概率论与数理统计教案设计

1、实用标准概率论与数理统计教案编写人:授课时间课时数授课方式理论课授课单元第三章：多维随机变量及其分布要求与目的通过教学使学生了解二维随机变量的概念、分布律及其表示、 分布函数、边缘分布，条件分布、独立性。掌握二维随机变量 函数的分布。重点与难点(1) 重点是二维随机变量的概念、分布律及其表示、分布函数、 边缘分布，条件分布、独立性(2) 难点是二维随机变量函数的分布主要内容、基本概念联合分布函数，联合分布函数的性质、边缘分布函数二、离散型二维随机变量离散型二维随机变量的分布律、分布函数、边缘分布，条件分布、独 立性三、连续型二维随机变量连续型二维随机变量的分布律、分布函数、边缘分布，条件分布、

2、 独立性四、二维随机变量函数的分布1. 离散型随机变量函数的分布2. 连续型随机变量函数的分布教学方法讲授式讲练结合参考资料概率论与数理统计余长安编，武汉大学出版社概率论与数理统计吴传生编，高等教育出版社思考题第三章：多维随机变量及其分布、基本概念1联合分布函数设(X,Y )是二维离散型随机变量，x,y是任意实数，F(x,y) P(X x,Y Y)二维随机变量(X,Y )的联合分布函数。2. 联合分布函数的性质(1) 单调性F (x, y)关于x(y)单调不减；(2) 0 F (x, y) 1,F(x, ) F( ,y)0,F( ,)1 ；(3) F(x, y)关于x(y)右连续； PX1 X

3、x2,y1Yy2F(x2, y2)F(x1,y2)Fgy)F(x2, y2)3 边缘分布函数设(X,Y )是二二维离散型随机变量的联合分布函数为F(x, y)，则Fx(x)PXx PXx,Y F(x,)FyW)PYy px,Yy F( ,y)二维随机变量(X,Y )的边缘分布函数。、离散型二维随机变量1.离散型二维随机变量的分布律设(X,Y)是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为(ai,bj),i,j 1,2,L ,令Pij PjPX aiaY bjbj),i,j 1,2,L称(pj；i,j 1,2丄)是二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布.二维联合分布的三个性质:(1)Pj O,i

4、,j 1,2 丄；Pj 1i 1 j 123)离散型二维随机变量的分布函数j 1F(x,y)PijX XiY yj3. 离散型二维随机变量的边缘分布设二维随机变量(X,Y )的联合概率分布 pX Xi,Y yj= pj(i, j 1,2,L )中对固定的i关于j求和而得到pX Xi pX Xi,YPjPi.j 1pY yj pX,YyjPjP.ji 1文档4. 离散型二维随机变量的条件对于固定的j若，pY yjp.j 0，称PX Xi |Y yjPX Xi,丫 yjP丫 yjPjP.j为在Y yj的条件下，随机变量 XXi的条件概率.同样定义p丫 yj | X XipX 洛,丫 yjPX Xi

5、Xi的条件下，随机Pi.变量丫 yj的条件概率条件概率符合概率的性质PX Xi |Y yj 0PX Xi |Y yj 1i 15. 离散型二维随机变量的独立性设离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布列与边缘分布为：PX Xi,Y yj Pj，pX Xi Pi. pY yj p.j定理1 ：离散型随机变量 X ,Y独立的充分必要条件是对于任意的i, j都有PijPi. P.j例1从1，2，3，4种任取一个记为 X，在从1 X种任取一个记为 Y ,(1)求二维随机变量(X,Y )的联合分布律XY123411/400021/81/80031/121/12/1/12041/161/161/161/16

6、(2) 求二维随机变量(X,Y )的边缘分布律。12341234XY1/41/41/41/425/4813/48 7/483/48(3) 求Y 1的条件下，X的概率分布PX1|Y1P11/P.11/41225/4825pX2|Y1P12 / P.11/8625/4825pX3|Y1P13 / P.11/12425/4825pX4|Y1P13 / P.11/16325/ 4825(4)随机变量X,Y独立吗？P11 (1/4) (1/4)(25/48)P1. p.1X ,Y不独立。八7、0100.30.20.510.10.40.5p.j0.40.6010 1例2 X ,Y 0.50.50.4 0.

7、6的联合分布律及pXY。,且pXY 00.4 ,求随机变量(X,Y )例3已知X,Y独立，完成下表:八、Y123R.1182丄8p.j16例4已知(X,Y)的分布律为:70 1120.4ab0.1已知X0与X Y 1独立，求a,b三、连续型二维随机变量1 .定义与性质如果联F(x, y)是一个合分布函数，若存在函数p(x,y)，使对任意的(x,y)，有x yF (x, y)p(u,v)dudv成立，则称F(x, y)是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的p(x, y)是F(x, y)的联合概率密度函数或简称为密度 如果二维随机变量(，)的联合分布函数 F(x,y)是连续型分布函数，就称 (，

8、)是维的连续型随机变量密度函数的性质：由分布函数的性质可知，任一二元密度函数 p(x, y)必具有下述性质:(1)p(x,y)0;p(x,y)dxdy F(反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数p(x, y)，必定可以作为某个二维随机变量的密度函数此外，密度函数还具有性质:(3)若 p(x, y)在点(x, y)连续，F (x, y)是相应的分布函数，则有呼 p(x，y)(4)若G是平面上的某一区域，则p(x, y)dxdyG2 .连续型随机变量的边缘分布若(X,Y )联合分布函数已知，那么，它的两个分量X与Y的分布函数称为边际分布函数可由联合分布函数 F (x, y)求得，概率密度fx

9、(x) f (x, y)dy, fY(y) f (x, y)dx3. 连续型随机变量条件分布若(X,Y )概率密度为f(x, y)，边缘概率密度fY(y) 0,称fxY(x| y)f (x, y)fY(y)为在丫 y的条件下，随机变量 x的条件概率密度类似地，称 fY|x(y|x) f (x, y)fx(x) 0fx (x)为在X x的条件下，随机变量 丫的条件概率密度设随机变量(X,Y)的联合分布为F(x,y)，如果对任意的x,y都F(x,y) PX x,Y y PX xPY yFx(x)FyW)则称X,Y是独立的4. 随机变量的独立性设随机变量(X,Y)的联合分布为F(x, y)，如果对任

10、意的x, y都F(x, y) PX x,Y y PX xPY y Fx(x)FyW)则称X ,Y是独立的定理2 :如果(X,Y)是二维连续型随机变量，则X与也都是连续型随机变量，它们的Y密度函数分别为fx(x), fY(y)，这时容易验证 X与Y独立的充要条件为：f (x, y)fx (x)fY(y)几乎处处成立。说明：(1) F(x,y) Fx(x)FY(y)或 f(x,y)fx(x)fY(y)点点成立，则 X 与 Y 独立。(2) X 与 Y 独立，则 F(x,y) Fx(x)FY(y)点点成立 f(x,y)fx(x”Y(y)不一定点点成立。(3) 在 个 别 点f (x, y) fx (

11、x) fY( y)，则 X 与 Y 可能还 独立；在一点F(x, y) Fx(x)FY(y)，则 X 与 Y 定不独立。例1 :已知随机变两(X,Y)的概率密度为Ae 2x yf(x,y)0x 0,y 0其他(1)求 Af(x,y)dxdy 11Ae 2x ydxdy -A 1, A 20 0 2(2)求分布函数当 x 0, y0时,F(x, y)yf (u,v)dudvydudv1 e 2x1e y其他，F(x,y)F(x,y)(1 e 2x) (1 e y)0x其他0,y0(3) 求 pX Yx1pX Y2e 2x ydxdy -003(4) 求边缘概率密度 fX (x), fY (y)f

12、x (x)fY(y)f (x, y)dx002e 2x ydy x 0other2e 2x x 00other02e 2xydx y 0e yy 00other0otherf(x, y)dy(5)求条件概率密度fx |丫(x I y)当y 0时，fx|Y(x|y)不存在;当y 0时,fXY(x| y)f(x, y)fY(y)2e 2xother求 pX 2| X 2pX 2|Y2pX 2,Y2PY 2(7) X,Y独立吗？ f (x, y) fx(x)fY(y)点点成立，贝U X与Y独立。例2 :已知随机变量(X,Y)时区域D上的分布，D由x.y 0,x y 1围成，问X,Y是否独立?解：f(

13、x, y)(x, y) D其他3 一 41 - 2/Vm 二理同1- 21- 21- 2/VX F1- 2/VYF所以X,Y不否独立。例3 :甲乙两人到达同一地点的时间X,Y服从7,8上的均匀分布，X,Y独立，求X，Y的差不超过1小时的概率。4fx(x)17x80 otherfY(y)17x80 otherF(昇)1 1T T2dxdy0 0X N( 1,1)，Y N( 2,2);12fX (x)f (x, y)dy10x2dy 0 x 12 2x0 x 10other 0otherFX尙12 fx (x)dx12032xdx -4x,y独立f(x, y)fx (x) fY(y)17 x 8,

14、7 x 80other1dxdyD例4 .若二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为1 jx J 2 2 ( x 1)( y 2) (y 2 )2f (x, y)pX Y _ e 2 12 1 2(x ,y )2 2说明：(1 )二维正态分布的边缘分布是一维正态分布则称(X,Y)服从二维正态分布，记作(X,Y)N( 1,2, 1 ,2,)。实用标准（2）二维随机变量（X ,Y）的边缘分布都是是一维正态分布，则（X,Y）不一定服从二维正态分布;cov(X,Y)是相关系数,X ,Y独立的充分必要条件是(4)X N( i, ；)，丫N( 22），且X,Y独立，则1文档2 2 2 2aX bY N(

15、a i b 2, a 1 b 2)四、二维随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布例1 .已知二维随机变量（X,Y）的分布为1211/41/621/31/4求：(1)Z X Y (2) Z maxX, Y(3)Z minX, Y解：（1）Z X YpZ 2 PX 1,Y11/4pZ 3PX1,Y2 PX2,Y11/2pZ 4PX 2,Y21/421/41/2 1/4(2) Z maxX, Y1/423/4(3) Z minX, YZ 3/421/42.连续型随机变量函数的分布实用标准文档已知(X,Y )联合概率密度 f(x,y)，求Z g(X,Y)的概率密度。这类问题主要通过分布函数法求

16、解。具体过程如下:划出f (x, y) 0的区域D ；作等值线g(x, y) z(3)平行移动等值线，寻找等值线与D相交的关键点a, b。当z a时，Fz(z)=o,当z b时,Fz(z)=1,Fz(z)f (x, y)dxdyD1 f (z) F z(z)例2 .设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)1,0 x 1,0 y0, 其他.2x,求：z 2X 丫的概率密度fz(z).解:令 Fz(z) PZ z P2X Yz,当z0 时，Fz(z) P2X Y z0 .当0z 2 时，Fz(z) P2X YZ=z1 2 .4Z ；3)当 z 2 时，Fz(z) P2X Yz 10,Z 0

17、,即分布函数为：Fz(z) zz2,0 z 2,41, z 2.故所求的概率密度为:fz(z)1詁。0,z其他.2,例3 . X,Y独立且都服从0,1上的均匀分布,，求ZY的概率密度。解:fx(X)otherfY(y)otherX,Y独立，所以f (x, y) fx(x)fY(y)100x1,0 x 1other当z0时，Fz(z) PX Yz0当0z 1时,Fz(z)PXYz1 2 .2Z ；当1z 2时,Fz(z)PXYz=1丄2(2z)2;当z2时，Fz(z) PY yz1.z 0 z1,fz(z)2z 1 z2,0 other.例4 .练习册巳2 10题例5 .设二维随机变量(X,Y)的概率密度为3x,0 x 1,0 y x,f(x，y) 0,其他.求：Z X Y的概率密度fz(z).而Y的概率密1 2例6 .设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 X ，0.3 0.7度为f(y)，求随机变量z=x+y的概率密度.解：Fz(z) P X Y zpX 1 pX Y z| X 1 pX 2 pX Y z| X 20.3pY z 1|X 1 0.7pY z 2|X 20.3pY z 1 0.7 pY z 2(因为