链是由CH单元和电子所组成的，因而聚乙炔的总能量是晶格原子和电子两部分能量之和。用和分别表示晶格原子和电子的哈密顿量，则聚乙炔的哈密顿量为 （1.1） 先讨论晶格原子部分的，M表示CH单体的质量，第n个原子在链方向上的位移为，其速度则为，于是所有晶格原子的动能为 （1.2）晶格原子之间的势能是弹性势能，它正比于相邻原子间距离变化的平方，因为第n个和第n+1个原子的位移各位和。（注：，参看） （1.3）其中K是弹性常数，对于聚乙炔，K=21-56

2、ev/. 于是晶格原子的哈密顿量为 （1.4）再看电子部分的.电子在晶格原子的周期性势场中运动（该势场表示晶格原子和电子的相互作用），设原子的平衡位置为,当它位移了后，原子的瞬时位置为 ， （1.5）设第i个电子的坐标为，第n个原子对第i个电子的势能为。于是，整个晶格中各个原子对第i个电子所产生的势能是 (1.6)第i个电子的动能是 ， （1.7）其中m是电子的质量，是第i个电子的动量，于是第i个电子的哈密顿量为 (1.8) 聚乙炔中所有电子的总哈密顿量 (1.9)将电子的动量变为动量算符，就可以得到聚乙炔的总哈密顿算符是 （2.0） 由于原子的质量比电子重得多，其量子效应比较小，所以，在哈密

3、顿算符（2.0）中，原子的动量没有变成算符，因此原子部分的哈密顿量是经典的，处理起来比较简单。电子部分的包含算符，直接从式（2.0）出发，处理起来比较困难，考虑到聚乙炔的特点，利用适当的近似（称为“紧束缚近似”）可使简化。2、紧束缚处理电子部分哈密顿 为此先讨论一个电子在晶格势场中的运动，即的本征值问题。此时，单电子的薛定谔方程为 （2.1）在聚乙炔中，当电子处于第n个碳原子附近时，电子受到的势能作用主要来源于，其它所有碳原子的势能总和将比小得多，可以视为微扰。也就是说，在附近，电子将比较紧地被第n个碳原子所束缚，其它碳原子对该电子的影响比较小，在零级近似下，方程（2.1）简化为第n个孤立碳原

4、子中的薛定谔方程 (2.2)其中和是第n个孤立碳原子中的电子本征函数和本征值(由于是Rn的函数，故求得的是不同的)。由于碳原子中的电子激发态的能量比较高，电子只处于最低的能级上，因而可以只考虑此最低的能级，并认为和就是此最低能级上的波函数和能量。因为各个碳原子上最低的能量都是相同的，因而不同碳原子上的波函数是相互简并的状态。根据简并态的微扰理论，方程（2.1）中的零级近似波函数应该是所有的线性组合，即 (2.3)其中是展开系数，表示电子出现在第个原子中的几率。将式（2.3）代入方程（2.1）可求得确定的方程 (2.4)两边乘上，并对空间积分，注意到不同原子上波函数之间很少交叠，近似地有 (2.

5、5)即不同的基本上是相互正交的。于是由式（2.4）得到 (2.6)利用孤立原子的薛定谔方程（2.2），上述方程可简化为 (2.7)当格点和不是近邻时，原子波函数和之间无交叠，两者乘积的积分等于零，当是的近邻或m=时，和才有一定的交叠，含有的积分才不等于零，因而 A , ， (2.8)0， 其它其中就是相邻两原子之间的相互作用能量，将此式代入式（2.7）可得到确定的方程为 (2.9)这是的联立方程，求解它就可得到聚乙炔中电子的能谱E和波函数。在一般情况下，那时求解方程（2.9）比较复杂，如果假设均匀二聚化 (3.0)方程（2.9）是很容易求解的，此时（2.9）可简化为 (3.1)设 (3.2)代

6、入方程（3.1）得到 (3.3)这就是紧束缚近似下的电子能谱。同时，将式（3.2）代入式（）就得到电子的波函数 （3.4）3、二次量子化处理N电子问题 以上讨论的是一个电子在晶格势场中的运动，当N个电子同时存在时，可利用二次量子化方法来得到N个电子的哈密顿量，这时，在展开式（2.3）中，将展开系数变为电子的湮灭算符，同时，变为电子的场算符，它的厄密共轭是，即 ； （3.5）其中是电子的产生算符，和之间满足费米对易关系 （3.6）利用场算符和可将N个电子的哈密顿量用单电子的哈密顿量表示为 （3.7）将式（3.5）代入上式，有 （3.8）利用第个原子的薛定谔方程（2.2），上式简化为 （3.9）再利用式（2.8），上式进一步简化为 （4.0）可以将作为计算能量的零点，则 （4.1）这就是SSH模型哈密顿量中的电子部分。 现在对式（4.1）作两点补充：首先，由于电子具有自旋，为了说明跃迁电子的自旋守恒，将产生算符和湮灭算符写成和，它们说明在第n个原子上增加或减少一个自旋为s的电子。其次，由于原子离开平衡位置的位移很小，这时相邻原子间的距离=与平衡位置间的距离相差很小，即，于是相互作用能可Taylor展开 （4.2）其中是平衡位置上相邻两原子之间的相互作用能，是相互作用t随原子间距离的变化率，对于聚乙炔，一般采用 .将（）式代入（）式并考虑