(完整版)概率论与数理统计复习题带答案讲解

1、1 ;第一章 一、填空题 1. 若事件 A B 且 P (A ) =0.5, P(B) =0.2 ,贝 U P(A B)= ( 0.3 )。 2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为 0.7,乙击中敌机的概率为 0.8.求敌机被击中的概率为( 0.94 )。 3. 设 A、E、C 为三个事件，则事件 A, B , C 中不少于二个发生可表示为 (AB AC BC )。 4. 三台机器相互独立运转， 设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为 0.9, 0.8, 0.7,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为( 0.496 )。 5. 某人进行射击，每次命中的概率为 0 .

2、6 独立射击 4 次，则击中二次的概率为 (0.3456 )。 6. 设 A、B、C 为三个事件，则事件 A,B与 C 都不发生可表示为( ABC )。 7. 设 A、B、C 为三个事件，则事件 A, B , C 中不多于一个发生可表示为 (ABI ACI BC )； 8. 若事件 A 与事件 B 相互独立，且 P (A ) =0.5, P(B) =0.2 ,贝 U P(A|B)= ( 0.5 ); 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击， 已知甲击中敌机的概率为 0.6,乙击中敌机的概率为 0.5.求 敌机被击中的概率为( 0.8 ); 10. 若事件 A 与事件 B 互不相容，且 P( A )=

3、0.5, P(B) =0.2 ,贝 U P( A B)= ( 0.5 ) 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为 0.8, 0.8, 0.7,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为( 0.864 )。 12. 若事件 A B 且 P (A) =0.5, P(B) =0.2 ,贝 U P(AB )= ( 0.3 ); 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容，且 P (A ) =0.5, P(B) =0.2 ,贝 U P( AB )= ( 0.5 ) 14. A、B为两互斥事件，则 AU B ( S ) 15. A、 B、 C 表示三个事件，则 A、 B、

4、 C 恰有一个发生可表示为 ( ABC ABC ABC ) 16. 若 P(A) 0.4 , P(B) 0.2 , P(AB) 0.1 则 P(AB| AUB) ( 0.2 ) 17. A、B为两互斥事件，则 AB= ( S ) 1 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成， 则一次就能打开保险箱的概率为 ( 1 )。 10000 二、选择填空题 1. 对掷一骰子的试验，在概率中将“出现偶数点”称为( D ) A、样本空间 B、必然事件 C、不可能事件 D、随机事件 2. 某工厂每天分 3 个班生产，A表示第i班超额完成任务(i 1,2,3)，那么至少有两个班超 2 额完成任务可表示为( B

5、)3 A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 甲、乙两人射击，A、E分别表示甲、乙射中目标，贝 U A、两人都没射中 E、两人都射中 C、至少一人没射中 三、计算题 1. 用 3 台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为 0.4,0.4,0.2; 各机床加工的零 件的合格品的概率分别为 0.92,0.93,0.95, 求全部产品的合格率. 解：设B表示产品合格， Ai表示生产自第i个机床(i 1,2,3 ) 3 P(B) P(A)P(B|A) 0.4 0.92 0.4 0.93 0.2 0.95 i 1 2. 设工厂 A、B 和 C 的产品的次品率分别为 1%、2%和

6、C Ai U A2 U A3 D A1A2A3 5. A、 6. (A) A B 是C的子事件； (B) ABC ；或 A B C; (C) AB是C的子事件； (D) C是AB的子事件 如果A、 B 互不相容，则(| C ) A、 A 与 E是对立事件 B 、 AU B是必然事件 C、 AUB是必然事件 D 、 A与B互不相容 若AB ，则称A与B ( B ) 相互独立 B 、互不相容 C 、对立 D 、构成完备事件组 若AB ，则(C AU B是必然事件 、A与B互不相容 7. A、E为两事件满足 B，则一定有(B A、 B、AB 、AB A A1A2A3 A A2A 氏 A2A B表示(

7、D D 、至少一人射中 P(A1|D) P(A)P(D| A) 3 P(A)P(D|A) i 1 0.01 0.5 0.01 0.5 0.02 0.4 0.03 0.1 3设当事件A与B同时发生时 C也发，4. A与B是对立事件 、AUB是必然事件 B 4 3%, A、B 和 C 厂的产品分别占 50%、 40%和 10%混合在一起，从中随机地抽取一件，发现是次品，则该次品属于 A 厂生产的概率是 多少？ 解：设D表示产品是次品， A,A2,A3表示生产自工厂 A、B 和 C 3设某批产品中，甲，乙，丙三厂生产的产品分别占 45%, 35%, 20%,各厂的产品的次品率分5 别为 4%, 2%

8、, 5%,现从中任取一件 (1)求取到的是次品的概率 经检验发现取到的产品为次品 ，求该产品是甲厂生产的概率. 解：设D表示产品是次品， A|, A?, A5表示生产自工厂甲，乙，丙 3 P(D) P(A)P(D|A) 0.45 0.04 0.35 0.02 0.2 0.05 0.026 i 1 P(A)P(D I Ai) 0.45 0.04 9 P(D) 13 4某工厂有三个车间，生产同一产品，第一车间生产全部产品的 60%第二车间生产全部 产品的 30%第三车间生产全部产品的 10%各车间的不合格品率分别为 0.01 , 0.05 , 0.04 , 任取一件产品，试求抽到不合格品的概率？

9、解：设D表示产品是不合格品， A1, A2, AS表示生产自第一、二、三车间 3 P(D) P(A)P(D|AJ 0.6 0.01 0.3 0.05 0.1 0.04 0.025 i 1 5.设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%，现从由 A 和 B 的产品分别占 60% 和 40%的一批产品中随机地抽取一件， 发现是次品，则该次品属于 A 厂生产的概率是多少？ 解：设D表示产品是次品， A, A2表示生产自工厂 A 和工厂 B 6在人群中，患关节炎的概率为 10%,由于检测水平原因，真的有关节炎能够检测出有关节炎 的概率为85%.真的没有而检测出有的概率为 4%,假设检验

10、出其有关节炎，问他真有关节炎 的概率是多少？ 解：设A表示检验出其有关节炎， B表示真有关节炎 一、填空题 的概率密度函数为 P(Ai|D) P(A1|D) P(AJP(D|A) P(A)P(D |Ai) i 1 0.01 0.6 0.01 0.6 0.02 0.4 P(B|A) P(B)P(A| B) P(B)P(A| B) P(B)P(A| B) 0.1 0.85 0.1 0.7025 1.已知随机变量X的分布律为: X 10 1 P 0.1 0.4 0.5 ，则 PX2 0 0.4 6 1 ,1x4 f(x) 3 0,其他 3设随机变量 X B(5,0.3)，则 E (X)为( k k

11、6 k PX=k=C 6 0.2 0.8 - ,k=0,1,L 6 设随机变量X N( , 2),则随机 a ( 1/15 )； ( 0.7 )； 5x 5e , x 0 11 已知随机变量 X 的概率密度为f(X) ,则 X 的分布函数为 0, x 0 , 5x 1-e , x 0 ( F(x) ) 0, x 0 13 5 7 12. 已知随机变量 X 只能取-1,0,1,2 四个值，相应概率依次为 ，一， ，则常数 2c 4c 8c 16c C ( 16/37 ). 1.5 设随机变量 X B(6,0.2) 分布律为 5. X 已知随机变量X的分布律为：一 P 设随机变量 X f (x)

12、3e3x, 0, 0.1 0.4 的分布函数为F(x) 1 0, 当x 0, 当x 0. 0.5 ,则 PX 3x ,当 x 0, 当x 0. 1 ( 0.6 的概率密度函数 X N(0,1) 8.已知离散型随机变量 X 的分布律为 X 2 1 0 1 3 P 3a 1/6 3a a 11/30 则常数 A 9.设随机变量 X 的分布律为：PX k沪 1,2 ,10.则常数A ( 1 10.设离散型随机变量 X的分布律为 P 0.2 0.5 0.3 ，F (x)为X的分布函数, 则 F(2) ) 7 13. 已知 X是连续型随机变量，密度函数为 p x，且p x在x处连续，F x为其分布函8

13、14. X 是随机变量，其分布函数为 F x，则 X 为落在a,b内的概率 P a X b ( F(b)-F (a) )。 15. 已知 X是连续型随机变量， a为任意实数，则 P X a 16. 已知X是连续型随机变量，且XN 0,1 ,则密度函 x =( 17. 已知 X是连续型随机变量，密度函数为 p x , P a X b ( a P(x)dx )。 18已知X是连续型随机变量，且XN 0,1 , x 是 X 的分布函数，若 a ( 0.7 )。 19.设随机变量 X N(6,4),且已知 (1) 0.8413，则 P4 X 8( 20已知X是连续型随机变量，且XU a,b，则密度函数

14、为 1 . a x b f (x) b-a 0,其他 、选择填空题 C.- 数，贝U F x =( P(x) 3. 2 ，则概率 PX A. 有关 B. 与 有关，与 无关 C. 与 有关，与 无关 D. 仅与 k 有关 x2 a 0.3,则 0.6826 )。 )。 1.三重贝努力试验中，至少有一次成功的概率为 1 A.- 4 1 B.- 3 37 ，则每次试验成功的概率为 64 2 D.- 3 (A) 2.设随机变量 X 的密度函数f x C 2，x 1 x 0,其他 0, ，则常数 C 为(C A. 9 4.已知随机变量的分布率为 X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4

15、 F(x)为其分布函数，则F(3)= ( C )。 2 A. 0.1 B. 0.3 C. 0.6 D. 1.0 5.已知 XN 0,1 ，丫: =2X 1， 则丫(B )o A. N 0,1 B. N 1,4 C. N 1,3 D. N 1,1 6.已知随机变量X的分布率为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.1 0.2 0.6 则 P(X 2) ( D )。 A. 0.1 B . 0.2 C. 0.4 D . 0.6 7.在相同情况下，独立地进行 5 次射击，每次射击时，命中目标的概率为 0.6,则击中目标的次数 X 的概率分布率为( A )o A.二项分布 B (5,0.6) B.泊松分布

16、 P(5) C.均匀分布U 0.6,5 D.正态分布 1 . ,a x b & p x b a ，是(C )分布的概率密度函数. 0,其他 A.指数 B.二项 C. 均匀 D.泊松 三、计算题 1 .设随机变量X N(1,4)，求：F (5)和 P0 X 1.6 o (0.2) 0.5793, (0.3) 0.6179, (0.4) (0.6554), (0.5) 0.691(0) 0.5， (1) 0.8413， (2) 0.9772， (3) 0.9987 2.设 X : N(3,42)，求 P4 X 8, P0 X 5 (可以用标准正态分布的分布函数表示) P4 X 8 4 3 X 3

17、8 3 “5、 “1、 P- 4 4 4 (5) (1) P0 X 5 严0 3 X 3 4 4 543 (0.5) (0.75) (0.5) (0.75) 1 解： F(5) PX X 1 5 1 5 P- - 丁 0.9772 2 2 P0 X 1.6 0 1 1 16 1 P 2 2 .2 (0.3) ( 0.5) (0.3) (0.5) 1 0.3094 10 3设随机变量X N(2, 2)，且 P2 X 4 0.3，求 PX 0 o 2 2 X 2 4 2 2 P2 X 4 P- () (0) 0.3 (2) 0.8 X 2 2 2 2 P X 0 P ( ) 1 () 0.2 4设

18、随机变量 X 的分布律为 X -1 -2 0 1 1 1 1 1 Pi 4 3 12 3 2 求丫 X -1 的分布律。 X -1-2 0 1 Pi 1111 4 3 12 3 Y X2-1 0 3-10 Y -10 3 Pi 1 7 1 12 12 3 Y : N(10.5,0.22)，X，Y 相互独立，随机的选一只垫圈和一个螺栓，求螺栓能装入垫圈的 概率。 解：X Y : N( 0.5,2 0.22) 6.设随机变量X的概率分布率如下表 X 1 2 3 Pk 12 5 5 求 X 的分布函数和P X 。 4 25某工厂生产螺栓和垫圈，螺栓直径(以毫米计) 9 X : N(10,0.22)，

19、垫圈直径(以毫米计) PX Y PX Y 0 P X Y 0.5 0.2 J2 0 0.5 0.2 一 2 (1.768) 11 5 5 解：卩仃 X - PX 2 N (0,25) Y X -0.5 1 3 -1 1 1 1 8 16 16 1 1 1 -2 6 12 12 1 1 1 X -1 -2 0 0.5 Y -0.5 1 3 p 1 1 1 1 p. 1 1 1 Pi 4 3 12 3 Pi 2 4 4 （1） （ X，Y ）的联合分布， （2）E（ X）， 二、计算题 1 设 X 与 Y 相互独立， 其概率分布如表所示, D （Y）o 7 设随机变量Y的概率密度函数为 0.2,(

20、 1 y 0) 0.2 cy,(0 y 1),求(1)常数 c; 0,(其他) P0 Y 0.5 o 解：（1） p(y)dy 0 10.2dy 1 0(2 cy)dy 0.2 c 0.2 1 2 1.2 (2) P0 0.5 0.5 0 (0.2 1.2y)dy 0.2 0.5 0.6 0.25 0.25 第三章 一、填空题 1设连续型随机变量 X,Y的概率密度分别为 fx(x), fY(y)， 且X与Y相互独立，则（X,Y）的 概率密度 f(x, y) fx (x) fY(y) 2.已知 X N( 2 2 1,3 ),Y N(1,4 ) X与丫相互独立，贝y X Y 求12 0 24 48

21、 48 1 1 1 0.5 6 12 12 13 1 1 1 1 9 E(X) 1 2 - 4 3 2 3 1 1 1 1 1 3 E(Y) 1 - 3 2 2 4 4 4 2 1 1 1 1 21 E(Y ) 1 - 9 4 2 4 4 8 D（Y）EH（E（Y）2 211613 2设（X,Y）的分布律如下 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 1/9 2/9 求X与Y的边缘分布并判别 X 与 Y 是否独立。 X 1 2 P 1 2 3 3 Y 1 2 3 P 1 2 5 18 2 9 PX 1 PY 2 1 - PX 1,Y 2 3 9 27 X 与 Y 不独立。 3.设随

22、机变量（X,Y）的概率分布如下表所示: X - - - - Y -1 0 1 2 -1 0.2 0.15 0.1 0.3 2 0.1 0 0.1 0.05 求 X 与 Y 的边缘分布，X 和 Y 是否独立 X -1 2 P 0.75 0.25 Y -1 0 1 2 P 0.3 0.15 0.2 0.35 PX 1PY 1 0.75 0.3 0.225 PX 1,Y 2 0.2 X 与 Y 不独立 第四章2 14 一、填空题 1若随机变量 X 服从泊松分布 Xp(入)，则 D(X)=( 2. 若随机变量 X 和 Y 不相关，则D(X Y)= ( D(X)+D(Y) 3. 若随机变量 X 和 Y

23、互相独立，则 E(XY)= ( E(X)E(Y) 2 2 4 .若随机变量 X 服从正态分布 XN(,)，则 D(X)=( )。 5.若随机变量 X 在区间1,4上服从均匀分布 XU(1,4)，贝 U E(X)= ( 2.5 )。 6 .已知随机变量 X 与 Y 的期望分别为 E(X)=3,E(Y)=5,随机变量 Z=3X-2Y，则期望 E(Z)= -1 )。 9.若随机变量 X 服从二项分布 XB(4,0.5)，贝 U D(X)= ( 1 )； 2 2 11 若已知 E(X) , D(X)，则 E(X ) D(X) ( (E(X) )。 、选择填空题 4.已知随机变量 X 服从二项分布 且

24、E(X)=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数 n, p的值分别 为(B )。 A. n 4, p 0.6 B. n 6, p 0.4 C. n 8, p 0.3 D. n 24, p 0.1 0.5,x 0,2 5.已知 X 的密度函数为 p X 廿儿 其他, 则 X 的数学期望 E(X)= ( B )。 1 A. - B. 1 C.2 D. 4 12. 已知随机变量 X 与 Y 的期望分别为 E(X)=2,E(Y)=5,随机变量 ( 0 ). 13. 若随机变量 X 服从二项分布 XB(n,p)，贝 U D(X)= 14. 设 XU(1,3)，则 E(X)=( 15 .随机变量 X

25、 和 Y ( 74 ) 2 相互独立，且 D(X)=5,D(Y)=6 Z=5X-2Y , 则期望 E(Z)= (np (1-p) 求随机变量 Z=2X-3Y 的方差 D(Z)= 16. X是随机变量, 则 E(X)=( 1.已知 X 3k e k! 3k 0,1,2,3,，则 E 3 A. 3 B. 12 2.随机变量 X N 0,1 ,丫 A. -1 B. 0 C. 30 D. 33 3. X 的分布率为P X A. B. 2 XY =( C. 1 C. 4 D. 2 0,1,2, D. ，则 D(2X)= D _ 。 随机变量 2 X，则相关系数 15 6. X,Y是互相独立的随机变量，E

26、 X 6, E Y 3,则E 2X Y = （ A ）。 三、计算题 1设二维随机变量的联合概率分布为 :、2 0 1 1 0.3 0.1 0.1 1 0.05 0.2 0 2 0.2 0 0.05 求：（1）X 与 Y 的边缘分布，（2）E（ X），D（ Y ）。 E(X) 1 0.5 1 0.25 2 0.25 0.25 E(Y) 2 0.55 10.15 0.95 E(Y2) 4 0.55 1 0.15 2.35 D(Y) E(Y2) (E(Y)2 2.35 0.952 1.44 2.已知 X : N(1,32),Y : N(0,42), XY 的相关系数。 A. 9 B. 15 7.设

27、 X 的概率密度函数为 p X C. 21 D. 27 1 e 10 0,x X W，X ,则 E(2X+1)=( C )。 A. 1.4 B. 41 C. 21 D. 20 & X,Y是互相独立的随机变量，D X 6, D Y 3,则 D 2X Y =( D )。 A. 9 B. 15 C. 21 D. 27 X -1 1 2 Pi 0.5 0.25 0.25 Y -2 0 1 Pi 0.55 0.3 0.15 1 Y 设16 1 1 1 E(Z) -E(X) E(Y) - 3 2 317 I i 2 cov(X,Y) 3 2 16 X Y cov(X,Z) cov(X，MJ) D(X) ;

28、D(Z) 3.3 1 1 1D(X) 1cov(X,Y) 3 2 0 3/3 3.设（X, Y ）服从分布 X 0 1 2 0 3/28 9/28 3/28 1 3/14 3/14 0 2 1/28 0 0 ，试求 cov (X,Y )及 XY 。3 1 E(X) 1 2 - 7 28 1 1 9D（X）-D（Y） 2 1 2 XY ,D(X)DY 3 2 D(Z) 1 1 9D(X)-D(Y) E(XY) 14 3 14 E(Y) 15 28 28 cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 3 14 2 4 9 56 E(X2) XY 7 28 7 ,15 3 27 1 - 4 - 2

29、8 28 28 2 2 4 1 9 E(X ) (E(X)- 7 4 28 2 227 9 E(Y ) (E(Y) 0.401 28 16 cov(X,Y) -0.447 3 1 4 1 4 E(Y2) 4.设随机变量(X,Y )具有密度函数 f(x, y) 0,(x其其它G，其中区域G由曲线 18 y x2与 x y2 围成，求 cov (X,Y )及 XY。 解： 1 -：x 3 1 2 5 3 1 1 2 3xydxdy (x x )dx ( ) 0 x2 2 0 2 3 6 E(X) x 2 3xdxdy 1 0(X x3)dx 9 20 E(Y) 1 - x 0 x2 3ydxdy

30、3 1 . -(x x4)dx 2 0 9 20 cov(X,Y) 1 9 9 19 4 20 20 800 E(XY) E(X)E(Y) x4)dx E(X2) E(Y2) 2 x2 3x dxdy 1 30(好 _9 35 D(X) D(Y) XY 1 jx 2 0 2 3y dxdy 0 x E(X2) (E(X)2 E(Y2) (E(Y)2 1 ? 0(x2 x6)dx (2 -) 5 7 9 81 153 35 400 2800 9 81 153 35 400 2800 0.434 3 35 X rY 0 1 2 0 3/28 9/28 3/28 1 3/14 3/14 0 2 1/

31、28 0 0 _cov(X,Y)_ 、D(X)D(Y) 5.设(X，Y )服从分布 试求 E(X),E(XY),D(Y) 解： E(X) 28 E(XY) 14 14 E(Y) 15 28 28 2 E(Y ) 15 28 28 27 28 E(XY) 19 D(Y) E(Y2) (Eg2 27 詈 04018 6.设随机变量（X,Y）具有概率密度，f （x, y） 24xy,0 x 1,0 y 1,x y 1 0, 求 E(X),E(Y),E(XY)。 E(XY) 1 1 x 2 2 o o 24x y dxdy 1 2 3 8 x (1 x) dx E(X) 1 x 2 0 24x ydx

32、dy 12 ；x2(1 x)2dx= 1 60 丄 30 E(Y) x 2 24xy dxdy 1 80 x(1 x)3 1 dx= 20 7.已知, X 2 N(1,3 ) , Y N(0,16), XY 丫求 Z 的期望与方差，求 X 与 Z 3 的相关系数。 1 1 解:E(Z) ?E(X) E(Y) 1 1 D(Z) -D(X) -D(Y) 4 9 1 -D(Y) 9 1 严(X,Y) 1 -D(X) 4 1 4 16 2 cov(X,Z) XZ 1 3 1 2 1 2 1 2 XY ,D(X),晰 217 36 cov(X,号 、D(X) JD(Z) 1 1 D(X) cov(X,Y

33、) 第五章 一、填空题 .D(X)D(Z) 088 取样本为 X1,X2,X3,., Xn 则样本均值为 n Xi n i 1 取样本为 X1,X2,X3,.,Xn 则样本方差为 S2 n (Xi X)2 20 2 2 3.设 XN (2, 16), S 为样本方差，则 E ( S ) = ( 16 )。 4 样本（X1 ， n X（ ，Xn）取自标准正态总体 N (0, 1）, X , S 分别为样本均值及样本标 N(0,1) ) 5 .样本（X1 , ， Xn) 取自标准正态总体 N (0, 1）, X , S 分别为样本均值及样 n 本标准差，则 i 1 X i2（ 2( n 1) )

34、6 样本(X1 ,- ， Xn) 取自正态总体 N（ 2 ）,X ,S 分别为平均数及标准差，则 X ( N( 2 ,) ). 1 Xi，则 D X n i i 、选择填空题 各量为统计量的是（ A ） 2.样本X1,X2,.,Xn是来自正态总体的简单随机样本； 下列各统计量服从标准正态分布的 是（D ） 1 A. -(X1 X2 n Xn) B. X12 X； X2 1 n 2 X C. (Xi X) n 1 i 1 D. /、n 3.从总体中抽取容量为 5 的一个样本 1.1 0.9 1.2 1.2 1.1 ,贝 y x= ( B ) A.1 B.1.1 C.1.2 D.5.5 7.若随机

35、变量Xi,X2,X3, Xn相互独立，服从同一分布，且E Xi ,D Xi 0, 1.设总体X N( 2 ），其中 已知, 2未知, Xi,X2是取自A X1 X2 B 2X1 C X1 21 4.若 X : 2 (5)，则 D(X)= ( ) 22 、选择填空题A.1 B.10 C.5 D.O 9.9 10.2 10.2 10.1，贝U x= ( B ) A.10 B.10.1 C.10.2 D.50.5 6.若 X : 2(5)，则 E(X)= (C ) A.1 B.10 C.5 D.0 5.从总体中抽取容量为 5 的一个样本 10.1 三、计算题 1.从正态总体中抽取 5 个样本如下：8

36、.1,8.2,8.3,7.8,7.6, ;求样本均值与样本方差。 解: x 8.1 8.2 8.3 7.8 7.6 5 2 1 2 2 S2 - (8.1 8)2 (8.2 8)2 4 (8.3 8)2 (7.8 8)2 (7.6 8)2 0.085 2.从总体抽取 5 个样本如下：5.1,5.2,5.4,4.6,4.7,求样本均值和样本方差。 -5.1 5.2 5.4 4.6 4.7 厂 x 5 5 s2 丄(5.1 5)2 (5.2 5)2 4 3.从正态总体中抽去了容量为 均值与样本方差。 -7.3 7.2 7.1 6.8 6.6 x 5 2 1 2 2 s2 - (7.1 7)2 (7

37、.2 7)2 4 第七章 一、填空题 (5.4 5)2 (4.6 5)2 (4.7 5)2 0.115 5 的一个，样本，数据如下： 7.3、7.2、7.1、6.8、6.6 ;求样本 7 (7.3 7)2 (6.8 7)2 (6.6 7)2 0.085 1.设/是未知参数 的一个估计量，若 E( ?) ，则称？为参数 的一个(无偏)估计量。 2设总体X N( 本，则 2 的置信度为 0.95 的置信区间为( 7S2 0.025(7) 7S2 0.9755 (7) 3.设？是未知参数 的一个估计量，若( 数的一个无偏估计量。 4 设总体X N( , 2) , 2为已知, ),则称？为参 为未知，

38、设X1,X2, ,Xn为来自总体X的一个 样本，则 的置信度为1 的置信区间为( (x 一 Z ,x n 2 1. F 列统计量(A )既是总体均值 23 A )。 三、计算题 1设总体 X 服从正态分布 N(5,1) , X1,X2,X3为一个样本，试验证 都是 m 的无偏估计量，那一个估计量更好。 1 1 1 E(出 1)4E(X1)尹X2)廿(X3)5 1 1 1 1E(X1)1E(X2)3E(X3)5 1113 D(的)腐(“ 4D(X2) -D(X3) 8 D(m2) 1D(X1) D(X2) 9 9 D(%) D&2) 2. 设总体 X 的概率密度为 f(x) 0, 其它 解： 1

39、 E(X) o -22( X)xdx 3 1 A X ? 3X 3以 X 表示某种小包装糖果的重量(单位以克计) ，X : N( ,4)，今取得样本容量为 2. B S2 C So 在单正态总体期望 区间估计中( 2 已使用分位数 U0.025 1.96 B .使用分位数 to.o5(15) C. 加大样本容量会使置信区间变大 D .降低置信度会使置信区间变大 1 严3) 2 2( x), 0 x 其中a是未知数，X1,X2, ,Xn是取自 X 的样本，求参数 的矩估计。 10 1. F 列统计量(A )既是总体均值 24 的样本均值为 56.61，求 的置信度 95%的置信区间。(u0.02

40、5 1.96, u0.05 1.645)解： 的置信度 95%的置信区间为 25 4 4 (56.61 1.96,56.61 1.96) (54.13,59.09) V10 如 5以 X 表示某种小包装糖果的重量(单位以克计) ，X ： N( ,4)，今取得样本容量为 的样本均值为 56.61，求 的置信度 95%的置信区间。(u0.025 1.96, u0.05 1.645) 解：的置信度 95%的置信区间为 6.设总体 X 服从正态分布 N(m,1) , X1, X|为一个样本，试验证 1 2 1 3 r?! X1 X 2, ri?2 X1 X2都是 m 的无偏估计量，哪一个估计量的估计效

41、果 3 3 4 4 更好。 解： 1 2 E(mj E(XJ E(X2)m 3 3 E(m2) 1E(X1) 3E(X2) m 4 4 1 4 5 D(m) -D(X1) -D(X2) - 9 9 9 ? 1 9 10 D(他)D(XJ D(X2) 2 16 1 16 2 16 E(m1) -E(X1) 5 -E(X2) 5 E(rm2) 1 -E(X1) 3 2 3E(X2) D(m) 1 25D(X1) D(X 25 D(他) 1 -D(X1) 9 4 -D(X2) 9 D(m) D(m2) m m )卩 2) 25 5 9 (X 4.设总体 X 服从正态分布 N(m,1) , X,X2为

42、一个样本，试验证 1 卅 -Xi 5 解： 4Xi,mi 5 3X1 |X2都是m的无偏估计量，那一个估计量更好。 10 (x =z_,x =z_) ：i n 5 i n | (56.61 10 1.96,56.61 (54.13,59.09) 解： 的置信度 95%的置信区间为 26 D(m) D&2)27 X 14.72, s2 (1.381)2 1.9072，并知道糖的含量服从正态分布，求总体均值 为 0.95 的置信区间。 (t .025(29) 2.0452, t0.025 (30) 2.0432, t . 5(29) 1.6991,t . 5(30) 1.6973) 解： 的置信水

43、平为 0.95 的置信区间 9.设总体 X 的概率密度为 ( 1)x 0 x 1 f(x,) 二 ，其中 ( 1 )为待估参数，设 X1,X2.Xn是来自 X 0,其他 的样本求的矩估计量 解：7设总体 X 具有分布。 X 1 2 3 知，已经取得样本 P 2 2 (1 ) (1 )2 其中参数(0 1 )未 Xi 1,X2 2,X3 1 , 求的最大似然估计值。 PX x 2(3 x)(x 1) 3 x(1 )X1 L() 解： dlnL( d 5 6 3 2(3 x)(x 1) 3x(1 i 1 3 (3 X)(X 1)ln2 ( 1 3 3 x i 1 )X1 3 (3 X)(N 2i1

44、 3 x)ln 1 1) 3 3 Xi i1 (1 3 Xi 1 )i1 3 (Xi 1)l n(1 ) i 1 3 (X 1) i 1 1 8.有一大批葡萄。从中随机抽取样 30 份袋， 算经检测糖含量的均值与方差如下： 的置信水平 kF 1) (14.72 1.381 2.0452,14.72 1.381 2.0452) (14.20,15.24) (X (n 1),X 1 (1478 28 1 1 T1 -(X1 X2) -(X3 X4) 6 3 T2 (X1 2X2 3X3 4X4)/5 T3 (X1 X2 X3 X4)/4 1 1 E(TJ (E(XJ E(X2) (E(X3)E(X

45、4) 6 3 E(T2)(E(XJ 2E(X2)3E(X3)4E(X4)/5 2 Eg (E(XJ E(X2)E(X3)E(X4)/4 12.以 X 表示某工厂制造的某种器件的寿命（以小时计） ，设X : N（ ,1296），今取得一容量 为 27 的样本，测得样本均值为 1478,求 的置信水平为 0.95 的置信区间。 解： 的置信水平为 0.95 的置信区间 i E(X) 0( 1 2 i i 1 A X )1 2X X 1 1)x 1dx 10.从总体X : N( ,25）中抽取容量为 4 的样本，其中 未知，则以下估计量哪一个更好。 D(TJ 1 1 36(D(X1) D(X2) 9

46、(D(X3) D(X4) 5 18 25 (D(XJ )25 16 D(TJ D(T3) 11 .设总体X N( 2）, 与2均未知,从总体中抽取容量为 12 的样本,算得 x =66.3,s=9.4,求置信度为 0.95 的 的置信区间,（其中 to.025 (11) 2.2010, t0.025(12) 2.1788, t0.05 (1 1) 1.7959, t . 5 (12) 1.7823 ) 解： 的 0.95 置信区间 (x (n 1),x (n 1) n 7 、n 2 (66.3 2.2010,66.3 2.2010) (60.32,72.28) 9.4 9.4 1 (1478

47、29 第八章 一、填空题 1 假设检验的统计思想是概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上不会发生的，该原(X z , x 7 n 2 36 1.96,1478 36 (1437,1519) 30 理称为（实际推断原理 ）。 2 在正态总体中，抽取样本 Xi,X2,X3,.Xio0进行检验，其中总体的均值和方差都未知，要 3 设显著水平为 ，当原假设不正确时，由于样本的随机性，作出了“接受假设”的决策， 因而犯了错误，称为犯了 （取伪 ）错误。 4在检验问题中，当水平 确定后，为了减少决策时犯错误的概率，我们通常采用的方法是 增大样本量 ）。 5 设总体X N （ , 2 3） , 、 2已知

48、，Xi,X2, ,Xn是取自总体 X的样本，则检验统计 量为 U=（ 6 设显著水平为 ，当原假设正确时，由于样本的随机性，作出了 “拒绝接受假设”的决策, 因而犯了错误，犯该错误的概率为 （ ）。 2 2 7设总体XN（,）,、 未知，Xi,X2, ,Xn是取自总体 X的样本， X- C 则检验统计量 T= （ ） svn 二、选择填空题 i如果总体服从正态分布， 总体的期望和方差未知， 在对总体的期望进行检验时要采用的检 验方法是 （D ）检验。 2 在检验总体的未知参数的过程中，我们一般采用的水平 （C ）。 A.100 B.90 C.0.05 D.95 3 一般情况下，如果总体的期望和

49、方差未知，在对总体的期望进行检验时要采用大样本的方 法，这里的大样本是指样本的容量（ D ）。 对总体的方差进行假设检验，则使用（ ）检验X- 2 A. B.F C.U D.t 31 三、计算题 1. 两种型号的绞线其拉断强度的抽样数据的样本均值和样本均方差如下:A.10 B.20 C.40 D.100 4. 在双正态总体方差相等的检验中，从两个总体中抽取样本容量分别9 和 10 的简单随机样 本。则F S2：（ A F(9,10) B C. F(9,9) D 32 A 种：9 个，xA 93.78,SA 4.2065, B 种：5 个 xB 87.40,sB 7.9561,两样本都来自 正态

50、总体，它们的总体均值和方差都未知，两样本独立，问在显著性水平 0. 05 下 检验方差 是否相等。 ( 2 0.025 (9) 19.022, 2 2 2 0.975(9) 2.700, 0.05(9) 16.919, 0.95(9) 3.325 F0.025 (8,4) 8.98, F0.0255 (4,8) 5.05) 2 解: H。B, H1： 2 A 2 B 拒绝域：F F0.025 (8,4) 8.98或者F F0.975(8,4)丄 0.198 5.05 4.20652 F 2 0.278 7.9561 接受原假设，认为方差相等。 2. 电工器材厂生产一批保险丝， 抽取 10 根，

51、测得X 62.4, S 32.1假设熔断时间服从正态 分布，在水平 0.05下，能否认为该批保险丝的熔断时间为 64？ (t0.025(9) 2.2622, t0.05(9) 1.8331,t . 25(10) 2.2281,t . 5(10) 1.8125) 解：H0: 64, H1 : 64 拒绝域：|t | t0.025(9) 2.2622 x 64 |t - | 0.16 2.2622 S n 接受原假设，认为熔断时间为 64. 3. 某种标准类型电池的容量(以 A.h计)的标准差 1.66， 随机地取10 只新型的电池， 测得它们的样本均值为 140，样本的均方差为 3.4641，问在显著性水平 0.05 下标准差是否有 变动。 2 2 2 2 (0.025 (9) 19.022, (9) 2.700, (9) 16.919 (9) 3.325) 解：H0: 1.66, H1 : 1.66 2 2= ( n-1) s =1.662 接受原假设。 拒绝域: 2 0.025 (9)=19.022 或者 2 0.975 (9) = 2.700 =11.31 33 4. 测得某地区 16 位成年男子体重的样本均值为 74.5 公斤，样本的标准差为 80 公斤.假设成 2 年男子的体重服