万有引力与航天重点知识归纳及经典例题练习,推荐文档

1、第五讲万有引力定律重点归纳讲练知识梳理考点一、万有引力定律1. 开普勒行星运动定律（1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。（2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。（3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转24周期二次方的比值都相等，表达式： a3 =t 2k 。其中 k 值与太阳有关，与行星无关。（4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时， a3 =t 2k ，但 k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。（5

2、） 中学阶段对天体运动的处理办法：把椭圆近似为园，太阳在圆心；认为 v 与 不变，行星或卫星做匀速圆周运动；r3t 2= k ，r轨道半径。2. 万有引力定律（1） 内容：万有引力 f 与 m1m2 成正比，与 r2 成反比。f = g m1m2（2） 公式：r 2，g 叫万有引力常量， g = 6.67 10-11 n m2 / kg 2 。（3） 适用条件：严格条件为两个质点；两个质量分布均匀的球体， r 指两球心间的距离；一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。（4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。3. 万有引力与重力的关系(1) 万有引力对物体的作用效果可以等效

3、为两个力的作用， 一个是重力 mg，另一个是物体随地球自转所需的向心力f，如图所示。在赤道上，f=f 向+mg，即mg = g mm - mp2 r ；r 2在两极 f=mg，即g mm = mg ；故纬度越大，重力加速度越大。r 2由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。(2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，g mm = mg g = gm ；r 2r 2在地球表面高度为 h 处：gmm(r + h)2= mgh gh=gm(r + h)2，所以gh=r 2(r + h)2g ，随高度的增加，重力加速度减小。考点二、万有引力定律的应用求天体质量及密度mm2p2

4、4p2r343m3pr321. t、r 法：grp=3pgt 2= mr( )2t m =gt 2，再根据v = pr ,p=3v p=gtr3 ，当 r=r 时，43m3gmmr2 gv =pr ,p= p= 2. g、r 法：g r2mm= mg m = g，再根据32v4pgr=v 2 m = rvg 3. v、r 法： r 2m rg 4. v、t 法： g mm = mv2mmp2,g= mr()2 m= v3tr 2rr2t2pg考点三、星体表面及某高度处的重力加速度1、星球表面处的重力加速度：在忽略星球自转时，万有引力近似等于重力，则g mm = mg g = gm 。r2r2注

5、意：r 指星球半径。2、 距星球表面某高度处的重力加速度：gmm(r + h)2= mgh gh= gm ，或(r + h)2gh =2r(r + h) 2 g 。注意：卫星绕星球做匀速圆周运动，此时的向心加速度an 向心加速度与重力加速度相等。= gm，即(r + h)2考点四、天体或卫星的运动参数我们把卫星（天体）绕同一中心天体所做的运动看成匀速圆周运动，所需要的向心力由万有引力提供，mm2g= man = m r2v = mrp2 = mr( r4p2)t2，就可以求出卫星（天体）圆周运动的有关参数：gmr1r1、线速度： g mm = m v 2r 2r v =2、角速度：g mm =

6、 mrp2p=gmr31r3r 2mm2p2r 3 3 周期： g r 2= mr()t t = 2pr 3gm4、向心加速度：g mmr 2= man an= gmr 2规律：当 r 变大时，“三小”（v 变小, 变小,an 变小）“一大”（t 变大）。考点五、地球同步卫星对于地球同步卫星，要理解其特点，记住一些重要数据。总结同步卫星的以下“七个一定”。1、轨道平面一定：与赤道共面。2、周期一定：t=24h，与地球自转周期相同。3、角速度一定：与地球自转角速度相同。4、绕行方向一定：与地球自转方向一致。5、高度一定：由gmm(r +h)2= m(r + h) 4p2t 2,gm = gr2

7、h=3gr2t 24p2- r = 3.6107 m 6r2gr2r+h6、线速度大小一定：g mm= m v2,gm = gr2 v =gm = 3.1103m/ s(r+h)2(r +h)r + h。7、向心加速度一定：gmm(r +h)2= man,gm = gr2 a =gmn(r +h)2=gr2(r +h)2= 0.23m / s2 。考点六、宇宙速度1、对三种宇宙速度的认识：gmr第一宇宙速度人造卫星近地环绕速度。大小 v1=7.9km/s。第一宇宙速度的算法：法一：由g mm = mv 2r 2r v=，r=r+h，而近地卫星 h=0，r=r，则gmrv2g mm = m v

8、=，代入数据可算得：v1=7.9km/s。r2r法二：忽略地球自转时，万有引力近似等于重力，则mg = mv2 v = gr ，同理rr=r+h，而近地卫星 h=0，r=r，v 2，代入数据可算得：v1=7.9km/s。mg = mr v = gr对于其他星球的第一宇宙速度可参照以上两法计算。计算重力加速度时一般与以下运动结合：自由落体运动；竖直上抛运动；平抛运动；单摆（2） 第二宇宙速度脱离速度。大小 v2=11.2km/s，是使物体脱离地球吸引，成为绕太阳运行的行星的最小发射速度。（3） 第三宇宙速度逃逸速度。大小 v3=16.7km/s，是使物体脱离逃逸引力吸引束缚的最小发射速度。2、环

9、绕（运行）速度与发射速度的区别：b321a三种宇宙速度都是发射速度，环绕速度是指卫星绕地球做匀速圆周运动时的线速度大小；轨道越高，环绕速度越小，所需的发射速度越大，所以第一宇宙速度时指最大环绕速度，最小发射速度。考点七 卫星变轨问题人造卫星发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论：一、变轨原理及过程1、为了节约能量，卫星在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆形轨道1 上。2、在 a 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供轨道上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入轨道 2。3、在 b 点（远地点）再次点火进入轨道 3。二、一些物理量的定性分析1、速度：设卫星在园轨道 1 和

10、 3 运行时速率为 v1、v3，在 a 点、b 点速率为 va、vb。在 a 点加速，则 vav1，在 b 点加速，则 v3vb，又因v1v3，故有 vav1v3vb。2、加速度：因为在 a 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道 1 还是轨道 2 经过 a 点，卫星的加速度都相同，同理，经过 b 点加速度也相同。3、周期：设卫星在 1、2、3 轨道上运行周期分别为 t1、t2、t3。轨道半径分别为 r 、r （半长轴）、r ，由开普勒第三定律 r 3 =可知，123kt 2t1t2t3。三、从能量角度分析变轨问题的方法把椭圆轨道按平均半径考虑，根据轨道半径越大，卫星的机械能越大，卫星在各轨

11、道之间变轨的话，若从低轨道进入高轨道，则能量增加，需要加速；若从高轨道进入低轨道，则能量减少，需要减速。四、从向心力的角度分析变轨问题的方法当万有引力恰好提供卫星所需向心力时，即gmm = m v2 时，卫星做匀速圆周运动。gmmv 2r2r若速度突然增大时，卫星轨道半径变大。r2 p m r，万有引力小于向心力，做离心运动，则若速度突然减小时， g mmr2v 2f m，万有引力大于向心力，做近心运动，则r卫星轨道半径变小。考点八 双星问题被相互引力系在一起，互相绕转的两颗星就叫物理双星。双星是绕公共重心转动的一对恒星。如图所示双星系统具有以下三个特点：1、各自需要的向心力由彼此间的万有引力

12、相互提供，即：gm1m2= m p2 r ，gm1m2= m p2r ；l21 1 1l222 22、两颗星的周期及角速度都相同，即：t1=t2，1=2；3、两颗星的半径与它们之间距离关系为：r1+r2=l。补充一些需要用到的知识：1、卫星的分类：卫星根据轨道平面分类可分为：赤道平面轨道（轨道在赤道平面内）；极地轨道（卫星运行时每圈都经过南北两极）；任意轨道（与赤道平面的夹角在 090 之间）。但轨道平面都经过地心。卫星根据离地高度分类可分为：近地卫星（在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，可认为 h=0，r=r）；任意高度卫星（离开地面一定高度运行的卫星，轨道半径 r=r+h，r 指地球

13、半径，h 指卫星离地高度， 其中同步卫星是一个它的一个特例）。轨道平面都经过地心。2、人造卫星的机械能：e=ek+ep（机械能为动能和引力势能之和），动能e= 1 mv 2 ，由运行速度决定；引力势能由轨道半径（离地高度）决定，rk2增大，动能减小，引力势能增大，但dep f dek ，所以卫星的机械能随着轨道半径（离地高度）增大而增大。3、人造卫星的两个速度：发射速度：在地球表面将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度，发射时所具有的动能要包括送入预定轨道的动能和引力势能之和，即机械能，所以 r 增大，发射速度增大；环绕（运行）速度：卫星在轨道上绕地球做匀速圆周运动所具有的速度，gmr=m

14、mv 2gm v =，r 增大时，环绕速度减小。r 2r4、推导并记住近地卫星的几个物理量的公式和数值:近地卫星指在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，可认为h=0，r=r。grgmr运行速度：g mm = m v2 v =r2r7.9km/ s ，它是所有卫星的最大运行速度gmr3gm r3（因为 h=0，无需增大引力势能，故发射速度等于运行速度，所以这个速度又是所有卫星的最小发射速度）；角速度： g mm = mrp2p=r2，r=r，p=，r 最小，它的角速度在所有卫星中最大。（无需记数值）r3gmr3gmmm2p周期：g=mr()2 t = 2p，r=r，t = 2p= 85mi

15、n =5100s，r 最小，它r2t的周期在所有卫星中最小。rnmmgma = gm = g = 9.8m / s2向心加速度： g 2 = ma an = r 2，r=r， nr2，r 最小，它的向心加速度在所有卫星中最大。5、卫星的追击问题：由g mm = mr( 2p 2 t知，同一轨道上的两颗卫星，周期 t 相同，后面)r 2t= 2pr 3gm的不可能追上前面的。卫星绕中心天体的半径越大，t 越大。同一半径方向不同轨道的两颗卫星（设周期分别为 t1、t2，且 t1t2）再次相遇的时间满足 t - t = 1，或pb -pa = 2p。tbta6、万有引力与航天知识要注意模型：把天体都

16、看成质点；把天体的运动在没有特殊说明时都看成匀速圆周运动；常见的匀速圆周运动模型分三种：核星模型（中心天体不动，行星或卫星绕中心天体运动）；双星模型（两颗星绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动）；三星模型（三颗星组成稳定的系统，做匀速圆周运动，三颗星一般组成正三角形或在一条直线上）。7、估算问题的思维与解答方法：估算问题首先要找到依据的物理概念或物理规律（这是关键）；运用物理方法或近似计算方法，对物理量的数值或取值范围进行大致的推算；估算题常常要利用一些隐含条件或生活中的常识。如：在地球表面受到的万有引力等于重力；地球表面附近的重力加速度 g=9.8m/s2；地球自转周期 t=24h，公转周期

17、 t0=365 天；月球绕地球公转周期约为 27 天；近地卫星周期为 85 分钟；日地距离约 1.5 亿千米；月地距离约 38 亿千米；同步卫星、近地卫星的数据等。8、物体随地球自转的向心加速度与环绕地球运行的公转向心加速度：物体随地球自转的向心加速度由地球对物体的万有引力的一个分力提供，计算公式为： 轴的距离；1a = p2r0= (2p 2 r ，式中 t 为地球自转周期，r0)0t为地表物体到地卫星环绕地球运行的向心加速度所需的向心力由地球对它的全部万有引力提供，计算公式为：g mm = mar 2n an= gm ，式中 m 为地球质量，r 为卫星r 2与地心的距离。例题讲解例 1、两

18、颗人造卫星 a、b 绕地球做圆周运动，周期之比为ta : tb = 1 : 8 ，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ）a. ra : rb = 4 :1, va : vb = 1 : 2b. ra : rb = 4 :1, va : vb = 2 :1c. ra : rb = 1 : 4, va : vb = 2 :1d. ra : rb = 1 : 4, va : vb = 1 : 24p2r3gm解析由t =可得卫星的运动周期与轨道半径的立方的平方根成正比，由ta: tb= 1 : 8 可得轨道半径ra: rb= 1: 4 ，然后再由v =得线速度gmrva : vb = 2 :1 。

19、所以正确答案为 c 项例 2、如图 1 所示,a、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地面的高度分别是 r 和 2r(r 为地球半径).下列说法中正确的是( )a.a、b 的线速度大小之比是 2 1b.a、b 的2周期之比是 12c.a、b 的角速度大小之6比是 34d.a、b 的向心加速度大小之比是 94例 3、发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图这样选址的优点是，在赤道附近（ b）a地球的引力较大b地球自转线速度较大c重力加速度较大d地球自转角速度较大解析：由于发射卫星需要将卫星以一定的速度送入运动轨道，在靠进赤道处的地面上

20、的物体的线速度最大，发射时较节能，因此 b 正确。cd例 3、关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是（d）a. 已知它的质量是 1.24 t，若将它的质量增为 2.84 t，其同步轨道半径变为原来的 2 倍b. 它的运行速度为 7.9 km/sc. 它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播d. 它距地面的高度约为地球半径的 5 倍,所以卫星的向心加速度约为其下方地面上物体的重力加速度的136解析同步卫星的轨道半径是一定的，与其质量的大小无关所以 a项错误因为在地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星的速度近似等于7.9 km/ s，而卫星的线速度随轨道半径的增大而减小，所以同

21、步卫星的线速度一定小于 7.9 km/s,实际计算表明它的线速度只有 3.07 km/s。所以 b 项错误因同步卫星的轨道在赤道的正上方，北京在赤道以北，所以同步轨道不可能过北京的正上方所以 c 项错误同步卫星的向心加速度a = gm ，物体在地面上的重力加速度g = gm ，依题意r = 6r ，所a = 1 g 。r 2r 236四、求天体的第一宇宙速度问题gmrrg在其他的星体上发射人造卫星时，第一宇宙速度也可以用类似的方法计算，即v =，式中的 m、r、g 分别表示某星体的质量、半径、星球表面的重力加速度例 4、若取地球的第一宇宙速度为 8km/s，某行星的质量是地球质量的 6 倍，半

22、径是地球的 1.5 倍，这顺行星的第一宇宙速度约为（ ）a. 2 km/sb. 4 km/sc. 16 km/sd. 32 km/s解析由gmm = m v得v = 8 m/s，某行星的第一宇宙速度为gmr2r 2rgm r6gm1.5rv = 16 m/s例 5、如图是“嫦娥一号”奔月示意图,卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨,进入地月转移轨道,最终被月球引力捕获,成为绕月卫星,并开展对月球的探测.下列说法正确的是 ( c )a.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度b.在绕月圆轨道上,卫星周期与卫星质量有关c.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比d.在绕月圆轨道上,卫星受地

23、球的引力大于受月球的引力r 3gm解析 “嫦娥一号”要想脱离地球的束缚而成为月球的卫星,其发射速度必须达到第二宇宙速度,若发射速度达到第三宇宙速度,“嫦娥一号” 将脱离太阳系的束缚,故选项 a 错误;在绕月球运动时,月球对卫星的万有引力完全提供向心力,则g mm =r 2m 4 2r t 2,t = 2, 即卫星周期与卫星的质量无关,故选项 b 错误;卫星所受月球的引力f = g mm ,故选项 c 正确;r 2在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力小于受月球的引力,故选项 d 错误.例 5、如图所示，轨道 a 与轨道 b 相切于 p 点，轨道 b 与轨道 c 相切于 q 点，以下说法正确的是（ ）

24、a. 卫星在轨道 b 上由 p 向 q 运动的过程中速率越来越小b. 卫星在轨道 c 上经过 q 点的速率大于在轨道 a 上经过 p 点的速率c. 卫星在轨道 b 上经过 p 时的向心加速度与在轨道 a 上经过 p 点的向心加速度是相等d. 卫星在轨道 b 上经过 q 点时受到地球的引力小于经过 p 点的时受到地球的引力gmr解析卫星在轨道 b 上由 p 到 q 的过程中，远离地心，克服地球的引力做功，所以要做减速运动，所以速率是逐渐减小的，a 项正确卫星在a、c 轨道上运行时，轨道半径不同，根据v =可知轨道半径越大，线速度小，所以有vp vq ,所以 b 项错误卫星在 a、b 两轨道上经过

25、 p 点时， 离地心的距离相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，c 项正确、卫星在轨道 b 上经过 q 点比经过 p 点时离地心的距离要远些，受地球的引力要小些，所以 d 项正确例 6.探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比（ ）a.轨道半径变小b.向心加速度变小 c.线速度变小d.角速度变小例 7、关于航天飞机与空间站对接问题，下列说法正确的是（ ）a. 先让航天飞机与空间站在同一轨道上，然后让航天飞机加速，即可实现对接b. 先让航天飞机与空间站在同一轨道上，然后让航天飞机减速，即可实现对接c. 先让航天飞机进入较低的轨道，然后再对其

26、进行加速，即可实现对接d. 先让航天飞机进入较高的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接解析航天飞机在轨道运行时，若突然对其加速时，地球对飞机的万有引力不足以提供航天飞机绕地球做圆周运动的向心力，航天飞机就会做离心运动，所以选项 a、b、d 不可能实现对接。正确答案为 c 项。例 8、两棵靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是（ ）a.它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比b.它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比c.它们做圆周运动的半径与其质量成正比 d.它们做圆周运动的半径与其质量成反比解析两子星绕连线上的某

27、点做圆周运动的周期相等，角速度也相等由v = rp得线速度与两子星圆周运动的半径是成正比的因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，由g m 1 m 2 = m rp2 可知m rp2 = mr p2 ，所以它们的轨道半径与它们的质量是l21 11 12 2成反比的而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也是成反比的正确答案为 b、d 选项例 9、地球赤道上的物体重力加速度为 g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为 a,要使赤道上的物体“飘”起来,则地球转动的角速度应为原来的( )g + aag - aagaa. ab.c.d.g1解析设地球原来自转的角速

28、度为p1，用 f 表示地球对赤道上的物体的万有引力,n 表示地面对物体的支持力，由牛顿第二定律得f - n = mrp2 = ma而物体受到的支持力与物体的重力是一对平衡力,所以有 n = g = mg当当赤道上的物体“飘”起来时,只有万有引力提供向心力，设此时地球g + aap转动的角速度为p ，有 f = mrp2联立、三式可得p2 =，221所以答案为 b。例 10一物体静置在平均密度为p的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（ ）4p 131p 13p 1()23gp()24pgp()2gp()2gp赤道表面的物体对天体表

29、面的压力为零，说明天体对物体的万有引力43g3pr m 2p2恰好等于物体随天体转动所需要的向心力，有r2= m t r ，化简得3ppgt =甲、乙两颗人造地球卫星，质量相等，它们的轨道都是圆，若甲的运动周期比乙小，则（）a甲距地面的高度比乙小b甲的加速度一定比乙小c甲的加速度一定比乙大d甲的速度一定比乙大a、b 两颗行星，质量之比 m a = p ，半径之比 ra = q ，则两行星表面的重力加m brb速度之比为（）ppa. b.qpq2c. q2d. pq如图 1-4-1 所示，在同一轨道平面上，有绕地球做匀速圆周运动的卫星a、b、c 某时刻在同一条直线上，则（ ） a.经过一段时间，

30、它们将同时回到原位置b.卫星 c 受到的向心力最小c.卫星 b 的周期比 c 小d.卫星 a 的角速度最大人造卫星离地球表面距离等于地球半径 r，卫星以速度 v 沿圆轨道运动，设地面上的重力加速度为 g，则（ ）4gr2grgrgr 2a. v =b. v =c. v =d. v =地球公转的轨道半径是 r1，周期是 t1，月球绕地球运转的轨道半径是r2，周期是 t2，则太阳质量与地球质量之比是 （）a. r 3t2b. r 3t2c. r 2t2d. r 2t3 1 1 r3t 2 1 2 r3t 2 1 2 r 2t 2 1 1 r 2t 32 22 12 12 2土星外层上有一个环。为了

31、判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度 a 与该 l 层到土星中心的距离 r 之间的关系来判断： ()a. 若 vr，则该层是土星的一部分；b. 若 v2r，则该层是土星的卫星群c. 若 vr，则该层是土星的一部分d. 若 v2r，该层是土星的卫星群火星与地球的质量之比为 p，半径之比为 q，则火星表面的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为（ ）a.b.c.d.地球表面处的重力加速度为 g，则在距地面高度等于地球半径处的重力加速度为（ ）a. gb. g/2c. g/4d. 2g人造地球卫星绕地心为圆心，做匀速圆周运动，下列说法正确的是 （ ）a. 半径越大，速度越小

32、，周期越小b. 半径越大，速度越小，周期越大c. 所有卫星的速度均相同，与半径无关d. 所有卫星的角速度均相同，与半径无关下述实验中，可在运行的太空舱里进行的是（）a用弹簧秤测物体受的重力 b用天平测物体质量c用测力计测力d用温度计测舱内温度c如图所示的三个人造地球卫星，则说法正确的是（）北卫星可能的轨道为 a、b、c卫星可能的轨道为 a、cb a同步卫星可能的轨道为 a、c同步卫星可能的轨道为 aa是对的b是对的c是对的d是对的同步卫星离地心距离为 r，运行速率为 v1，加速度为 a1，地球赤道上物体随地球自转的向心加速度为 a2,第一宇宙速度为 v2,地球半径为 r，则（）a. a1/a2=r/rb. a1/a2=r2/r2r / rc. v1/v2=r2/r2d. v1/v2 =某天体的质量约为地球的 9 倍，半径约为地球的一半，若从地球上高 h 处平抛一物体，射程为 l，则在该天体上，从同样高处以同样速度平抛同一物体，其射程为：（ ）al/6bl/4c3l/2d6l已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为 390