(完整版)高中数学选修2-1知识点总结(3),推荐文档

1、第一章：命题与逻辑结构知识点：数学选修 21- 25 -1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若 p ，则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件， q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若 p ，则 q ”，它的逆命题为“若 q ，则 p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一

2、个称为原命题的否命题.若原命题为“若 p ，则 q ”，则它的否命题为“若 p ，则q ”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若 p ，则 q ”，则它的否命题为“若 q ， 则p ”。6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系7、若 p q ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p

3、 的必要条件 若 p q ，则 p 是 q 的充要条件（充分必要条件）8、用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 p q 当 p 、 q 都是真命题时， p q 是真命题；当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时， p q 是假命题 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 p q 当 p 、 q 两个命题中有一个命题是真命题时， p q 是真命题；当 p 、 q 两个命题都是假命题时， p q 是假命题 对一个命题 p 全盘否定，得到一个新命题，记作p 若 p 是真命题，则p 必是假命题；若 p 是假命题，则p 必是真命题9、短

4、语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“ ”表示 含有全称量词的命题称为全称命题全称命题“对m 中任意一个 x ，有 p (x)成立”，记作“ x m ， p (x)”短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“ $ ”表示含有存在量词的命题称为特称命题 特称命题“存在m 中的一个 x ，使 p (x)成立”，记作“ $x m ， p (x)”10、全称命题 p ： x m ， p (x)，它的否定p ： $x m ， p (x)。全称命题的否定是特称命题。特称命题 p ： $x m ， p (x)，它的否定p ： x m ， p (x)。特称命题的否定是

5、全称命题。知识点：第二章：圆锥曲线1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化建立适当的直角坐标系；设动点 m (x, y )及其他的点；找出满足限制条件的等式；将点的坐标代入等式；化简方程，并验证（查漏除杂）。1 22、平面内与两个定点 f1， f2的距离之和等于常数（大于 f f ）的点的轨迹称为椭圆。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。 mf1 + mf2 = 2a (2a 2c)3、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程x2 + y2 = ( )1 a b 0a2b2y2 + x2 = ( 1 aa2b2b 0)范围-a

6、x a 且-b y b-b x b 且-a y a顶点a1 (-a, 0)、a2 (a, 0)、b (0, -b)、1b2 (0, b)a (0, -a)、a (0, a)、b (-b, 0)、121b2 (b, 0)轴长短轴的长= 2b长轴的长= 2a焦点f1 (-c, 0) 、 f2 (c, 0)f1 (0, -c)、f2 (0, c)焦距f1 f2= 2c (c2 = a2 - b2 )，a 最大对称性关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称离心率cb2e = 1-(0 e 1)aa2准线方程x = a2cy = a2c4、设m 是椭圆上任一点，点m 到 f1 对应准线的距离为 d1

7、 ，点m 到 f 对应准线的距离为 d2 ，则2mf1=mf2 = e 。d1d25、平面内与两个定点 f1 ， f2 的距离之差的绝对值等于常数（小于 f1f2）的点的轨迹称为双曲线。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距。 mf1 - mf26、双曲线的几何性质：= 2a (2a ) 1 a0, b0a2b2y2 - x2 = ( )1 a0, b 0a2b2范围x -a 或 x a ， y ry -a 或 y a ， x r顶点a1 (-a, 0) 、 a2 (a, 0)a1 (0, -a) 、 a2 (0, a)轴长虚轴的长 = 2b实轴的长= 2a焦点f1 (-c,

8、 0) 、 f2 (c, 0)f1 (0, -c) 、 f2 (0, c)焦距f f = 2c (c2 = a2 + b2 )，c 最大1 2对称性关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称离心率cb2e = 1+(e 1)aa2准线方程x = a2cy = a2c渐近线方程y = b xay = a xb7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。8、设m 是双曲线上任一点，点m 到 f 对应准线的距离为 d1 ，点m 到f 对应准线的距离为 d2 ，则 mf1 = mf= e 。12 2 d1d29、平面内与一个定点 f 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点 f 称为抛物线

9、的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于a 、b 两点的线段ab ，称为抛物线的“通径”，即 ab = 2 p p11、焦半径公式：r(x , y )y2 = 2 px (p 0 )rf = x0 + 2若点00 在抛物线上，焦点为 f ，则；、pfr(x0 , y0 )y2 = -2 px (p 0)rf = -x0 +若点在抛物线上，焦点为，则2 ；pr(x0 , y0 )x2 = 2 py (p 0)frf= y0 + 2若点在抛物线上，焦点为，则；pfr(x0 , y0 )x2 = -2 py (p 0)rf = - y0 +若点在抛物线上，焦

10、点为，则2 12、抛物线的几何性质：标准方程y2 = 2 px(p 0)y2 = -2 px(p 0)x2 = 2 py(p 0)x2 = -2 py(p 0)图形顶点(0, 0)y对称轴焦点x 轴pf , 0f -p , 0 轴f 0, p f 0, - p 22 2 2准线方程x = - p2x = p2y = - p2y = p2离心率范围e = 1x 0x 0y 0y 0第三章：空间向量知识点：1、空间向量的概念：（1） 在空间，具有大小和方向的量称为空间向量（2） 向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向uur（3） 向量ab的大小称为向量

11、的模（或长度），记作uurab（4） 模（或长度）为 0 的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量rrr（5） 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量，记作-a （6） 方向相同且模相等的向量称为相等向量2、空间向量的加法和减法：（1） 求两个向量和的运算称r 为向r 量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点oo 为起点的两个已知向量 a 、 为邻边作平行四边形oacb ，则以o 起点的对角线uuur 就bca是 r 与br的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则（2） 求两个向量差的uu运ur算称为r向量的减法，它遵循三角形法则即：在空间任取一点o

12、，作uuurr ， uuurr ，则ba = r - oa = aob = bra bra3、实数a与空间向量 a 的乘积aar 是一个向量，称为向量的数乘运算当a 0 时，ar 与 a 方向rrrrr相同；当a 0 时，aa 与 a 方向相反；当a= 0 时，aa 为零向量，记为 aa0 的长度是ra 的长度的 a倍r4、设a，a为实数， a，rb是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律 分a +配律：a(rr)b rr ；结b 合律： ( r)= (aa)r = aa + aa aaa5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量

13、与任何向量都共线rr rrrrr6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 a ， b (b 0)， a / b 的充要条件是存在实数a，使 a= ab7、平行于同一个平面的向量称为共面向量uuruuruur8、向量共面定理：空间一点r 位于平面abc 内的充要条件是存在有序实数对 x ， y ，使ar = xab + ya c；或对空间任一定uuuruuuruuruuruuuruuuruuuruuur点o ，有or = oa + xab + ya c；或若四点r ， a ， b ， c 共面，则or = xoa + yob + zo c(x + y + z = 1)rruuur ruuur

14、 rrr9、已知两个非零向量 a 和r rb，在空间任取一点o ，作oa = a ， ob =r， 则aob 称为向量 a ，bb的夹角，记作 两个向量夹角的取值范围是： ra, brrra, b 0,a rrrr10、对于两个非零向量 a 和，若 ra，则向量 a， 互相垂直，记作 arrba, b =bbr11、已知两个非零向量 a和 ，则 r r2rrr 称为 a ，r的数量积，记作 a rr 即 rr rr r零向量与任何向量的r数r量积为 r0 12、 a ba brrrcos a, bbba b = a b cosa, brr rb 等于 a 的长度 a 与b 在 a 的方向上的投

15、影 b cosa, b 的乘积rrr13 若 a， b 为非零向量， e 为单位向量，则有r rr rrr rrrr r(1) e a = a e = a cosa, e ； (2) a b a b = 0 ；r rr r rrr rr2rr rr r(5)rr r(3)a a= a向a=(4)ar a b ；r r)a b a 与br ra b = ，r r rra a；cosa, b =a ba b - a b (a与反向 )14 量数乘r积的r运算律：rrr rrrrr rr rr rrr(1) a b = b a ；(2) (aa ) b = a(a b )= a (ab )；(3)

16、(a + b ) c = a c + b c rrrr15、空间向量基本定理：若三个向量 a ， b ， c 不共面，则对空间任一向量 p ，存在实数组x, y, z，使得 rrrr p = xa + yb r+ zcrrr rrrrr16、三个向量 a， ， c 不共面，则所有空间向量组成的集合是 p p = xa + zc , x, y, z r 这个集合可看作是由向量 a，brrr r rrrrybb ， c 生成的，a, b, c称为空间的一个基底， a ， b ， c 称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 ur17 、 设 ，urur，ur为有公共起点o 的三个

17、两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以 ，urur，的公共起点o 为原e1e2e3ururure1e2e3r点，分别以 e1， e2 ， e3 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴u的uur正方向建立空间直角坐标系oxyz 则对于空间任意一个向量 p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点o 重合，得到向量or = r 存在有序实数组 x, y, z ，使得 r = ururur 把 x ，pp+xe1 ye2ze3y ， z 称作向量 r 在单位正交基底 ur ， ur ， ur 下的坐标，记作 r = (x, y, z )此时，向量 r 的坐标是点r 在空间直角坐标系poxyz 中的

18、坐标(x, y, z )rrppe1e2e318、设 a = (x , y , z )，= (x , y , z )，则（1） r1 1 1b22 2a +r = (x + x , y + y , z + z )b12 12 12rr（2） a - = (x - x , y - y , z - z )b12 12 12r（3）aa = (ax1,ay1,az1 )r r（4） a= x x + y y + z z rb1 21 21 2rr rr r（5） 若 a、为非零向量，则 a a = 0 x x + y y + z z = 0 bbb1 21 21 2rrrrrr（6） 若 ，则 a

19、= a x= ax , y = ay , z = az b0a / bb1212 12rr rx2 + y2 + z2111（7） a = a a =rrr raa br rx2 + y2 + z2111x2 + y2 + z2222（8） cosa, b =b =x1 x2 + y 1 y2 + z1 z2（9） a(x , y , z )， b = (x , y , z )，则 d(x - x+ y - y+ z - z)(2)(2212121)2uur1 1 122 2ab = ab =u uru urr19、在空间中，取一定点 o 作为基点，那么空间中任意一点r 的位置可以用向量or

20、来表示向量or 称为点r 的位置向量20、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点a 以及一个定方向确定点a 是直线l 上一点，向量 a表示直线l 的方u urrr向向量，则对于直线l 上的任意一点r ，有ar = ta ，这样点a 和向量 a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点raaorr21、空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为 a ，urrrrb r 为平面a上任意一点，存在有序实数对(x, y )，使得or = xa + yb ，这样点o 与向量 a ， b 就确定了平面a的位置22、直线l

21、 垂直a，取直线l 的方向向量 arr，则向量 ar称为平面a的法向量r23、若空间不重合两条直线 a ， b 的方向向量分别为 a b，rrrrrrr r则 a / b a / b a = a b(a r)， a b a b a =b 0 rr24、若直线 a 的方向向量为 a ，平面a的法向量为 n ，且 a a，rrrr rrrrrr则 a /a a /a a n a n = 0 ， a a a a a / n a = an rrrrrrrrr r25、若空间不重合的两个平面a， a的法向量分别为 a ，b 则a a/a / b a = a b，a a a b a =b0 a br ra

22、 br rr r26、设异面直线 a ， b 的夹角为a，方向向量为 a ， b，其夹角为a，则有cosa= cosa =、设直线l 的方向向量为 ，r平面a的法向量为 n ，r l 与a所成的角为a， 与rn 的r夹角为a，则有27lll nr rl nr rsina= cosa =urururur28、设，是二面角a- l - a的两个面a， a的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大n1 n2ur urur urn1 n2n1n2n1n2小若二面角a- l - a的平面角为a，则 cosa =uuruurr29、点a 与点b 之间的距离可以转化为两点对应向量 ab的模 ab 计算30、在直线l 上找一点r ，过定点a 且垂直于直线l 的向量为 n ，则定点a 到直线l 的距离uuur rra nrnu uru ur r为 d = ra cosra, n =r31、点 r 是平面a外一点， a 是平面a内的一定点， n 为平面a的一个法向量，则点r 到平面a的