数理统计与随机过程习题

1、例例1 12122211,( ,)11()1/nnniiiiXXXNXXSXXnnXSn 设设均均服服从从，且且相相互互独独立立，设设，试试求求的的分分布布. . 解解),1 , 0(/NnX ),1()1(222 nSn 且两者独立且两者独立, 由由 定义定义1.9可知可知22(1)(1)/XXnSnnSn ).1( nt重点：利用三种分布定义做题：重点：利用三种分布定义做题： 则则统统计计量量来来自自总总体体设设), 0(,24321NXXXX?的分布为的分布为242321XXXXT)1 , 0(2),2 , 0(221221NXXNXX 于是于是于于是是独独立立同同分分布布于于与与),1

2、 , 0(2423NXX 解解)2(2224223 XX 例例2122223421.92 (2)2XXtXX 由由定定义义可可知知)(2242321tXXXX即即例例3 32115(0,2 )XXN 设设， ，服服从从且且相相互互独独立立，试试求求随随机机变变量量222222110111522(10),(5)22XXXX解解 且且 相相 互互 独独 立立 ， 所所 以以1102222)1115(10,5).2(XXFXX11022221115105()/()/XXYXX 110222211152()XXYXX的的概概率率分分布布例一个样本，求一个样本，求设设721,XXX)5 . 0, 0(2

3、N是来自正态总体是来自正态总体的的4712 iiXP(1) 4)(712 iiXXP(2) 由定理由定理 2 知知27100.5iiX 7124iiX);7(2 解解 7214iiPX164712 iiXP025. 0 20.025(7)16.01316)(4712 iiXXP4)(712 iiXXP例例一个样本，求一个样本，求设设721,XXX)5 . 0, 0(2N是来自正态总体是来自正态总体的的4712 iiXP(1) 4)(712 iiXXP(2) ,812.16)6(201. 0 查表可得查表可得01. 0 712)(4iiXX 27125 . 0)(iiXX)6(2 思考与练习是来

4、自正态总体是来自正态总体的样的样nXXX,21),(2 N设设本本, 则有则有 1212 niiXX (A);(B) 1212 niiX ;(C) )(12niiXXE;(D) )(12niiXD )(2n )1(2 n 2)1( n42 n例例12( ),.nXPXXXX 设设总总体体来来自自总总体体的的一一个个样样本本，试试求求 的的分分布布解解由泊松分布的可加性可知由泊松分布的可加性可知1()niinXXP n 因此因此0 1 2()e, , ,!knknP XP nXkknk 2. 特殊情形下抽样分布特殊情形下抽样分布 的精确分布的精确分布例例12( ),.nXeXXXX 设设总总体体

5、 服服从从参参数数为为 的的指指数数分分布布来来自自总总体体的的一一个个样样本本，试试求求 的的分分布布解解 由于指数分布是由于指数分布是 (1, )，因而由其，因而由其可加性可知可加性可知1( , )niiYnXXn 因此因此10( )e, ,( )nnxYfxxxn故故( )()()TXfxfnx nx 10()e, ,( )nnn xnxxn例例121 ( , ),.nXBpXXXX 设设总总体体来来自自总总体体的的一一个个样样本本，试试求求 的的渐渐近近分分布布解解其精确分布为其精确分布为1()nkkn kkP XP nXkC ppn 由定理由定理1.16可知，其渐近分布为正态分布可知

6、，其渐近分布为正态分布1 ()(,)( ,)DXppXN EXN pnn 例例1(p26例例)120 1( ) , ,(,),.nkXXXXXX 设设总总体体服服从从区区间间上上的的均均匀匀分分布布为为总总体体 的的样样本本 试试求求的的分分布布解解1010,( ),Xxf x 总总体体 的的分分布布密密度度为为其其他他000111,( ),XxF xxxx 的的分分布布函函数数为为111!( ) =( )( )( )()!()!kkn kXnfxF xF xf xknk （ ）11011! =( )(), .()!()!kn knxxxknk4、样本极差的意义、样本极差的意义 样本极差主要用

7、来描述样本变化幅度以及离散样本极差主要用来描述样本变化幅度以及离散程度的特征，具有和样本方差类似的含义，但它受程度的特征，具有和样本方差类似的含义，但它受样本异常值的影响较小，同时也容易计算，也可以样本异常值的影响较小，同时也容易计算，也可以作为总体均方差的估计作为总体均方差的估计. 在实际中应用比较广泛在实际中应用比较广泛.例例 从总体中抽取容量为从总体中抽取容量为6的样本，的样本，测得样本值为测得样本值为32, 65, 28, 35, 30, 29试求试求,样本中位数、样本均值、样本极差、。样本中位数、样本均值、样本极差、。解解首先将样本观测值进行排序，可得首先将样本观测值进行排序，可得2

8、8, 29, 30, 32, 35, 65,则则341312( )( )()xxx样样本本中中位位数数：61136 56.iixx 样样本本均均值值：1616652837maxminiiiirxx 样样本本极极差差：.,),( ,)0(, 021的估计量的估计量求求的样本的样本是来自总体是来自总体未知未知其中其中上服从均匀分布上服从均匀分布在在设总体设总体 XXXXXn 解解)( 1XE 因为因为,2 根据矩估计法根据矩估计法,21XA 令令.2 的估计量的估计量为所求为所求所以所以 X 例例1.,),( ,21的估计量的估计量求求的样本的样本是来自总体是来自总体未知未知其中其中上服从均匀分布

9、上服从均匀分布在在设总体设总体baXXXXbabaXn解解)(1XE ,2ba )(22XE ,41222baba 2)()(XEXD ,1211 niiXnAba令令2224)(12)(Ababa ,112 niiXn例例2 )(1222121AAabAba即即解方程组得到解方程组得到a, b的矩估计量分别为的矩估计量分别为)(32121AAAa ,)(312 niiXXnX)(32121AAAb ,)(312 niiXXnX., 0,221222的矩估计量的矩估计量和和求求一个样本一个样本是是又设又设均为未知均为未知和和但但且有且有都存在都存在和方差和方差的均值的均值设总体设总体 nXXX

10、X 解解)(1XE , )(22XE ,22 2)()(XEXD 2221AA 令令解方程组得到矩估计量分别为解方程组得到矩估计量分别为,1XA 2122AA niiXXn1221.)(112 niiXXn例例3XXE )(例4设总体设总体X的分布密度为的分布密度为)0,(e21);( Rxxpx),(21nXXX为来自总体为来自总体X的样本的样本. 求参数求参数 的矩估计量的矩估计量.分析：分析：，中中只只含含有有一一个个未未知知参参数数 );(xp一般地，一般地，只需要求：只需要求：11A 的矩估计量的矩估计量.xxpxXEd);()( 然而然而xxpxXEd);()( 然而然而0de21

11、 xxx 不含有不含有 ，故不能由此得到故不能由此得到 的矩估计量的矩估计量.解解(方法方法1) niiXnXE1221)(22A 要求：要求：xxpxXEd);()(22 xxxde212 xxxde102 .22 niiXn12212 niiXn1221 的矩估计量的矩估计量(方法2)要求：要求： niiXnXE11)(xxpxXEd);()( xxxde21 xxxde10 )dee(00 xxxx 的矩估计量：的矩估计量： niiXn11 注注此例表明：同一参数的矩估计量可不唯一此例表明：同一参数的矩估计量可不唯一.12 (0),.nXXXXX 设设服服从从参参数数为为的的泊泊松松分分

12、布布是是来来自自的的一一个个样样本本 求求 的的最最大大似似然然估估计计量量 解解的分布律为的分布律为因为因为X), 2 , 1 , 0(!nxexxXPx niixexLi1!)( ,!11 niixnxenii 的似然函数为的似然函数为所以所以 例例 6 6 ,!ln)(ln11 niiniixxnL , 0)(lndd1 niixnL令令的最大似然估计值的最大似然估计值解得解得 ,11xxnnii 的最大似然估计量为的最大似然估计量为 .11XXnnii 这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.12222 ( ,),.nXNx xxX 设设总总体体为为未未知知参参数数是

13、是来来自自的的一一个个样样本本值值 求求和和的的最最大大似似然然估估计计量量 解解的概率密度为的概率密度为X,21),;(222)(2 xexfX 的的似然函数为似然函数为,21),(222)(12 ixnieL例例7(p477(p47例例2 2.13).13),)(21ln2)2ln(2),(ln12222 niixnnL 0),(ln0),(ln222 LL令令,0112 niinx ,0)()(21212222 niixn 解得解得由由0112 niinx ,11xxnnii 解得解得由由0)()(21212222 niixn ,)(1212xxnnii 为为的最大似然估计量分别的最大似

14、然估计量分别和和故故2 ,X .)(1212XXnnii 它们与相应的矩它们与相应的矩估计量相同估计量相同.12121212 ,.nXx xxX 设设总总体体在在上上服服从从均均匀匀分分布布 其其中中未未知知是是来来自自总总体体的的一一个个样样本本值值 求求的的最最大大似似然然估估计计量量解解112( )min(,),nxx xx 记记12( )max(,),nnxx xx 的概率密度为的概率密度为X12211210,( ;,),xf x 其其它它例例9(p48例例2.15)1122112( )( ),nnx xxxx因因为为等等价价于于12作作为为, ,的的函函数数的的似似然然函函数数为为1

15、12211210( )( ),()(,),nnxxL 其其它它11212( )( ),vxx 于于是是对对于于满满足足条条件件的的任任意意有有1221111( )( )(,),()()nnnLxx 121121( )( )( )( )(,),(),nnnLxxxx 即即似似然然函函数数在在时时取取到到最最大大值值12, 的的最最大大似似然然估估计计值值111( )min,ii nxx 21( )max,nii nxx 12, 的的最最大大似似然然估估计计量量11min,ii nX 21max.ii nX 极差极差R11.361.491.431.411.370.1321.401.321.421.

16、471.390.1531.411.361.401.341.420.0841.421.451.351.421.390.101x2x3x4x5x假设纤度服从正态分布，试估计总体的标准差。假设纤度服从正态分布，试估计总体的标准差。例例10某维尼纶厂某维尼纶厂20天内生产正常，天内生产正常，随机的抽样得到随机的抽样得到20个纤度数值，等分成个纤度数值，等分成4组，组，每组每组5个数值，如下表：个数值，如下表：极差极差R11.361.491.431.411.370.1321.401.321.421.471.390.1531.411.361.401.341.420.0841.421.451.351.421

17、.390.101x2x3x4x5x假设纤度服从正态分布，试估计总体的标准差。假设纤度服从正态分布，试估计总体的标准差。解解计算平均极差计算平均极差10 130 150 080 100 1154( .).r 50 1150 0492 325.rd0 043.ns显然两种估计结果极为接近，但极差形式简单显然两种估计结果极为接近，但极差形式简单.例例1 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的切割每段金属棒的平均长度为平均长度为10.5cm, 标准差是标准差是0.15cm, 今从一批产今从一批产品中随机的抽取品中随机的抽取15段进行测量段进行测量, 其结果如下其结果如下:7 .1

18、02 .107 .105 .108 .106 .109 .102 .103 .103 .105 .104 .101 .106 .104 .10假定切割的长度服从正态分布假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变且标准差没有变化化, 试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?)05. 0( 解解 0.15, , ),( 2 NX因为因为 , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要检验假设要检验假设 15/15. 05 .1048.10/ 0 nx 则则,516. 0 查表得查表得0 0251 96.,u 00 025. | | 0.5161.96, /xun 于于是是 . , 0认为该机工

19、作正常认为该机工作正常故接受故接受 H,15 n,48.10 x,05. 0 如果在例如果在例1 1中只中只假定切割的长度服从正态假定切割的长度服从正态分布分布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化变化?)05. 0( 解解 , , ),( 22均为未知均为未知依题意依题意 NX , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要检验假设要检验假设,15 n,48.10 x,05. 0 0 237.,s 010 48 10 50 23715. /./xtsn ,327. 0 查表得查表得)14()1(025. 02/tnt 1448. 2 ,327. 0

20、t . , 0无显著变化无显著变化认为金属棒的平均长度认为金属棒的平均长度故接受故接受 Ht t分布表分布表例例2例例3 有甲有甲、乙两台机床加工相同的产品乙两台机床加工相同的产品, 从这两台从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直测得产品直径径(单位单位:mm)为为机床甲机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9机床乙机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著乙两台机床加工的产品直径有无

21、显著差异差异? 假定假定两台机床加工的产品直径都服从正态两台机床加工的产品直径都服从正态分布分布, 且总体方差相等且总体方差相等.解解 , ),(),( ,2221 NNYX和和分别服从正态分布分别服从正态分布和和两总体两总体依题意依题意 , 221均为未知均为未知 )05. 0( . : , : 211210 HH需要检验假设需要检验假设, 81 n,925.19 x210 216.,s , 72 n,000.20 y220 397.,s 222128 1710 547872()() .,wsss且且,160. 2)13( 05. 0 t查表可知查表可知| |1187wxyts 0.2652

22、.160, , 0H所以接受所以接受即甲即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异乙两台机床加工的产品直径无显著差异. 有时为了比较两种产品有时为了比较两种产品, 或两种仪器或两种仪器, 两种方两种方法等的差异法等的差异, 我们常在相同的条件下作对比试验我们常在相同的条件下作对比试验, 得到一批成对的观察值得到一批成对的观察值. 然后分析观察数据作出然后分析观察数据作出推断推断. 这种方法常称为这种方法常称为逐对比较法逐对比较法.例例4 4 有两台光谱仪有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种用来测量材料中某种金属的含量金属的含量, 为鉴定它们的测量结果有无显著差为鉴定它们的测量结果有无

23、显著差异异, 制备了制备了9件试块件试块(它们的成分、金属含量、均它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同匀性等各不相同), 现在分别用这两台机器对每一现在分别用这两台机器对每一试块测量一次试块测量一次, 得到得到9对观察值如下对观察值如下:4.(t基基于于成成对对数数据据的的检检验验 检检验验） 11. 013. 012. 011. 018. 018. 012. 009. 010. 0%89. 077. 068. 059. 078. 032. 052. 021. 010. 0%00. 190. 080. 070. 060. 050. 040. 030. 020. 0% yxdyx问能否认为这两

24、台仪器的测量结果有显著的差异问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异?解解 本题中的数据是成对的本题中的数据是成对的, 即对同一试块测出即对同一试块测出一对数据一对数据, 我们看到一对与另一对之间的差异是我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素由各种因素, 如材料成分、金属含量、均匀性等如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起的因素引起的. 这也表明不能将光谱仪这也表明不能将光谱仪Ix 对对9个试块的测量个试块的测量结果结果(即表中第一行即表中第一行)看成是一个样本看成是一个样本, 同样也不同样也不能将表中第二行看成一个样本能将表中第二行看成一个样本.)01. 0( 而同一对中两个数据的差异

25、则可看成是仅而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两台仪器性能的差异所引起的由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样这样, 局限局限于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因素素, 而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响.表中第三行表示各对数据的差表中第三行表示各对数据的差iiiyxd ),( , 221 dnNddd来自正态总体来自正态总体设设 ., 2均为未知均为未知这里这里 d若两台机器的性能一样若两台机器的性能一样, , 21属随机误差属随机误差则各对数据的差异则各对数据的差异nddd随机误差可以认为服从正态分布随

26、机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零其均值为零. 0. : 0, : 10 ddHH 要检验假设要检验假设212 , , ,nd ddds设设的的样样本本均均值值样样本本方方差差按关于单个正态分布均值的按关于单个正态分布均值的t检验检验, 知拒绝域为知拒绝域为201/ (), /dttnsn , 9 n由由,3554. 3)8()8(005. 02/ tt,06. 0 d0 1227.,s 467. 1 t可知可知,3554. 3 , 0H所以接受所以接受认为这两台仪器的测量结果无显著的差异认为这两台仪器的测量结果无显著的差异. )02. 0( 解解 ,5000:,5000: 2120 H

27、H要检验假设要检验假设,26 n,02. 0 ,500020 ,314.44)25()1(201. 022/ n例例5 某厂生产的某种型号的电池某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以其寿命长期以来服从方差来服从方差 =5000 (小时小时2) 的正态分布的正态分布, 现有一现有一批这种电池批这种电池, 从它生产情况来看从它生产情况来看, 寿命的波动性有寿命的波动性有所变化所变化. 现随机的取现随机的取26只电池只电池, 测出其寿命的样本测出其寿命的样本方差方差s2=9200(小时小时2). 问根据这一数据能否推断这问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化批电池的寿命的

28、波动性较以往的有显著的变化?2 ,524.11)25()1(299. 022/1 n2201() nS ,524.11拒绝域为拒绝域为:2201() nS 或或. 4.3144220125 92005000() 46 nS因因为为 , 4.3144 , 0H所以拒绝所以拒绝 认为这批电池的寿命的波动性较以往的有认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化显著的变化.例例 美国民政部门对某住宅区住户的消费情况进美国民政部门对某住宅区住户的消费情况进行的调查报告中，抽出行的调查报告中，抽出9户为样本，每年开支除户为样本，每年开支除去税款和住宅等费用外去税款和住宅等费用外, 依次为依次为: 4.9

29、, 5.3, 6.5, 5.2, 7.4, 5.4, 6.8, 5.4, 6.3（单位（单位k元）元）. 假定住户消费假定住户消费数据服从正态分布，当给定数据服从正态分布，当给定 =0.05,问所有住户问所有住户消费数据的总体方差为消费数据的总体方差为0.3是否可信是否可信?解解22010 30 3 :. ,:. , HH按按题题意意要要检检验验, 9 n5 91.,x 26 05 8./ ,S 查表得查表得,18. 2)8(2975. 0 , 5 .17)8(2025. 0 22016 0520 1717 50 3(). . , .nS 于于是是0 , H故故拒拒绝绝所有住户消费数据的总体方

30、差为所有住户消费数据的总体方差为0.3不可信不可信例例 两家银行分别对两家银行分别对2121个储户和个储户和1616个储户的年存款余个储户的年存款余额进行抽样调查，测得其平均年存款余额分别为额进行抽样调查，测得其平均年存款余额分别为2600 x元和元和2700y元元. .样本标准差相应为样本标准差相应为811s元和元和1052s试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异。（取显著性水平差异。（取显著性水平10. 0）元。假设年存款余额服从正态分布，元。假设年存款余额服从正态分布，解解 设两家银行的储户的平均年存款余额分别为设两家银行的储户的平均

31、年存款余额分别为X,Y, ,则则211(,)XN 222(,)YN为了使用为了使用t检验，检验， 依题意要检验依题意要检验1 与与2 是否相等，但方差未知是否相等，但方差未知 ，因此首先需要检验因此首先需要检验21与与22是否相等。是否相等。222111222222FSSSS 拒绝域拒绝域)1, 1(212 nnFF /2120.05(1,1)(20,15)2.33FnnF 这里查表这里查表(1)22(1)22012112:HH)1, 1(2121 nnFF 或或1/2120.9512(1,1)(1,1)FnnFnn 选取统计量选取统计量（1 1）检验假设）检验假设0.05110.4545(1

32、5,20)2.2F F F的值为的值为2122F0.5951ss因为因为33. 25951. 045. 0所以接受所以接受2221)1(0:H0.05(20,15)2.33;F 0.9512(1,1)0.4545Fnn (2)(2)012112:HH选取统计量选取统计量（2 2）检验假设）检验假设122211221212()(1)(1)112XYnSnSnnnn (3)(3)拒绝域拒绝域)1(212 nntT (4)(4) 查表查表2120.05(2)(35)1.69tnnt 22112212(1)(1)95.462nSnSSnn t统计量统计量t 的值为的值为 260027003.06795

33、.46 1/211/16t 因为因为| | 3.0671.69t ，所以拒绝，所以拒绝(2)012:H 这说明两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异这说明两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命X(以小时计以小时计)服从正态服从正态分布分布, 均为未知均为未知. 现现测得测得16只元件的寿命如只元件的寿命如下下:170485260149250168362222264179379224212101280159问是否有理由认为元件的平均寿命大于问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小小时时)?2, 例例9 9解解 ,225:,225:100 HH依题意需

34、检验假设依题意需检验假设 ,05. 0 取取,16 n, 5 .241 x98 7259.,s 查表得查表得7531. 1)15(05. 0 t00 6685. /xtsn .225 , 0小时小时大于大于认为元件的平均寿命不认为元件的平均寿命不故接受故接受 H 由上述例子可以看到：两种检验使用的统计量由上述例子可以看到：两种检验使用的统计量一致，区别在于拒绝域一致，区别在于拒绝域. 双边检验与单边检验的拒绝双边检验与单边检验的拒绝域分别为：域分别为：0121/ :(). /xWx ttnsn 021 :(). /xWx ttnsn 解例1试检验这颗骰子的六个面是否匀称?)05. 0 ( 取取

35、根据题意需要检验假设把一颗骰子重复抛掷 300 次, 结果如下:305260487040654321出现的频数出现的频数出现的点数出现的点数H0: 这颗骰子的六个面是匀称的. )6 , 2 , 1(61:(0 iiXPH或或其中X表示抛掷这骰子一次所出现的点数 (可能值只有6个), 在 H0 为真的前提下, 011 266(, , )ipi262010()iiniiNnpnp 61300)6130040(2 61300)6130070(2 61300)6130048(222016.n 5,1-6 自自由由度度为为,07.11)5(2205. 0 表得表得查查,07.1116.202 所以拒绝

36、H0, 认为这颗骰子的六个面不是匀称的. 61300)6130060(2 61300)6130052(261300)6130030(2 例某盒中装有白球和黑球，现做下面的试验， 用返回式抽取方式从盒中取球，直到取到白球为止，记录下抽取的次数，重复如此的试验100次，其结果为：抽取次数抽取次数1234频数频数433115655 试问该盒中的白球与黑球的个数是否相等(=0.05)?解从题意可知，该总体服从几何分布，111 2(), ,kP Xkpp k 若黑球白球个数相等，则p=1/2,因此11451616, P XP X 111123248,P XP XP X由此可知，检验的问题是0123451

37、11112481616:,Hppppp 计算皮尔逊统计量可得： 202103 2 .miiniiNnpnp 查表可得20 0549 488.( ) . .显然 20220 05103 249 488.( ).miiniiNnpnp 因而接受原假设，黑球白球个数相等. 在一试验中, 每隔一定时间观察一次由某种铀所放射的到达计数器上的 粒子数, 共观察了100次, 得结果如下表:0123456789101112012345678910111215161726119921210iiiNAAAAAAAAAAAAAA 0 1 2 . , , ,!iiNieXP Xiii 其其中中是是观观察察到到有有个个

38、粒粒子子的的次次数数 从从理理论论上上考考虑虑应应服服从从泊泊松松分分布布 0.05)?(! 是否符合实际是否符合实际问问ieiXPi 例3解所求问题为: 在水平0,05下检验假设服从泊松分布服从泊松分布总体总体 :0XH , 2 , 1 , 0! iieiXPi . , 0 故先估计故先估计未具体给出未具体给出中参数中参数由于在由于在 H由最大似然估计法得, 2 . 4 x 根据题目中已知表格, 有估计有估计iXP ,015. 00 2 . 40 eXPp如如 ,185. 0! 32 . 4332 . 43 eXPp ,002. 011211112 iipXPp具体计算结果见下表, , 2

39、, 1 , 0!2 . 42 . 4 iieiXPpii表1 例3的拟合检验计算表 1 516172611 9 9 2 1 2 1 00.0150.0630.1320.1850.1940.1630.1140.0690.0360.0170.0070.0030.0021.56.313.218.519.416.311.46.93.61.70.70.30.219.39415.62234.8457.4237.10511.739iAiNip ipn2/iiNnp0A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A664.6155.538=106.2810.0780.0652 ,2815. 6592.

40、12)6()1(2205. 0 rk故接受H0, 认为样本来自泊松分布总体. , 5 ,5 示示如表中第四列化括号所如表中第四列化括号所使得每组均有使得每组均有的组予以合并的组予以合并其中有些其中有些 iinppn, 6118 , 8 2 的自由度为的自由度为故故并组后并组后 k 自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中,全世界记录到里氏震级4级和4级以上地震共162次, 统计如下:(X表示相继两次地震间隔天数, Y表示出现的频数)86681017263150403935343029252420191514109540YX 试检验相继两次地震间隔天数 X 服从指数分布.0.05)

41、( 解所求问题为: 在水平0.05下检验假设例4的概率密度的概率密度 :0XH . 0, 00,1)(xxexfx . , 0 故先估计故先估计未具体给出未具体给出中参数中参数由于在由于在 H由最大似然估计法得,77.131622231 x X 为连续型随机变量, . 9 , 2 , 1),9)0,1 iaakXii子区间子区间个互不重叠的个互不重叠的分为分为可能取值区间可能取值区间将将(见下页表)503126171086680.27880.21960.15270.10620.07390.05140.03580.02480.056845.165635.575224.737417.204411.

42、9718 8.3268 5.7996 4.0176 9.201655.351927.013227.327016.79808.35307.68606.207314.82695 . 40:1 xA5 . 95 . 4:2 xA5 .145 . 9:3 xA5 .195 .14:4 xA5 .245 .19:5 xA5 .295 .24:6 xA5 .345 .29:7 xA5 .395 .34:8 xA xA5 .39:9=163.563313.2192iAiNip ipn2/iiNnp表2 例4的拟合检验计算表2 在 H0 为真的前提下, X 的分布函数的估计为 . 0, 00,1)(77.13

43、xxexFx有估计有估计概率概率)( iiAPp )(iiAPp 1 iiaXaP),()(1iiaFaF )( 22APp 如如5 . 05 . 4 XP)5 . 4()5 . 9(FF ,2196. 0 ,0568. 0)(1)(8199 iiAFAFp,5633. 0592.12)6()1(2205. 0 rk故在水平0.05下接受H0, 认为样本服从指数分布.,5633. 11625633.1632 , 1, 8 rk 下面列出了84个依特拉斯坎人男子的头颅的最大宽度(mm), 试验证这些数据是否来自正态总体?0.1)( 141 148 132 138 154 142 150 146

44、155 158150 140 147 148 144 150 149 145 149 158 143 141 144 144 126 140 144 142 141 140145 135 147 146 141 136 140 146 142 137148 154 137 139 143 140 131 143 141 149148 135 148 152 143 144 141 143 147 146150 132 142 142 143 153 149 146 149 138142 149 142 137 134 144 146 147 140 142140 137 152 145例5解所

45、求问题为检验假设的概率密度的概率密度 :0XH.,21)(222)( xexfx ., , , 220 故先估计故先估计未具体给出未具体给出中参数中参数由于在由于在 H由最大似然估计法得,0 . 6, 8 .14322 ,7),(个小区间个小区间分为分为可能取值区间可能取值区间将将 X(见表3)在 H0 为真的前提下, X 的概率密度的估计为 1 4103324 9 30.00870.05190.17520.31200.28110.13360.0375 0.73 4.3614.7226.2123.6111.22 3.156.7941.5524.4010.02=87.67iAiNip ipn2/

46、iiNnp5 .1345 .129:2 xA5 .129:1xA5 .1395 .134:3 xA5 .1445 .139:4 xA5 .1495 .144:5 xA5 .1545 .149:6 xA xA5 .154:75.0914.374.91表3 例5的拟合检验计算表2 .,621)(2262)8 .143( xexfx有估计有估计概率概率)( iiAPp )( 22APp 如如 5 .1345 .129 xP 68 .1435 .134 68 .1435 .129 .0519. 0)38. 2()55. 1( 0 10 1222152124 6053 67.()()( ).,mr故在水

47、平0.1下接受H0, 认为样本服从正态分布.例6(p103 例 )某矿区煤层厚度的厚度的123个数据的频数分布如下表所示，试用柯尔莫哥洛夫检验法检验煤层的厚度是否服从正态分布？202.852.60-2.909121.251.10-1.404192.452.30-2.60850.950.80-1.1033.052.151.85组中值2.90-3.202.00-2.301.70-2.00厚度间隔1076组号2191.551.40-1.7052560.650.50-0.8022410.350.20-0.501频数频数组中值厚度间隔/m组号ixininix解用X表示煤层厚度，欲假设检验20:( ,).

48、HXN 总总体体 服服从从正正态态分分布布分分布布由于参数未知，因而首先对参数进行估计2221 8840 576., .xs201 884 0 576 :( ., .).HXN则则总总体体 服服从从正正态态分分布布1 8841 8840 5760 5761 8840 576.(). ().iiiixXF xP XxPx ()()ninivxFxn 00 034sup|()()|.inniixDFxF x11 360 050 123123123,.,.,nD 查查表表，取取显然0 1230 0343,.,nnDD 因此接受原假设，认为煤层厚度服从正态分布.例7(p139例4.14)工人刚接班时，

49、先抽取150个零件作为样本，在自动车床工作两小时后，再抽取100个零件作为第二次样本，测得每个零件距离标准的偏差X，其数值列入下表，试比较两个样本是否来自同一总体?在自动车床上加工某一零件，在频 数偏差X的测量区间/m频 数偏差X的测量区间/m30380, 5)29235, 10)-5, 0)-10, -5)-15, -10)1020, 25)17431115, 20)72715810, 15)0101 jn2 jn1 jn2 jn1150n 2100n解欲假设检验01:( )( ):( )( ),HF xG xHF xG x111( )()nnivxFxn 计算两个样本对应的经验分布函数22

50、2( )( )nnvxGxn 12120 293,sup |( )( )|.n nnnxDFxGx 1212170 05600 1723160,.,.nn nnnnD查查附附表表 ，取取 显然120 172310 293,.,nn nDD因此拒绝原假设，认为不是同一分布.例7(p143例4.15)调查339名50岁以上的吸烟者与慢性气管炎的关系，结果如下表21.020516243吸烟16.533928356合计9.713412113不吸烟患病率合计未患慢性气管炎者患慢性气管炎者 检验的问题为：0:.HXY总总体体的的两两个个指指标标 和和 是是相相互互 独独立立的的解YX统计量为222211(

51、)ijijijijnnnnnn n 观察值为2222117 48().ijijijijnnnnnn n 上侧分位数220 010 011116 635.()()( ).mk显然220 0116 6357 48.( ).因而拒绝原假设，即认为慢性气管炎与吸烟有关例2设设父父亲亲和和他他们们长长子子的的身身高高分分别别为为1 212(,)(, ,),iixyi 其其观观测测数数据据为为x父父亲亲身身高高y长长子子身身高高65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 7168 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70Yx求求 关关于于 的的线线性性回回归归

52、方方程程解Yx 回回归归方方程程为为将观测值代入正规方程 112111() ()()nniiiinnniiiiiiinxyxxx y 128008118005341854107 求解得35 820 476. . Yx则则 关关于于 的的线线性性回回归归方方程程为为35 820 476. . Yx这个例子表明：高个子的先代会有高个子的后代，但后代的增高并不与先代的增高等量。例如父亲身高超过祖父身高6in,则儿子的身高超过父亲的身高大约为3in称这种现象为向平常高度的回归，回归一词即来源于此.这种提法最早是由高登提出的，一直沿用至今.当时高登、皮尔逊、LEE研究了1078个家庭，得到的回归方程为：

53、0 51633 73.Yx例2设设父父亲亲和和他他们们长长子子的的身身高高分分别别为为1 212(,)(, ,),iixyi 其其观观测测数数据据为为x父父亲亲身身高高y长长子子身身高高65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 7168 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70Yx求求 关关于于 的的线线性性回回归归方方程程解Yx 回回归归方方程程为为将观测值代入正规方程 Yx则则 关关于于 的的线线性性回回归归方方程程为为35 820 476. . Yx 检验例2中的回归效果是否显著,取显著性水平为0.05.解0 05210.,n对对 查查表表

54、得得0 05 20 0252102 2281.()().tnt查查表表得得3 128.t 0 02510.().tt 00:,.H 拒拒绝绝认认为为回回归归效效果果显显著著例3 （续例2）2212*| |()()niitxxtn 例2设设父父亲亲和和他他们们长长子子的的身身高高分分别别为为1 212(,)(, ,),iixyi 其其观观测测数数据据为为x父父亲亲身身高高y长长子子身身高高65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 7168 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70Yx求求 关关于于 的的线线性性回回归归方方程程解Yx 回回归归方方程

55、程为为将观测值代入正规方程 Yx则则 关关于于 的的线线性性回回归归方方程程为为35 820 476. . Yx200221121*()()()niixxxtnnxx 设设 （)=)=例4(点预测和预测区间) (续例2)065 5 10 95 (1). ,.x设设070 3 10 95 (2). ,.x设设解0 025210102 2281., ().nt已已知知0 .Y试试求求出出两两种种情情形形下下，的的置置信信上上下下限限(1)0035 80 47635 80 476 65 566 998.yx202166 5800 1266 52 2281 1 401122 66(./)()(. ).

56、( .)x 2 2281 1 40 1 1293 522.00 95., Y于于是是 给给定定置置信信水水平平为为的的预预测测区区间间为为000063 467 70 52(),()(.,.)yxyx(2) 同理可得 0070 50 95. ,., xY 给给定定置置信信水水平平为为的的预预测测区区间间为为000063 832 74 924(),()(.,.)yxyx单因素试验方差分析表方差来源组 间组 内总 和平方和 自由度 平均离差F比AQEQTQ1r nr 1 n1AAQQr EEQQnr AEFQQ 2211111 () , ,iinnrrijijijijPXRXn则则2111) , i

57、nrijijiQXn 为为了了计计算算方方便便，记记( ( - , -, -AETQQPQR QQR P例4 某种型号化油器的原喉管结构油耗较大，为节省能源，设想了两种改进方案以降低油耗指标比油耗，现对用各种结构的喉管制造的化油器分别测得如下表数据0 01.,. 在在显显著著性性水水平平条条件件下下进进行行方方差差分分析析 判判断断喉喉管管的的结结构构对对比比油油耗耗的的影影响响是是否否显显著著223.6221.4226.1224.3220.2218.5224.5222.8230.3229.3225.5224.7228.3227.6232.8231.0比 油 耗 指标 水平1:A原原结结构构2

58、:AI改改进进方方案案3:A改改进进方方案案I II I解12338416155 64 , .ArnnnnQ其其中中240 9885 34., .TEQQ方差分析表方差来源组 内组 间总和平方和自由度均方F比155.6411.8677.826.562131585.34240.980 0111 862 136 70.( ,).FF00 01.H在在水水平平下下拒拒绝绝喉管结构对比油耗有显著影响，其中改进方案一好. 为了计算方便，首先每个原始数据减220，通过计算P,R,Q,计算其离差平方和.例5 有5种油菜品种，分别在4块试验田上种植，所得亩产量如下表：212220212206259315280

59、2883222302772502752903002442982802222564321 田块 品种1A2A3A4A5A1、不同品种对亩产量有无显著影响520 95. 1 1、求求的的置置信信度度为为的的置置信信区区间间解ijXij令令表表示示第第 个个品品种种在在第第 块块试试验验田田的的亩亩产产量量，1251 25420, , , ,innnn计计算算5454221111113954721383980 54 ,). ijijijijRxQx ( (5521111370784 824687 220(). , .ijTijPxQRP13195 711491 5 . , .AETAQQPQQQ0

60、0544 314 153 0615./.( ,)./AEQFFQ即即品品种种对对产产量量有有显显著著影影响响. .15264212 5, .xx0 0250 025152 1315.()().,tnrt0 0251511152 1315 19 6.()().EtQnn又因为11491 5 15766 1/. /.EEQQnr150 95. 的的置置信信水水平平为为的的置置信信区区间间为为264212 52 1315 19 69 7 93 3(. )( . , . ).表5.9双因素非重复试验的方差分析表方差来源 平方和自由度均方F比因素A因素B总 和TQAQBQ1rs 1 r1 s1AAQQr